2024届河北省邢台市四校质检联盟高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2024届河北省邢台市四校质检联盟高三上学期第一次月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】化简集合A，根据集合的交集运算求解即可.
【详解】由得，
因为在内增函数，所以有，解得，
即.
因此，.
故选：B.
2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的除法和乘法运算化简，再根据几何意义确定复数所在象限即可.
【详解】由题意可得，
则复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D.
3．将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区做环保宣传，每个志愿者只能去其中一个社区且每个社区只能安排一名志愿者，则甲不被分到A社区的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区的所有情况，以及甲不被分到A社区的情况，求出概率.
【详解】甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区，共有种情况，
其中甲不被分到A社区，则从乙、丙、丁中选择一个分到A社区，
剩余3人分配到3个社区，故共有种情况，
故甲不被分到A社区的概率是．
故选：C
4．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由对数的运算结合集合的包含关系判断即可.
【详解】由，得.设，，
因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
5．将函数的图象向右平移个单位长度，得到偶函数的图象，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先得到的解析式，根据为偶函数，得到，得到的最小值.
【详解】由题意可得，
因为是偶函数，所以，解得．
因为，所以当时，取得最小值，最小值是．
故选：B
6．若，且，则（ ）
A．a的最小值为4B．的最小值为4
C．a的最大值为4D．的最大值为4
【答案】B
【分析】根据二项分布方差的性质得到方程，得到，由基本不等式求出.
【详解】因为，所以，
则，因为（当且仅当时，等号成立），
所以，则的最小值为4．
故选：B
7．在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得.
【详解】
因为，所以，
则.
因为A，P，D三点共线，所以.
因为，所以.
因为E是边AB的中点，
所以.因为E，P，F三点共线，
所以，
则，解得，从而，，故.
故选：A
8．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】化为，结合函数图象和，得到，求出答案.
【详解】令得，
因为，所以．
因为在上恰有两个零点，所以，解得．
故选：C
二、多选题
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则向量，的夹角是
【答案】BD
【分析】AB选项，由向量平行和垂直得到方程求出答案；C选项，先计算出，利用模长得到方程，求出的值；D选项，利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】A选项，由，得，解得，则A错误，
B选项，由，得，解得，则B正确，
C选项，由，
因为，所以，解得或，则C错误．
D选项，由，得，，
则，
因为，所以，
从而向量，的夹角是，故D正确．
故选：BD
10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值可能是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】BC
【分析】由正弦定理得到或，分两种情况，求出答案.
【详解】因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，
即，
所以，所以或．
当时，，因为，所以，
所以，，则，
当时，，
综上：的值为或2.
故选：BC
11．已知定义在的函数满足，且，当时，，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．在上单调递减，在上单调递增
D．不等式的解集是
【答案】AD
【分析】利用可求出判断A，根据定义域判断奇偶性判断B，由单调性定义判断C，由函数性质及单调性脱去“f”解不等式判断D.
【详解】令，得，即，则A正确；
由题意可知的定义域是，则是非奇非偶函数，故B错误；
当时，因为，所以，因为，
所以，则在上单调递增，故C错误；
令，得，因为，所以.
因为，所以，所以，所以等价于，
因为在上单调递增，所以，解得，则D正确.
故选：AD
12．关于x的不等式在上恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意，把不等式转化为两个函数的公切线问题，利用导数研究函数性质即可求解.
【详解】由，
可得，
即．
记，，
令，，则，
令，则恒成立，
所以在上单调递增且，所以当时，，
所以，当且仅当时，等号成立，即如下图所示：
，
又，，且，从而为与在处的公切线时，才能使原不等式恒成立，
，，则在处的切线方程为，即，
得，．
故选：BC.
三、填空题
13．已知单位向量，满足，则向量，的夹角是 ．
【答案】/
【分析】两边平方得到，从而求出，得到答案.
【详解】因为，两边平方得，
即，
因为，为单位向量，故，解得，
则，
又，故，
故向量，的夹角是．
故答案为：
14．已知，，且，则的最小值是 ．
【答案】18
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】由题意可得，当且仅当，时，等号成立．
故答案为：18
15．已知，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式和二倍角公式把用来表示即可求解.
【详解】．
故答案为：.
16．某迷宫隧道猫爬架如图所示，，C为一个长方体的两个顶点，，是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从点沿着图中的线段爬到点，再从点沿着长方体的棱爬到点，则小猫从点爬到点可以选择的最短路径共有 条.

【答案】
【分析】应用乘法原理计算即可.
【详解】小猫要从点爬到点，需要先从点爬到点，需要走3横3竖，则可选的路径共有条，
再从点爬到点的路径共6条，用分步乘法计数原理可得小猫可以选择的最短路径有20×6=120条.
故答案为：120.
四、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简求解；
（2）由，得到，再由的面积为，得到，然后利用余弦定理求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.
（2）由（1）可得，所以.
因为的面积为，所以，
所以，则.
由余弦定理可得，
即，所以，则.
故的周长为.
18．已知函数．
(1)求的极值；
(2)讨论函数的零点个数．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数即可求解.
（2）的零点个数为函数的图象与直线的交点个数，用导数法研究零点个数即可.
【详解】（1）定义域为：,
由题意可得．
由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
故，．
（2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，
，，且当时，，当，．
的图象如下图所示：
令，得．
当或时，方程有且仅有1个实根，即有1个零点；
当或时，方程有2个实根，即有2个零点；
当时，方程有3个实根，即有3个零点．
【点睛】本题只要考查了函数的极值与零点，考查了灵活利用导数知识分析问题，解决问题的能力，综合考查了逻辑推理与运算能力，体现了分类讨论的思想.
19．已知函数在一个周期内的图象经过，，且的图象关于直线对称．
(1)求的解析式；
(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，从而得到，代入，求出，得到函数解析式；
（2）先根据得到，从而确定的最小值为，从而得到，求出答案.
【详解】（1）由题意可得，，，
因为，所以．
因为在的图象上，所以，
所以，所以．
因为，所以只有满足要求，故；
（2）因为，所以．
当，即时，取得最小值，最小值为．
因为存在，使得不等式成立，所以，
即，解得，即a的取值范围为．
20．某批发市场供应的排球中，来自甲厂的占，来自乙厂的占，来自丙厂的占，甲厂生产的排球的合格率为，乙厂生产的排球的合格率为，丙厂生产的排球的合格率为．
(1)若小张到该市场购买1个排球，求购得的排球为合格品的概率．
(2)若小李到该市场批发2个排球回去销售，购买的1个球来自甲厂，1个球来自丙厂，已知来自己甲厂的每个排球售出后可获得纯利润10元，没有售出则每个球将损失5元，且每个球被售出的概率等于排球的合格率；来自丙厂的每个排球售出后可获得纯利润8元，没有售出则每个球将损失6元，且每个球被售出的概率等于排球的合格率．求小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润的数学期望．
【答案】(1)
(2)16.69元
【分析】（1）利用全概率公式可求得所求事件的概率；
（2）设小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润为X元，依题意可得X的可能取值为18，4，3，，求出对应的概率，利用数学期望公式求出答案.
【详解】（1）设A，B，C分别表示购买的排球来自甲厂、乙厂、丙厂，D表示购买的排球是合格品，
则，，
，，，
所以
．
（2）设小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润为X元，
依题意可得X的可能取值为，，，，即18，4，3，，
，
，
，
，
所以，
故小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润的数学期望为16.69元．
21．如图，在平面四边形ABCD中，，，，．
(1)若，求四边形的面积；
(2)求的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据余弦定理得到，并求出，利用三角形面积公式分别求出和的面积，相加即可；
（2）设，由余弦定理得到，由正弦定理得到，结合，利用余弦定理得到，从而求出的最大值.
【详解】（1）的面积为，
由余弦定理可得，
则．
因为，，所以，
则的面积，
故四边形ABCD的面积为，
（2）设，由余弦定理可得，
则．
在中，由正弦定理可得，则．
因为，，所以．
由余弦定理可得，
即
当，即时，的值最大，最大值为．
22．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）根据求导数，判断导数的正负即可求相应的单调区间；
（2）构造新函数，对其含参部分进行放缩，再对不等式进行证明即可.
【详解】（1）的定义域为，，
令，得．
由，解得，
由，解得．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）证明：令，
令，则，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以．
由，可得，
即证．
令，则
．
由，可得（舍去）．
因为当时，，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
所以，则，
所以，结论成立．
【点睛】1.对复杂函数的单调性问题，通常用其导数来进行判断；
2.对含参数的不等式证明，通常可以对含参部分进行放缩，去掉参数，再证明不等式；
3.在函数不等式证明过程中，如果既有指数函数，又有对数函数，通常采用“对数单身狗，指数找朋友”的原则对函数进行转化.