2024届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第六十一中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第六十一中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在下列命题中，正确命题的个数是( )
①若是虚数，则；②若复数满足，则；
③若复数，，且对应的复数位于第四象限，则实数的取值范围是；
④若，则.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据复数运算、共轭复数、复数对应点坐标所在象限对命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】①，若与无法比较大小，①错误.
②，若，但，②错误
③，，则，③正确.
④，时，，④错误.
所以正确的命题个数是个.
故选：B
2．已知集合，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再利用集合间的包含关系列出不等式组，求出的取值范围即可．
【详解】解：由，，解得，
所以，
集合，
因为，所以，解得．
故选：C．
3．下列说法正确的为（ ）
A．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本．已知该校高一、高二、高三年级学生数之比为5:4:3，则应从高三年级中抽取14名学生
B．10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．设某校男生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，若该校某男生的身高为170cm，则可断定其体重为62.5kg
【答案】C
【分析】对A，结合分层抽样按比例分配原则可判断错误；对B，结合超几何分布公式可求解对应概率；对C，结合正态分布对称性可判断；对D，线性回归方程只能做出预测.
【详解】对于A．应从高三年级中抽取名学生，A错误；
对于B．所求概率，B错误；
对于C，，所以，C正确；
对于D，用回归方程计算得到是估计值，故不能断定其体重为62.5kg，D错误．
故选：C
4．已知函数是上的偶函数，且对任意的有，当时，，则（ ）．
A．11B．5C．D．
【答案】C
【分析】根据即可得出，即得出的周期为6，再根据是偶函数，以及时，，从而可求出．
【详解】解：∵，∴的周期为6．
又是偶函数，且时，，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查偶函数和周期函数的定义，以及已知函数求值的方法，属于基础题．
5．已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆经过原点.若椭圆的离心率不大于，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得a>1，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，直径所对的圆周角为直角，化为，化简整理，结合离心率公式和不等式的解法，可得a的范围．
【详解】椭圆：，直线与椭圆交于，两点，
可得a>1，
由联立椭圆方程可得，
设,可得，
线段MN为直径的圆经过原点，可得OM⊥ON，
即有，
可得，
化为，
则，
化为，
由,可得，
即,可得，
即有,解得，
可得，
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与椭圆位置关系问题，根据题目条件列出不等式，重点在于联立方程利用韦达定理代入，化简不等关系可解，属于综合题.
6．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的导函数，利用导数有两个不同的零点，说明函数恰好有三个单调区间，从而求出a的取值范围．
【详解】解：∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，
∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1，
由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，
∴3ax2﹣6x+1＝0满足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3，
∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．
故选D．
【点睛】本题考查导数在研究函数单调性的应用，运用了函数与方程思想．属于基础题．
7．已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
8．已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，由，，列方程求出，进而可求出，列不等式组可求出的取值范围
【详解】解：设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得，
所以，
所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，
所以，解得，
故选：D
【点睛】此题考查等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题
二、多选题
9．在矩形ABCD中，以AB为母线长，2为半径作圆锥M，以AD为母线长，8为半径作圆锥N，若圆锥M与圆锥N的侧面积之和等于矩形ABCD的面积，则（ ）
A．矩形ABCD的周长的最小值为
B．矩形ABCD的面积的最小值为
C．当矩形ABCD的面积取得最小值时，
D．当矩形ABCD的周长取得最小值时，
【答案】AC
【分析】由题意分别表示两个圆锥的侧面积与矩形面积建立方程，对选项一一分析利用基本不等式处理即可.
【详解】设，，则圆锥M的侧面积为，圆锥N的侧面积为，
则，则，
则，得，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以矩形ABCD的面积的最小值为，此时，所以B错误，C正确.
矩形ABCD的周长为，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以矩形ABCD的周长的最小值为，此时，所以A正确，D错误.
故选：AC
10．已知抛物线：的焦点在直线上，点在抛物线上，点在准线上，满足轴，，则（ ）
A．B．直线的倾斜角为
C．D．点的横坐标为
【答案】AC
【分析】计算焦点的坐标，从而可得的值，判断选项A，再由已知条件分析可得为等边三角形，从而得，即可判断选项B，在，计算的值，即可得，判断选项C，利用点到准线的距离列式计算点的横坐标判断选项D.
【详解】依题意，可得点的坐标为，从而得，A正确；
因为点在准线上，轴，，
又，为等边三角形，，
如图，当点在第一象限，得，
即直线的倾斜角为，
若点在第四象限，同理可得直线的倾斜角为，B错误；
在中，，，C正确；
所以点的横坐标为，D错误.
故选：AC．
11．使得的数称为方程的解，也称为函数的零点.即的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.已知二次函数在上有两个零点，且.下列说法正确的有（ ）
A．且
B．
C．
D．和至少有一个小于
【答案】AD
【分析】根据零点的定义结合二函数的性质逐个分析判断
【详解】对于A，因为二次函数在上有两个零点，且，
所以，即，
所以A正确，
对于B，当时，，所以B错误，
对于C，若，则，此时，则，所以C错误，
对于D，当时，，即，所以和中至少有一个小于1，
当时，或，
当时，则，
当时，则，
所以D正确，
故选：AD
12．若，，则（ ）
A．若，为互斥事件，B．
C．若，相互独立，D．若，则，相互独立
【答案】AC
【分析】利用互斥事件的定义及性质判断A选项；利用和事件的关系判断B选项；利用相互独立事件的定义及性质判断C选项；利用条件概率公式，求解事件A与B的积事件，根据独立事件关系确定A、B的独立性可判断D.
【详解】选项A：若A，B为互斥事件，则，，故A正确；
选项B：，故B错误；
选项C：若A，B相互独立，
，故C正确；
选项D：，则A，B不相互独立，故D错误；
故选：AC.
三、填空题
13．向量满足：，与的夹角为，则＝ ；
【答案】
【分析】根据模的计算公式可直接求解.
【详解】
故填：.
【点睛】本题考查了平面向量模的求法，属于基础题型.
14．已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为，则其体积为 .
【答案】112
【分析】根据已知条件，分别计算出上、下底面面积以及棱台的高，代入棱台体积公式进行计算即可得解.
【详解】因为正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为，
所以棱台的下底面积，上底面积，高，
所以正四棱台的体积.
故答案为：112.
15．圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=所截得的弦长为 .
【答案】.
【解析】先求出圆C1和圆C2公共弦所在的直线方程，再由直线与圆相交求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理求解答案.
【详解】由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为
又圆C3的圆心坐标为(1，1)，
其到直线l的距离为d=，设圆C3的半径为r，由条件知，，
所以弦长为2×.
故答案为：
【点睛】本题考查求两圆的公共弦方程和求圆的弦长，属于基础题.
16．函数是定义在R上的偶函数且满足，当时，，则 ．
【答案】
【分析】由已知条件可得函数的周期，再由周期性和偶函数的性质求值．
【详解】由题意，所以是周期函数，周期是，
又是偶函数，
所以．
故答案为：．
四、解答题
17．已知的内角所对的边分别为，，，三边，，与面积满足关系式：且______在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在前面横线中，求满足条件的个数.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答得分.
【答案】选①,有两个解；若选②，有一个解；若选③，无解.
【分析】由可得，，再根据选项逐一判断的大小关系，从而即可得答案.
【详解】解：因为，即有为，
所以，
所以，
所以，
即有，
若选①：，
因为，
，
即，故有2个解；
若选②：，
因为，
即，故有1个解；
若选③：，
因为，
即，故无解；
18．已知数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【详解】（1）解：因为数列满足，且，
在等式两边同时乘以可得，且，
所以，数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以，.
（2）解：由（1）可得，所以，，①
可得，②
①②可得，
因此，.
19．近年来随着互联网的高速发展，旧货交易市场也得以快速发展.某网络旧货交易平台对2018年某种机械设备的线上交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，和如图所示的散点图.现把直方图中各组的频率视为概率，用（单位：年）表示该设备的使用时间，（单位：万元）表示其相应的平均交易价格.

(1)已知2018年在此网络旧货交易平台成交的该种机械设备为100台，现从这100台设备中，按分层抽样抽取使用时间的4台设备，再从这4台设备中随机抽取2台，求这2台设备的使用时间都在的概率.
(2)由散点图分析后，可用作为此网络旧货交易平台上该种机械设备的平均交易价格关于其使用时间的回归方程.
表中，
（i）根据上述相关数据，求关于的回归方程；
（ii）根据上述回归方程，求当使用时间时，该种机械设备的平均交易价格的预报值（精确到0.01）.
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
参考数据：，，.
【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）万元.
【分析】（1）根据分层抽样的性质，结合列举法、古典概型的计算公式进行求解即可；
（2）（i）根据题中所给的公式和数据进行求解即可；
（ii）运用代入法进行求解即可.
【详解】（1）由图1中频率分布直方图可知，从2018年成交的该种机械设备中使用时间的台数为，使用时间的台数为，
按分层抽样所抽取4台中，使用时间的设备有3台，分别记为，，；使用时的设备有1台，记为，
从这4台设备中随机抽取2台的结果为，，，，，，共有6种等可能出现的结果，其中这2台设备的使用时间都在结果为，，，共有3种，：所求事件的概率为；
（2）（i）由题意得，

，
关于的线性回归方程为，
关于的回归方程为；
（ii）由（i）当使用时间时，该种机械设备的平均交易价格的预报值为万元.
20．如图，在水平放置的四棱锥中，平面，，，.
（1）为线段上动点，试确定点的位置，使并证明；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）为线段的中点，证明见解析；（2）
【分析】（1）为线段的中点，取的中点，连接，，，证明，再证明，，可得面，即面，即可求证；
（2）以为原点，分别以所在的直线为轴，分别求出平面和平面的一个法向量，利用空间向量夹角公式即可求夹角余弦值，再求正弦值即可.
【详解】（1）为线段的中点，取的中点，连接，，，
则，且，
因为，，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，点为线段的中点，所以，
因为平面，面，所以，
因为，所以，因为，所以面，
面，所以 ，
因为，，，所以面，
所以面，因为面，所以；
（2）因为两两垂直，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，，则，，，
，，则，，
设平面的一个法向量为，
由则，解得可得，
所以
因为面，所以为平面的一个法向量，
所以，
因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为，
所以二面角的正弦值为.
21．已知点及圆．
（1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；
（2）若过点的直线与圆交于、两点，且，求以为直径的圆的方程；
（3）若直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）不存在，理由详见解析.
【分析】（1）设出直线方程，结合点到直线的距离公式，计算参数，即可得出所求直线方程，注意分斜率存在与否两种情况讨论；
（2）求出点P与圆心C之间的距离，再根据逆用弦长公式求出弦心距d，发现，则点P为MN的中点，故以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，写出圆的方程即可；
（3）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出a的范围，再计算的斜率，求出a的值，即可.
【详解】（1）圆的圆心为，半径，
当的斜率存在时，设直线的斜率为， 则方程为．
依题意得， 解得.
所以直线的方程为，即．
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件.
（2）由于， 而弦心距， 所以．
所以为的中点．故以为直径的圆的方程为．
（3）直线，即，
代入圆的方程，消去，整理得．
由于直线交圆于，两点，
故， 解得．
则实数的取值范围是．
若存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，则圆心必在上．
所以的斜率，而，所以．
由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．
【点睛】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．
22．已知函数，．
(1)求的极值；
(2)证明：当时，．（参考数据：）
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；
（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再证明即可.
【详解】（1）的定义域为，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，
所以的极大值为，无极小值；
（2）设，
则，
令，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又，，，
所以存在，使得，即．
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以当时，在处取得极小值，即为最小值，
故，
设，因为，
由二次函数的性质得函数在上单调递减，
故，
所以当时，，即．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
5.5
8.7
1.9
301.4
79.75
385