2024届福建省福州市福清西山学校高三上学期9月月考数学试题含解析

这是一份2024届福建省福州市福清西山学校高三上学期9月月考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知以原点为顶点，轴的非负半轴为始边的角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角的终边经过点求出，再利用诱导公式求出即可.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以.
故选：C.
2．设全集为R，若集合，，则 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别求出集合A，B， 的区间，根据交集的定义求解即可.
【详解】由题意， ， ， ，
；
故选：B.
3．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】，根据三角函数图象的平移变换即可求解.
【详解】因为,
所以将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象.
故选:B.
4．若为实数，且，则以下结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式性质可得B错误，采用特殊值法可判断AC错误，再由不等式性质可知D正确.
【详解】根据题意，不妨令，则，此时，即A错误；
若，可知同号，即或，所以B错误；
不妨令，此时满足，但，所以C错误；
由可得，两边同时乘以可得，即可得D正确；
故选：D
5．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】A选项，由在上单调递增得到A错误；B选项，判断出为偶函数，B错误；C选项，不能说在上单调递减；D选项，判断出为奇函数，且有解析式直接可得到函数在R上单调递减.
【详解】A选项，的定义域为R，但在上单调递增，不合要求，A错误；
B选项，定义域为R，且，故为偶函数，B错误；
C选项，定义域为，在上单调递减，
但不能说在上单调递减，故C错误；
D选项，定义域为R，且，
故为奇函数，
又在R上单调递减，故D正确.
故选：D
6．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（ ）
A．49%B．51%C．65.7%D．72.9%
【答案】C
【分析】根据给定的函数模型，结合已知数据列出方程求解作答.
【详解】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为，于是，解得，
因此前6小时过滤后剩余污染物数量为，
所以前6小时共能过滤掉污染物的.
故选：C
7．在中，，，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合正弦定理根据充分必要条件的定义判断．
【详解】由正弦定理可得，
∴若，则，
得，必要性成立；
若，则，
得，且B为三角形内角，则或，充分性不成立，
∴“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
8．已知数列的前n项和为，且，，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．32B．33C．44D．45
【答案】D
【分析】分为奇数和为偶数两种情况，得到的通项公式，进而分为奇数和为偶数两种情况求和，解不等式，求出答案.
【详解】①，
当时，②，
两式相减得，
当为奇数时，为等差数列，首项为4，公差为4，
所以，
中，令得，故，
故当为偶数时，为等差数列，首项为2，公差为4，
所以，
所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
当为奇数时，令，解得，
当为偶数时，令，解得，
所以成立的n的最小值为.
故选：D
二、多选题
9．设等比数列{an}的前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，T10＝T20，下列结论正确的是（ ）
A．a2021＜a2022B．a10a20－1＞0
C．当n＝15时，Tn取到最大值D．当n≥31时，Tn＜1
【答案】BCD
【分析】由已知条件，结合等比数列的性质分别检验各选项即可判断.
【详解】因为，∴，∴，，
∴，，单调减数列，，故A错．
，故B对．
时，，时，，∴时，取最大值，故C对．
，时，，故D对，
故选：BCD．
10．设函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，且f(－2)＝－1，当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有＞0，下列命题正确的是（ ）
A．f(2024)＝－1
B．f(3)＝0
C．y＝f(x)在[－9，－6]上是增函数
D．函数y＝f(x)在[－9，9]上有4个零点
【答案】ABD
【分析】根据函数为偶函数得f(－3)＝f(3)，f(x＋6)＝f(x)＋f(3)赋值得到f(3)＝0可判断B正确；由以上判断可得f(x＋6)＝f(x)＋f(3)＝f(x)，即f(x＋6)＝f(x)，进而得到A正确；根据题意得到函数在[0，3]上为增函数，由周期性得到函数在[－6，－3]上是增函数，再由对称性得到函数在[－9，－6]上是减函数，C错误；通过赋值法以及结合函数的周期性得到函数零点个数为4个，D正确.
【详解】由函数y＝f(x)为偶函数可得，f(－3)＝f(3)，
因为f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，令x＝－3可得f(3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0，B正确；
所以f(x＋6)＝f(x)＋f(3)＝f(x)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)为周期为6的函数，
又f(－2)＝－1，所以f(2024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝f(－2)＝－1，A正确；
由x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有＞0，可知函数在[0，3]上为增函数，
由周期性得到函数在[－6，－3]上是增函数，又x＝－6为对称轴，
则函数在[－9，－6]上是减函数，C错误；
因为f(3)＝0，所以f(－3)＝0，f(9)＝f(6＋3)＝0，f(－9)＝f(9)＝0，
结合函数的周期为6及函数的增减性可得方程f(x)＝0在[－9，9]上仅有4个根，D正确．
故选：ABD．
11．已知函数，若存在，使得成立，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，的最小值为
【答案】ACD
【分析】求出，则可得在上单调递增在上单调递减，则可画出的图像，利用同构可知等价于，结合图像则可判断AB选项，当时，则可得，，构造函数即可判断CD选项.
【详解】，，
，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以的图像如图所示：
又，即，
当时，要使越小，则取，故有，故A正确；
又与均可趋向于，故B错误；
当，且，
记，，
恒成立，即在上单调递增，
所以，即当成立，故C正确；
，令，
在单调递减，在单调递增，
，故D正确，
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：
本题考查利用导数研究函数的单调性与交点，属于难题；画出的图像，利用同构可知等价于，则可求出判断出AB选项，构造函数，则可判断C选项，构造函数则可判断D选项.
12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.
【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时
第2次得到数列1,4,3,5,2，此时
第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时
第次得到数列1，，2 此时
所以，故A项正确；
结合A项中列出的数列可得：
用等比数列求和可得
则
又
所以 ，故B项正确；
由B项分析可知
即，故C项错误.
，故D项正确.
故选：ABD.
【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.
三、填空题
13．若函数是上的增函数，则实数a的最大值为 ．
【答案】
【分析】确定函数定义域，问题转化为在上恒成立，即，设，求得函数的最值，从而可得实数a的最值.
【详解】的定义域为，若在上单调递增，
则恒成立，即
设，则，
当时，，函数在上单调递减;
时，，函数在上单调递增，
故，所以，
故实数a的最大值为.
故答案为：.
14．已知函数有三个不同的零点，则整数的取值可以是 ．
【答案】2，（大于等于2的整数即可，答案不唯一）
【分析】根据函数零点个数可转化成方程的根的个数，构造函数并在同一坐标系内画出函数与的图象，使两图象有三个交点求出的取值范围即可得出结果.
【详解】当时，，显然不满足题意；
当时，令可得，
令，则，
易知当时，；当或时，；
因此函数在上单调递增，在，上单调递减；
可得的极小值为，极大值为；
作出函数的图象如下图所示：

若函数有三个不同的零点，即与在同一坐标系内有三个不同的交点，
由图可知，解得；
又因为取整数，且，所以整数的取值可以是2.
故答案为：2（大于等于2的整数即可，答案不唯一）
15．若对任意的，且当时，都有，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】将问题化为在且上递增，进而利用导数在区间上的符号列不等式求参数范围.
【详解】由题设，即，
令，则函数在且上递增，而，
所以，即在上恒成立，故.
故答案为：
16．已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是 ．
①图像的对称轴方程为
②在上的值域为
③将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
④在上单调递减．
【答案】②④
【分析】根据题意的图象关于点对称，又当时，取得最小值，当取最小值时，即周期最大可得，即，函数在时取得最小值，所以；求得，再逐项分析判断即可得出结论.
【详解】因为，所以的图象关于点对称，
又对任意，都有，所以当时取得最小值；
当取最小值时，即周期最大，可得，即，可得；
函数在时取得最小值，所以，又，所以；
可得.
对于①，令，解得，所以①错误；
对于②，当时，，
因此当时，取得最大值为3，当时，取得最小值为2，
所以在上的值域为，即②正确；
对于③，将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，
不是的图象，所以③错误；
对于④，当时，，此时单调递减，即④正确；
故答案为：②④
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将转换成时取得最小值，将取最小值时转换成周期最大，即可求出函数的解析式.
四、解答题
17．已知是等差数列，为其前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式,利用已知条件求出首项和公差,由此能求出an=2n+3
（2）由得,由此能求出数列的前项和.
【详解】解：（1）是等差数列,为其前项和
解得：.
（2）,
,
,又.
是以3为首项2为公比的等比数列.
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前项和的求法解题时要认真审题注意等差数列和等比数列的性质的灵活运用.
18．记数列的前n项和为，对任意正整数n，有．
(1)证明：数列为常数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合计算推理作答.
（2）由（1）求出数列的通项，再利用裂项相消法求和作答.
【详解】（1）依题意，，，
两式相减得：，即，
整理得，即，因此，
所以数列是常数列.
（2）当时，，解得，
由（1）得：，于是，
则，
所以.
19．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)当时，求函数的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先整理函数的解析式，然后结合最小正周期公式求得函数的最小正周期即可；
（2）首先确定，再得到不等式，解出即可得到单调递减区间.
【详解】（1）(Ⅰ)
则其最小正周期为.
（2）因为，，
所以，则，解得，
当时，单调递减区间为.
20．已知函数．
(1)当时，求函数的极小值；
(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围．
【答案】(1)极小值为
(2)
【分析】（1）当时，，求得，得出函数的单调区间，进而求得函数的极值；
（2）若时，得到函数在区间上有且只有一个零点.若时，求得导数，令，解得或，分、和，三种情况，结合函数的单调性和零点的存在性定理，即可求解.
【详解】（1）解：当时，，可得，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为.
（2）解：若时，，令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在区间上有且只有一个零点.
若时，由，令，解得或，
①若时，此时，可得在上单调递增，且，此时函数在区间上有且只有一个零点；
②若时，可得，令，可得或，
令，可得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
又由，只需讨论的符号，
当时，，函数在区间上有且只有一个零点；
当时，，函数在区间上无零点.
③若，则，令，可得或，
令，可得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
又由，
此时函数在区间上有且只有一个零点，
综上可得，，即实数的取值范围为.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
21．如图，在中，．

(1)求的长；
(2)设为边上一点，且，求的面积；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据数量积和三角形的面积公式求出，进而求得，再由余弦定理即可得解；
（2）先由余弦定理求出角，进而可求得，再根据三角形的面积公式即可求解；
（3）先由余弦定理求出角，根据二倍角公式求出，再根据两角和的正弦公式即可得解.
【详解】（1）易知；
，可得，
又，所以；
又，且，可得；
根据余弦定理可得，
所以.
（2）由（1）知，
又，所以，可得，；
因为，所以，
，
所以，
即的面积为.
（3）l利用余弦定理可得；
又，所以；
由（2）可得，；
故;
可得.
22．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若，，且有两个极值点，分别为和，求的最小值．
【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减；
(2).
【分析】（1）时，，利用导数研究单调性即可；
（2）令，可得是关于的方程的两个实根，易得，，化简
①.令，①式化为，设，利用导数求其最小值即可.
【详解】（1）时，，
，
令，可得或，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2），
令，可得.
由题意可得，是关于的方程的两个实根，
所以.
由，有，
所以.
将代入上式，得，
同理可得.
所以
①.
令，①式化为，
设，即，
则，
记，则.
记，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，在上单调递增，所以.
所以，在上单调递减.
又
，
当且仅当且，即时，取到最大值，即的最大值为2.
因为在上单调递减，所以.
所以的最小值为.
【点睛】总结点睛：利用导数研究函数的最值点睛：
在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．