2024届四川省广安市广安友谊中学高三上学期10月月考数学（文）试题含解析

这是一份2024届四川省广安市广安友谊中学高三上学期10月月考数学（文）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出集合，再求并集可得答案.
【详解】集合，，
则．
故选：B．
2．下列函数在有意义且单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的定义域和单调性即可得出答案.
【详解】选项A，的定义域为，且在为减函数，故A错误；
选项B，的定义域为，且在为增函数，所以在有意义且单调递增，故B正确；
选项C， 在有意义，且在是减函数，在是增函数，故C错误；
选项D， 在有意义，且在为减函数，故D错误.
故选：B.
3．已知命题，则命题的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据存在命题的否定是全称命题进行判断即可.
【详解】因为存在命题的否定是全称命题，
所以命题的否定为，
故选：D
4．已知函数则（ ）
A．B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】由函数解析式，将从内到外以次计算出的函数值即可.
【详解】因为，
则，
所以.
故选：C
5．航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将已知条件，代入中，转化为指数形式，计算的值即可求解.
【详解】由题意可知：，，
代入可得，
所以，可得，
可得，即，
所以，
所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍，
故选：A.
6．设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可.
【详解】由，解得，
所以，
又由，解得，
所以，
因为是的必要不充分条件，
所以集合真包含于，
所以，解得，
经检验，时，，满足题意；
时，，满足题意；
所以实数的取值范围是.
故选:A.
7．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由对数函数和指数函数、幂函数的性质判断．
【详解】解：∵，∴函数在上单调递减，
又∵，
∴，
∴，
即，所以选项A正确，选项B错误，
∵幂函数在上单调递增，且，
∴，所以选项C错误，
∵指数函数在R上单调递减，且，
∴，所以选项D错误，
故选：A．
8．已知，为偶函数，且，则函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据特殊点以及函数的奇偶性确定正确答案.
【详解】，BC选项错误.
依题意，是偶函数，
，
所以，所以是奇函数，图象关于原点对称，D选项错误，
所以A选项正确.
故选：A
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据题目条件，求出的值，然后利用和差公式，即可求得本题答案.
【详解】因为，所以，
所以，
所以
.
故选：A
10．函数在区间内有极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据极值点定义易知在区间内有实根，构造函数，利用函数单调性即可求出实数的取值范围.
【详解】由可得其定义域为，易知，
因为函数在区间内有极值点，
所以方程在区间内有实根，即在内有实根；
令，则显然在上满足恒成立，
所以函数在上单调递增，
因此，可得，
因为在内有实根，所以，
即实数的取值范围为.
故选：C
11．函数的图象中两个相邻的最高点和最低点的坐标分别为，则函数在区间上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意根据相邻两点的坐标可得，结合图象可得周期可计算出，再由三角函数图象性质即可求出函数在区间上的值域.
【详解】根据函数解析式以及最低点和最高点坐标，因为，
所以，解得；
易知最高点和最低点的横坐标之间相差半个周期，即，可得；
所以可得，
将点代入即可得，
所以，即，又，可得；
因此，
当时，，由三角函数值域可得；
所以可知的取值范围为，
即函数在区间上的值域为.
故选：A
12．已知定义在上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有10个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可知和都是周期为2的周期函数，因此可将的零点问题转换为和的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.
【详解】由得是一个周期为2的奇函数，当时，，因此，
因为是奇函数，所以 ，，
且的周期为，且，，，，
求的零点，即是与的交点，如图：

为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数，
因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为，
若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为，
第11个零点坐标为，因此.
故选：A
二、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【详解】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.
【解析】函数定义域的求法及运用．
14．已知，则 ．
【答案】
【分析】根据二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系可得，代入计算即可求得结果.
【详解】根据题意可知，
将代入可得；
故答案为：
15．已知中，若的面积为为的平分线与边的交点，则的长度是 .
【答案】
【分析】根据三角形面积公式，结合三角形角平分线的性质、余弦定理进行求解即可.
【详解】因为的面积为，
所以，
由余弦定理可知：，
因为是角平分线，
所以，
在三角形中，由余弦定理可知：，
在三角形中，由余弦定理可知，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形角平分线的性质.
16．已知函数，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题干条件得到，从而构造函数，求导得到其单调性，从而得到最小值，求出答案.
【详解】的定义域为，根据对数函数的图象和性质可知，
当时，，
当时，，
所以时，得，
，当时，单调递增，
又，
所以，
令，则，
由，解得，则
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，，
即的最小值为.
故答案为：
【点睛】通过构造函数，并利用导数研究函数的最值的方法解决问题.
三、解答题
17．（1）若不等式成立的充分不必要条件是，求实数a的取值范围；
（2）已知命题p：“”， 命题q：“”．若命题“且”是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由解得，再根据题意可得且等号不同时成立，求解即可；
（2）由可得；由，使成立可得，再根据题意可得，求解即可.
【详解】（1）由解得，
因为不等式成立的充分不必要条件是，
所以且等号不同时成立，解得，
故实数a的取值范围为.
（2）对于命题恒成立，只需，即；
对于命题，使成立，
则，解得或.
若“且”是真命题，则，解得，
故实数a的取值范围为.
18．在中，角所对的边为，且．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理、三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）设该三角形外接圆的半径为，
，
，
． ，
，， ；
（2）由余弦定理得，
，即，，当时等号成立，，
的面积，
当时，面积的最大值为
19．已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)试讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求函数的导函数得出斜率，再根据点斜式求出切线方程即可；
（2）分和两种情况求导函数，分导数正负讨论函数的单调性.
【详解】（1）因为，
所以，则，切点为
又因为
所以，即
所以曲线在点处的切线方程是，
即.
（2）因为，，
所以，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增
20．已知函数，满足______．
在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答．
(1)求的解析式；
(2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）若选①②：根据求出，函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，从而得到函数的解析式；若选①③：根据求出，函数图象的一个最低点的坐标为求出，可得函数的解析式；若选②③：根据函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，函数图象的一个最低点的坐标为，求出可得函数的解析式；
（2）利用图象平移可得的解析式，再由在区间上的最大值为2可得答案.
【详解】（1）若选①②：
因为函数的一个零点为，所以，所以，
所以，因为，所以．
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以．
因为，所以，所以函数的解析式为；
若选①③：
因为函数的一个零点为，所以，所以，
所以，因为，所以．
因为函数图象的一个最低点的坐标为，
所以，所以，
所以，即，因为，所以．
所以函数的解析式为；
若选②③：
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以，
因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为，
所以，所以，
所以即，
因为，所以，所以函数的解析式为；
（2）把的图象向右平移个单位得到，
再将向上平移1个单位得到，
即，由得，
因为在区间上的最大值为2，
所以在区间上的最大值为1，
所以，所以，所以的最小值为.
21．已知函数．
（1）若是奇函数，且有三个零点，求的取值范围；
（2）若在处有极大值，求当时的值域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先由函数奇偶性，得到，得出，对其求导，分别讨论和两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果；
（2）先对函数求导，根据极大值求出，根据函数单调性，即可求出值域.
【详解】（1）∵是定义域为的奇函数，所以，且．
∴，
∴．
当时，，此时在上单调递减，
在上只有一个零点，不合题意．
当时，，解得，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∵在上有三个零点，∴且，
即，即，
而恒成立，∴．
所以实数的取值范围为．
（2），
由已知可得，且，
解得或
当，时，
，，
令，即，解得，
令，即，解得或，
即函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
所以是的极小值点，与题意不符．
当，时，，．
令，即，解得；
令，即，解得或，
即函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
所以是的极大值点，符合题意，故，．
又∵，∴在上单调递增，在上单调递减．
又，，．
所以在上的值域为．
【点睛】思路点睛：
导数的方法求函数零点的一般步骤：
先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果.
22．已知函数.
(1)求过原点的切线方程；
(2)已知对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线方程，将点代入即可得答案；
（2）令，将原不等式恒成立转化为，根据的符号合理分类讨论.
【详解】（1）因为，设切点为，
所以切线斜率为，切线方程为，
将点代入切线方程解得，故切线方程为；
（2）令，
则原不等式即为，
又，且，
若时，则，
再令且，
因为，，而，故（当且仅当时等号成立），
所以在上为增函数，所以，
此时不等式恒成立即恒成立.
当时，，则，
设，
则当时，有即在上单调递增，
若，则，有恒成立，
故在上单调递减，故，不合题意；
若，则存在，使得，
故，，有恒成立，
故在上单调递减，故，不合题意；
综合上述，实数的取值范围为.
【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于第二问根据不等式恒成立求解参数范围，解答时结合的符号合理分类讨论，继而证明在该两个范围内不等式恒成立和不成立.