2024届四川省绵阳南山中学实验学校高三上学期9月月考数学（理）试题含解析

这是一份2024届四川省绵阳南山中学实验学校高三上学期9月月考数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定集合，再由并集的定义计算．
【详解】由已知
，
故选：C．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】存在命题的否定是全称命题，
命题“，”的否定是：，．
故选：C．
3．函数的零点为，且，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据零点的存在性定理求解.
【详解】因为在单调递增，
且，
即，所以，
故选：C.
4．已知函数的最小正周期是，当时，函数取得最小值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数的最小正周期可求得的值，由当时，函数取得最小值，可求出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值.
【详解】因为函数的最小正周期是，则，则，
当时，函数取得最小值，则，
所以，，所以，，其中，
因此，.
故选：B.
5．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数运算法则可求得，由此可得结果.
【详解】由题意得：，
，，
即当火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值为.
故选：D.
6．已知等差数列，其前n项和满足，则（ ）
A．4B．C．D．3
【答案】A
【分析】由等差数列的前项和公式，与等差中项易得，由等差中项易得.
【详解】是等差数列，其前n项为，
，
，.
故选：A.
7．已知点在幂函数f（x）＝xn的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b
【答案】C
【解析】先将点代入幂函数即可求出，再利用幂函数的单调性即可判断出大小.
【详解】解：∵点在幂函数f（x）＝xn的图象上，
∴，∴，
∴幂函数，在上单调递减，
又∵，
∴，即a＞c＞b.
故选：C．
8．若：实数使得“”为真命题，：实数使得“”为真命题，则是的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据命题的真假性求出的范围，化简命题，再根据充分性和必要性的概念求解即可.
【详解】因为：实数使得“”为真命题，
所以有解，所以，解得，
即；
因为：实数使得“”为真命题，
所以，由指数函数的图象和性质可得，
即，
所以，，即是的必要不充分条件，
故选：A
9．部分图象大致是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，可化为
所以，
故为偶函数，图形关于y轴对称，排除B，D选项；
令可得，或，
由，解得，，
由，解得，
所以函数最小的正零点为，
当时，，，，排除A，
故选：C.
10．设函数，则使得 的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式判断函数单调性和奇偶性，将外函数大小比较转换为内函数的大小比较，由此得出答案.
【详解】函数的定义域为，且
所以函数为偶函数，
又因为当时，函数，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为偶函数有，
所以由可得，
所以，即，整理得：，
解得：，
所以的取值范围为.
故选：C.
11．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．14B．13C．12D．11
【答案】C
【分析】根据给定条件，分析函数的性质，在同一坐标系内作出函数的部分图象，借助图形求出在内两个图象交点个数作答.
【详解】函数的定义域为，而，即是周期为2的周期函数，
函数在上递增，且，在上递减，且，在上递增，且，
在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图，
由得，即函数在内的零点个数是函数的图象在内的交点个数，
观察图象知，函数的图象在内有12个交点，
所以函数在内有12个零点，C正确.
故选：C
12．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围.
【详解】设，，
所以函数在上为增函数．
由的定义域为可知，得，
将不等式整理得，即，
可得在上恒成立，即在上恒成立；
令，其中，所以
，令，得．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以，即
故选：B．
二、填空题
13．若实数满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】3
【分析】由实数满足约束条件，作出可行域，再平移直线，由直线直线在y轴上的截距最小时求解.
【详解】解：由实数满足约束条件，得可行域如图所示：
平移直线，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，
此时目标函数取的最大值，最大值为3，
故答案为：3
14．已知函数，则 .
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，进而求解结论.
【详解】解：∵函数，
∴，
∴.
故答案为：.
15．若，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据对数的运算找出之间的关系，再利用基本不等式求出最值.
【详解】
即：则，于是
当且仅当时等号成立.
故答案为：.
【点睛】灵活使用对数的运算法则，以及掌握基本的基本不等式题型.
16．设定义在上的函数与的导函数分别为和， 若，， 且为奇函数， 则下列说法中一定正确的是 .
（1）函数的图象关于对称；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）（3）
【分析】根据 为奇函数推出对称中心 , 根据 逆向思维得到 , 代入 推出 的对称轴 , 进一步得出周期 4 , 周期也为 4 , 算出时的函数值以及一个周期内的值即可求解.
【详解】因为, 则,
因为 ，所以,
用去替x，所以有，所以有,
取 代入得到 则 ，
故，用换x，可得，函数的图象关于对称,故（1）正确；
在上为奇函数, 则 过, 图像向右移动两个单位得到过，故图像关于对称，; ，而，所以有，则 的周期 ;
又因为图像关于对称，;函数的图象关于对称,，故
,
,故（3）正确；
, 是由 的图像移动变化而来, 故 周期也为 4 ,
因为 ,
所以 ，,
所以，故（2）错误；
，周期为 4 , ，,,
故，
由于的值未知，不一定为0，所以无法判断的值为-4046，
故（4）错误;
故答案为：（1）（3）
三、解答题
17．已知数列的前项和，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）当时，可求出，当时，利用可求出是以2为首项，2为公比的等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求出其前项和.
试题解析：（1）依题意：当时，有：，又，故，由①
当时，有②，①－②得：化简得：，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴.
（2）由（1）得：，∴
∴
18．已知函数在时取得极大值4.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
【答案】(1)；
(2)最大值为4，,最小值为0.
【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；
（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.
【详解】（1），由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
19．记的内角所对边分别为．已知．
(1)求的大小；
(2)若，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求的面积．
条件①：；条件②：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)由正弦定理化边为角，结合内角和公式，三角函数恒等变换化简求；
(2)若选①，由正弦定理求，由条件求，结合三角形面积公式求面积，
若选②，由条件可设，利用余弦定理求，结合三角形面积公式求面积.
【详解】（1），
由正弦定理知，即．
在中，由，
．
．
．
．
（2）若选择条件①，由正弦定理，得．
．
又，即．
．
．
若选择条件②，由，即．
设．
则．
由，得．
．
．
20．已知函数（），（）．
(1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值；
(2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求导，由导函数几何意义得到方程，求出，从而得到，代入切线中，求出答案；
（2）转化为时，，求导得到的单调性，求出，再分三种情况求出，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】（1），由得，
∴，，
即切点为，代入方程得，
所以，；
（2）由题意可得时，．
∵时，在恒成立，
故在为增函数，
∴，
．
①当时， 在区间上递增，所以，
由解得，舍去；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，解得或，
∴；
③当时，在区间上递减，所以，
由解得，∴.
综上，.
21．已知函数（为常数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：（1）先求函数导数，讨论导函数符号变化规律：当时，导函数不变号，故的单调递增区间为.当时，导函数符号由正变负，即单调递增区间为,单调递减区间减区间为，（2）先求导数得为方程的两根，再求导数得，因此，而由为的零点，得,两式相减得,即得，因此，从而，其中根据韦达定理确定自变量范围：因为
又，所以
试题解析：（1），当时，由解得,即当时，单调递增， 由解得,即当时，单调递减,当时，,即在上单调递增,当时，故，即在上单调递增,所以当时，的单调递增区间为,单调递减区间减区间为，当时，的单调递增区间为.
（2）,则,所以的两根即为方程的两根. 因为,所以,又因为为的零点，所以,两式相减得,得,而,
所以
令,由得
因为,两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以，设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.
【解析】利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值
【思路点睛】导数与函数的单调性
(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则
y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.
(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.
22．已知在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），点.
（Ⅰ）将曲线的方程化为普通方程，并指出曲线是哪一种曲线；
（Ⅱ）直线与曲线交于点，当时，求直线的斜率..
【答案】(Ⅰ)，圆;(Ⅱ)1.
【分析】（Ⅰ）消去参数可得曲线的普通方程是，曲线是圆.
（Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的普通方程，结合直线参数的几何意义计算可得直线的斜率为.
【详解】（Ⅰ）参数方程化为普通方程可得曲线的普通方程是，曲线是圆.
（Ⅱ）点满足：
所以，即.
因为，所以.
从而.
所以.
据此可得直线的斜率为.
【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化.
23．设函数，M为不等式的解集.
(1)求M；
(2)证明：当a，时，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意给的函数解析式，分段去绝对值号，分别求解不等式解集即可完成求解；
（2）根据第（1）问求解出的范围，对要证明的式子进行平方，然后合并即可判断.
【详解】（1）
①当时，由得，
解得；即；
②当时，由得，
解得，即；
③当时，由得，
解得，此时，这样的x不存在.
所以的解集.
（2）证明：由（1）知，当时，，，
从而，
因此，
即得证.