2024届广东省郁南县连滩中学高三上学期9月月考数学试题含解析

这是一份2024届广东省郁南县连滩中学高三上学期9月月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法可求.
【详解】，
故选：D.
3．在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据图象及其性质，即可得出，，进而根据，即可求出的值，即可得出答案.
【详解】
因为是的中点，所以，.
又因为是的中点，
所以，，
又，所以，，所以．
故选：A．
4．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】对任意，，均有成立，
此时函数在区间为减函数，
是偶函数，
当时，为增函数，
又在为增函数，
所以，
又，所以，
所以，
即.
故选：B．
5．设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．15B．1C．D．
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为利用基本量代换求出，进而求解.
【详解】设等差数列的公差为.
∵，∴，解得：，．
∴，∴．
∴．
故选：D．
6．函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
8．已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得：
解得
故选
二、多选题
9．如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（ ）

A．直线与是相交直线B．直线与是平行直线
C．直线与是异面直线D．直线与是异面直线
【答案】CD
【分析】根据异面直线的定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A，因为点在平面外，点在平面内，直线在平面内，不过点，所以与是异面直线，故A错误；
对于B，因为与都在平面内，在平面外，不过点，所以与是异面直线，故B错误；
对于C，因为与都在平面内，在平面外，不过点，所以与是异面直线，故C正确；
对于D，因为与都在平面内，在平面外，不过点，所以与是异面直线，故D正确.
故选：CD.

10．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ）
A．二项式系数和为64B．各项系数和为64
C．常数项为D．常数项为135
【答案】ABD
【分析】先根据题意，分别对四个选项一一验证：
求出n=6，得到二项展开式的通项公式，
对于A: 二项式系数和为,可得；
对于B:赋值法，令，可得；
对于C、D:利用二项展开式的通项公式，可得.
【详解】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，
令，得各项系数和为，二项式系数和为，则，得，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A、B正确；
展开式的通项为，
令，得，因此，展开式中的常数项为．
故D正确.
故选：ABD.
【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
11．已知函数的定义域为R，对任意都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．的周期为4D．为偶函数
【答案】ACD
【分析】根据函数的对称性、奇偶性、周期性逐项判断即可.
【详解】解：∵，则的图象关于直线对称，故A正确，B错误；
∵函数的图象关于直线对称，则，又，
∴，∴函数的周期为4，故C正确；
∵函数，故为偶函数，故D正确．
故选：ACD.
12．如图是函数（，，）的部分图像，则（ ）

A．的最小正周期为
B．是的函数的一条对称轴
C．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
D．若函数（）在上有且仅有两个零点，则
【答案】AD
【分析】先根据图像可得，即可判断A；令解出即可判断B，接下来求得 ，即可得到的解析式，根据图象平移判断C；令，解出函数零点，然后根据在上有且仅有两个零点列出不等式解 即可判断D.
【详解】由图像可知， ， ，即，故A正确；
，此时，
又 在图像上， ，解得，
，
，， ，
当是函数的一条对称轴时，此时不符合题意，故B错误；
将的图象向右平移个单位后得到的图象对应的解析式为：
不为奇函数，故C错误；
令 ，解得 ，
当 时， ，不合题意
时， ；时， ；时， ；
又因为函数在上有且仅有两个零点
，解得 ，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．已知，则的最小值是 .
【答案】
【分析】将原式变为，再利用基本不等式求解出最小值.
【详解】因为,所以,
所以，
取等号时且，即，所以的最小值为，
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．小张､小陈､小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为，小陈做出这道题的概率为，小胡做出这道题的概率为，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为 .
【答案】
【分析】根据独立事件与对立事件的概率公式可求出结果.
【详解】记“这道题被做出来”为事件,
则.
故答案为：
15．在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
【答案】.
【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】设点，则.又，
当时，，
点A在曲线上的切线为，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为.
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
16．双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】/
【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式，
，从而解出、，利用勾股定理可解.
【详解】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P
则四边形、都为正方形，
设内切圆半径为，由圆的切线性质，
则，则 ，①
又因为，②
且双曲线定义得，，③
由①、②、③得，
所以，
从而，
由勾股定理，，所以，解得．
故答案为：
四、解答题
17．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.
18．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化，即可得到，再由三角形的面积公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
则，
所以，
即，
因为，所以，
又易知，所以，
因为，所以．
因为，，，
所以．
（2）在中，，，由余弦定理得，
所以，
即，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，
所以，
故周长的取值范围是．
19．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，，点是的中点．
（1）证明：平面．
（2）已知点是边上靠近点的三等分点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）证得与，即可证得平面；
（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求二面角的公式可以直接求得结果.
【详解】（1）证明：∵底面是正方形，∴.
又∵平面平面，平面平面，且平面，
∴平面.
∵平面，∴.
由已知，点是的中点，∴，
又∵，∴平面.
（2）易知，，两两垂直.
分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，则，，，，，，∴，.
设平面的一个法向量为，
∵得取，
则，，∴.
连接，∵，，，
∴平面，即平面的一个法向量为.
设平面与平面所成锐二面角为，
∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
20．2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，中国航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演，天舟二号货运飞船与中国空间站天和核心舱顺利实现了快速交会对接.据航天科技集团五院的专家介绍，此次天舟货运飞船携带的物资可以供3名航天员在太空中生活3个月，这将创造中国航天员驻留太空时长新的记录.如果首次执行空间站的任务由3名航天员承担，在3名女性航天员（甲、乙、丙）和4名男性航天员（丁、戊、己、庚）共7名航天员中产生.
（1）求所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员的概率；
（2）求所选的3名航天员中女航天员人数的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）利用对立事件求其概率；（2）由条件可知，利用超几何分布概率类型求概率，再求分布列和数学期望.
【详解】（1）设“选出执行空间站任务3名航天员性别不同”为事件，则
.
（2），
，故，
所以：
，
，
，
，
所以的分布列
.
21．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）联立方程组，根据，得到的范围，由点到直线的距离公式和弦长公式，分别求得，，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，可得，且，所以，则，
所以椭圆的方程为.
（2）解：由直线的方程为，则点到直线的距离为，
联立方程组，整理可得，
由判别式，解得，
设，则，
可得
，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以所求直线的方程为或．

22．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求证：．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】对求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的最小值；
分析要证，只需证，
令，利用导数求得即可.
【详解】（1），
，
设
在上为单调递增函数，
，当时，，
当时，，在上单调递减；在上单调递增，
则；
（2）证明：，
只需证，即，
令，则，
当时，令，
则在上单调递增，
即在上为增函数，
又因为，
所以存在，使得，
由，
得，即，即，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，
即．
0
1
2
3