2024届江西省宜春市丰城市东煌学校高三上学期9月月考数学试题含解析

这是一份2024届江西省宜春市丰城市东煌学校高三上学期9月月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解作答.
【详解】解不等式，得，则，
解不等式，得，则，
所以.
故选：C
2．已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解.
【详解】∵满足对任意，都有成立，
∴在上是减函数，，解得，
∴a的取值范围是.
故选：C．
3．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的曲线，求出，再利用“1”的妙用求出最小值作答.
【详解】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点，
即，于是，又，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16.
故选：C
4．若幂函数在上单调递减，则（ ）
A．2B．C．D．-2
【答案】C
【分析】由幂函数的定义和性质求解即可.
【详解】由幂函数的定义可知，，即，解得或.
当时，，在上单调递增，不合题意;
当时，，在上单调递减，符合题意，故.
故选：C.
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性及特殊值判定即可.
【详解】由可知是偶函数，即其图象关于纵轴对称，排除C、D选项；
又当时，，排除B项.
故选：A
6．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数的性质比较大小即可.
【详解】因为，，，
所以.
故选：A
7．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可.
【详解】由题意可得：，解得：，
即或，
根据二次函数及复合函数的性质可知，
的单调递增区间为：.
故选：C.
8．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
二、多选题
9．若函数，且，则实数的值可能为（ ）
A．B．0C．2D．3
【答案】BCD
【分析】分和两种情况求解即可.
【详解】当时，由，得，得，解得或，
当时，由，得，得，解得（舍去）或，
综上，，或，或，
故选：BCD
10．设函数，则（ ）
A．是偶函数B．在上单调递减
C．的最大值为D．是的一个零点
【答案】AC
【分析】根据函数解析式，研究函数的奇偶性、单调性、最值和零点，验证各选项的结论.
【详解】函数，由得的定义域为，关于坐标原点对称，又，所以为定义域上的偶函数，A选项正确；
令，则，由二次函数的性质，当时，为增函数；当时，为减函数；
在定义域内为增函数，由复合函数的单调可知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误；
由函数单调性可知，最大值为，C选项正确；
，解得，则的零点为，D选项错误.
故选：AC.
11．以下说法正确的有（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．设，，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】CD
【分析】根据充分、必要条件、存在量词命题的否定等知识确定正确答案.
【详解】A选项，，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件，A选项错误.
B选项，因为由，得，即，
命题“，”的否定是“，”，所以B选项错误.
C选项，；
所以，所以“”是“”的充分不必要条件，
所以C选项正确.
D选项，由于，所以“”是“”的必要不充分条件，
所以D选项正确.
故选：CD
12．已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ）
A．的单调递增区间为
B．a的取值范围是
C．的取值范围是
D．函数有4个零点
【答案】CD
【分析】作出的图象，结合图象逐一判断即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：

对于A，由图象可得的单调递增区间为，故A不正确；
对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以,，故B不正确；
对于C，则题意可知：，，所以，所以,，故C正确；
对于D，令，则有，令，则有或，
当时，即，即，解得；
当时，即，所以或，解得，或或，
所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确．
故选：CD．
三、填空题
13．若“使”为假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.
【详解】因为“使”为假命题，
所以“，”为真命题，
其等价于在上恒成立，
又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
而，所以，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
14．已知函数，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】先根据奇偶性定义判断的奇偶性，再应用导数判断的单调性，最后根据奇函数及单调递增解不等式即可.
【详解】为奇函数，
单调递增，
，
故不等式的解集为.
故答案为：
15．对于实数，给出下列命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则
其中正确命题的序号是 ．
【答案】②④
【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断.
【详解】对于①∵，∴只有时才成立，∴①不正确；
对于②，；，∴②正确；
对于③，若，如，但，∴③不正确；
对于④，，∴，，
又∵，∴，∴，∴，∴④正确．
故答案为：②④.
16．已知函数，若对， ，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题设在对应区间上有，结合幂、指数函数性质求对应区间内、的最值，即可求参数范围.
【详解】由题意，在各对应区间上有，
而在的最小值为，在上的最小值为；
所以.
故答案为：
四、解答题
17．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为，其中x是仪器的产量（单位：台）；
(1)将利润表示为产量x的函数（利润＝总收益﹣总成本）；
(2)当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元
【分析】（1）利润＝收益﹣成本，由已知分两段当时，和当时，求出利润函数的解析式；
（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值.
【详解】（1）当时，
，
当时，
，
所以.
（2）当时，，
所以当时，取得最大值25000，
当时，，
综上，当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元.
18．（1）已知，，求的取值范围；
（2）已知正数x，y满足.
（i）求的最大值；
（ii）求的最小值.
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）4
【分析】（1）根据不等式的基本性质进行求解；
（2）（i）由基本不等式得到，求出；
（ii）利用基本不等式“1”的妙用进行求解.
【详解】（1）由，得，
又，得；
（2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得，
解得（当且仅当时取等号），
所以的最大值；
（ii）
当且仅当时，即取等号，
故的最小值为4.
19．已知：实数满足，：实数满足（其中）.
(1)若，且为真，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因为为真，真或真，取并集即可；
（2）是的充分不必要条件得出是的充分不必要条件，得出集合间关系列不等式计算即可.
【详解】（1）：实数满足，解得，
当时，：，解得，
∵为真，∴或，∴，
∴实数的取值范围为；
（2）∵，由，解得，即：，
∵是的充分不必要条件，∴是的充分不必要条件，
∴（等号不同时取），∴，∴实数的取值范围为.
20．已知幂函数的图像关于点对称．

(1)求该幂函数的解析式；
(2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图像；
(3)直接写出函数的解集．
【答案】(1)
(2)图像见解析
(3)
【分析】（1）利用幂函数的定义求出m值，再结合其图像性质即可得解.
（2）由（1）求出函数，再借助反比例函数与偶函数的对称性作出的图像.
（3）根据（2）中图像特征写出函数的单调区间.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或，
当时，函数定义域是，
易得是奇函数，图像关于原点对称，则满足题意；
当时，函数，
易知是R上的偶函数，其图像关于y轴对称，关于原点不对称；
综上：幂函数的解析式是.
（2）因为函数，定义域为，
且，
所以是上的偶函数，
当时，在上单调递减，其图像是反比例函数在第一象限的图像，
作出函数在第一象限的图像，再将其关于y翻折即可得在定义域上的图像，如图，

（3）观察（2）中图像可得，
的解集为.
21．已知函数，不等式的解集为，且.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意分析可得且0和2为方程的两个根，结合韦达定理运算求解；
（2）分、和三种情况，结合二次函数对称性运算求解.
【详解】（1）因为函数，不等式的解集为，
所以且0和2为方程的两个根，
则有，解得，，
又因为，则，可得，，
所以.
（2）因为，图象开口向上，对称轴为，
①当时，函数在上单调递增，
所以；
②当，即时，函数的对称轴在区间内，
故；
③当，即时，函数在上单调递减，
所以；
综上所述：.
22．已知函数（且）.
(1)求函数的定义域；
(2)若，求函数的值域；
(3)是否存在实数a，b，使得函数在区间上的值域为，若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，
【分析】（1）根据对数函数的性质求解函数的定义域；（2）首先变形，再根据函数的定义域求函数的值域；（3）由函数的定义域确定，讨论和两种情况讨论函数的单调性，再由函数的值域，列方程，即可求解.
【详解】（1）由，解得的定义域为.
（2）当时，，.
因为的定义域是，所以，
所以，，
所以，
所以，的值域是.
（3）因为函数在上的值域为，又，且，
由的定义域得，所以.
①当时，因为在上单调递减，所以函数在上单调递增，
所以，即，
因为，所以，所以无解.
（或者因为，所以，所以无解），
故此时不存在实数a，b满足题意.
②当时，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，
所以，即
解得或（舍），.
综上，存在实数，.