2024届广东省深圳市人大附中深圳学校高三上学期9月月考数学试题含解析

这是一份2024届广东省深圳市人大附中深圳学校高三上学期9月月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式的解法、函数定义域的求法以及集合的补集、交集运算进行求解.
【详解】因为，所以，所以或，
因为，所以，
所以，故B，C，D错误.
故选：A.
2．命题：p：的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定判断即可.
【详解】命题，的否定为，.
故选：C.
3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，，分析出内层函数和外层函数的单调性，以及真数在所给的区间上恒为正数可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】令，易知在其定义域上单调递减，
要使在上单调递减，则在单调递增，
且，即，所以，即.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键点：
（1）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性；
（2）不要忽略了真数要恒大于零.
4．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】化简不等式，可知 推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
5．如图是一个近似扇形的鱼塘，其中，弧长为（）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥，其中，.已知时，，则廊桥的长度大约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设圆心角，取中点，连接，可得，结合题目给定数据即可求解.
【详解】取中点，连接，由题，
设圆心角，，
所以，
所以.
故选：B
【点睛】此题考查扇形中的圆心角半径弧长之间的关系，考查图形中的基本运算，平面几何相关知识及数形结合思想的应用.
6．函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除BD，再由当时，，可排除A.
【详解】因为函数定义域为关于原点对称，
且，
则函数为偶函数，故BD错误；
当时，，故A错误，C正确；
故选：C
7．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据的取值范围，明确三角函数的取值范围，利用指数函数和幂函数的单调性，可得答案.
【详解】解：已知，则，
因为在上是减函数，故；
因为幂函数在上是增函数，故，
故．
故选：A.
8．已知函数，，若有两个零点，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，即与有两个交点．
【详解】令，则
与有两个交点，
则
设直线与相切时，切点坐标为，则斜率
则切线方程为
∵切线过原点，代入得，解得
∴，因为与有两个交点，所以
故选：D．
二、多选题
9．已知角终边经过点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出点P的坐标，再利用三角函数定义结合诱导公式逐项计算判断作答.
【详解】因为，则点到原点距离，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，因为，所以，D正确.
故选：ACD
10．下列各式计算正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据三角函数的二倍角公式以及和角公式，可得答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
11．已知，下面结论正确的是（ ）
A．若，，且的最小值为，则
B．存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称
C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是
D．若在上单调递增，则的取值范围是
【答案】BCD
【分析】由已知，先对原函数利用余弦的二倍角公式和诱导公式进行化简得到，选项A，可根据条件作出判断；选项B，先对函数进行平移，得到，然后再令，通过赋值求解出的值，然后结合条件给的范围判断即可；选项C，可根据条件直接列式求解；选项D，可根据条件列出不等式直接求解.
【详解】由已知，，
选项A，若，，则的最小值为，故该选项错误；
选项B，的图像向右平移个单位长度后得到的解析式为：，该图像要想关于y轴对称，则需满足：，解得，当时，，故该选项正确；
选项C，由函数在上恰有7个零点可得：，故该选项正确；
选项D，由函数在上单调递增可得：，解得：，又因为，所以的取值范围是，该选项正确.
故选：BCD.
12．已知函数的两个极值点分别是，则（ ）
A．或
B．
C．存在实数，使得
D．
【答案】BD
【分析】对于A，由题意可得在上有2个不等的实根，从而可求出的范围，对于B，根据根与系数的关系结合的范围进行判断，对于C，由题意得，令，利用导数可求得，从而可进行判断，对于D，，令，利用导数可求出其在上的最大值小于零即可.
【详解】由有两个极值点，得在上有2个不等的实根，
即在上有2个不等的实根，则解得，A错误；
由韦达定理，得，当时，，B正确；
，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以恒成立，C错误；
，
令，
令，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以在上单调递减，.
所以，D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数极值问题，解题的关键是根据题意可得在上有2个不等的实根，即在上有2个不等的实根，然后利用根与系数的关系分析判断，考查数学计算能力，属于较难题.
三、填空题
13．设函数，若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.
【详解】由题意知，；
当时，有，解得(舍去)；
当时，有，解得(舍去)或．
所以实数的值是：．
故答案为：.
14．已知函数，若正实数满足，则的最小值为 .
【答案】1
【分析】由知为奇函数,求导分析为增函数,故利用
可以算得的关系,再利用基本不等式的方法求的最小值即可.
【详解】,故为奇函数,又,所以为增函数.又,
故,所以
,当且仅当时取得最小值1.
故答案为1
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.
15．在中，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用降幂公式和辅助角公式得，再利用正弦函数图像与性质即可得到其范围.
【详解】由题意得，∴，
∴
，
∵，∴，
∴，∴．
所以，
故答案为：.
16．已知函数，则不等式的解集是 .
【答案】，
【分析】先构造函数，得到关于对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式 转化为即可求解．
【详解】构造函数，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到，
的定义域为，且，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称．
不等式 等价于，
等价于
结合单调递增可知，
所以不等式的解集是，．
故答案为：，．
四、解答题
17．已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知可求出，再利用二倍角的正切公式即可求解.
（2）利用诱导公式以及二倍角的余弦公式将式子化为，再利用同角三角函数的基本关系化为，由（1）即可求解.
【详解】（1）由，知，∴，
∴.
（2）由（1），知，
∴
∴.
【点睛】本题考查了二倍角的正切、余弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.
18．已知α∈，且sin ＋cs ＝ .
(1)求cs α的值；
(2)若sin(α－β)＝－ ，β∈，求cs β的值．
【答案】（1）;（2）
【详解】试题分析：(1)把已知条件平方可得sin α＝,再由已知α∈,可得cs α的值.
(2)由条件可得－