2024届河南省实验中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2024届河南省实验中学高三上学期第一次月考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据根号下大于等于0求出集合，再利用交集和补集的含义即可得到答案.
【详解】由题意得，解得，故，
因为，
故.
故选：B.
2．若复数满足（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．
C．D．在复平面内对应的点在第二象限
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算可得，在根据复数相关概念和几何意义，逐项判断，即可得到正确结果.
【详解】因为，所以，
所以的虚部为，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点在第一象限，故D错误.
故选：B.
3．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性、区间函数值符号及对应幂、指数复合函数的增长趋势，应用排除法确定答案即可.
【详解】由且定义域，即是偶函数，排除D；
当时，，即，此时，排除C；
当趋向时，、均趋向，但随变大，的增速比快，
所以趋向于，排除B.
故选：A.
4．的展开式中的系数为（ ）
A．55B．60C．65D．70
【答案】A
【分析】，根据的展开式的通项求出的系数.
【详解】的展开式的通项为，
，
的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
故展开式中的系数为.
故选；A.
5．已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据极值的定义，结合充分不必要条件的性质进行判断即可.
【详解】，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因此是函数的极大值点，要想在在区间上存在极值，
只需，显然四个选项中，只有能推出，
但是推不出，
故选：A
6．已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过变形可将问题转化为对，单调递减；即在上恒成立；通过分离变量的方式可求得的取值范围.
【详解】由且得：
对，，都有
令，则
则只需对，单调递减即可
即在上恒成立
令，则
当时，，则在上单调递减
当时，，则在上单调递增

本题正确选项：
【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围问题，关键是能够将原题中的恒成立的关系转化为函数单调性的问题，从而通过分离变量的方式来求解.
7．设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】由题意，再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得，，再根据勾股定理列式求解决即可.
【详解】∵为圆上的点，，
，∴是的中点，
又是的中点，，且，
又，，
是圆的切线，，
又，，
故，离心率.

故选：D
8．已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有（ ）个
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】借助导函数以及二次函数性质分别作出和的图象，再利用换元思想和分类讨论法并结合图象求解即可.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当时，,单调递增；当时，,单调递减；
当时，,单调递增，，，
函数的图象如下：
方程，令，则，
由已知条件可作的图象如下：
由的图象知，
①当 时，方程有两个根、，且，，
由的图象知，当时，有1个根，当时，有3个根，
此时方程有4个根；
②当时，方程有两个根、，且，，
由的图象知，当时，有2个根，当时，有3个根，
此时方程有5个根；
③当时，方程有两个根、，且，，
由的图象知，当时，有3个根，当时，有3个根，
此时方程有6个根；
④当时，方程只有1个根，且，由的图象知，当时，有2个根，
此时方程有2个根；
⑤当时，方程只有1个根，且，由的图象知，当时，有1个根，
此时方程有1个根；
所以方程的实根最多有6个根.
故选：C
【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
二、多选题
9．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可.
【详解】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
所以，，
所以，，，
所以BD正确，C错误；
若，则，A错误.
故选：BD
10．设，，满足，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为1
【答案】AC
【分析】根据进行计算可判断A；利用“1”的妙用及基本不等式计算可判断B；将变形为，再根据二次函数的性质求最小值可判断C；利用将变形为，然后结合的范围可判断D.
【详解】因为，，所以，所以，所以，当且仅当即时取等号，则的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为，故B错误；
因为，所以，
因为，所以，故当时，取最小值为，故C正确；
因为，且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为，故D错误．
故选：AC.
11．已知正项等比数列的前n项积为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式及其性质，逐项分析得出数列的单调性，即可得出结论.
【详解】不妨设正项等比数列的公比为，所以，；
对于A，若，则，由等比数列性质可得，
所以可得，即A正确；
对于B，若，可得，又，所以；
所以，又，可得，
因此可得，即，所以B正确；
对于C，若，可得，又，因此的大小无法判断，所以C错误；
对于D，若，可得，又，所以可得，即数列为递减数列；
可得，即，所以D正确；
故选：ABD
12．已知定义在上的函数，其导函数的定义域也为.若，且为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由题意可以推出的周期以及对称中心，根据，可得的周期是4，又是由向左平移1个单位得到的，且注意到为奇函数，因此的对称中心为；然后对每一选项逐一验证判断即可.
【详解】对于A选项：注意到，又是由向左平移1个单位得到的，
且注意到为奇函数，因此的对称中心为即，因此；故A选项符合题意.
对于B选项：令，此时满足题意，但，故B选项不符题意.
对于C选项：因为的对称中心为，所以，又已知，
所以，这表明了关于直线对称，即，
由复合函数求导法则且同时两边对求导得；故C选项符合题意.
对于D选项：由的对称中心为，即，两边对求导得，
结合C选项分析结论，可知，
所以这表明了的周期为4，
因此，注意到，
所以；故D选项符合题意.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解决本题有两个关键之处，一方面：的周期以及对称中心并举反例排除B选项；另一方面：得出的对称轴，进而求出的奇偶性、周期性.
三、填空题
13．有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占，乙工厂生产的占.已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为，，则从这批产品中任取一件是次品的概率是 .
【答案】0.024
【分析】利用全概率公式直接求解．
【详解】设，分别表示甲、乙厂生产的产品，表示取到次品，
则，，
，，
从中任取一件产品取到次品的概率为：
，
故答案为：0.024．
14．已知，若，，则= ．
【答案】
【详解】因为，所以，又，
，整理得
解得或（舍去）
因此，因为，所以，
，
15．已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是 .
【答案】
【分析】构造，由已知条件结合导数研究其单调性，利用奇偶性定义判断的奇偶性，再将不等式化为求解集.
【详解】令且，则，
又当时，，所以当时，，所以在上递增，
由为偶函数，则，故为奇函数，
所以在上递增，且，作出函数g(x)的示意图：
又等价于，等价于或，等价于或，
所以或，故.
故答案为：.
16．设函数有两个不同极值点，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题，结合韦达定理，判别式得，，再令，，进而将转化为的范围问题，再结合导数求最值即可.
【详解】函数，
则
因为有两个不同极值点，
则当时，有两个不相等的实数根
所以解得
因为，
所以，
所以
令，故，
则，所以，
则在上单调递增，
所以，又当趋近于时，趋近于，
所以，即，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于借助函数极值点得到的取值范围，再结合换元法将问题转化为求解函数，值域问题即可得答案.
四、解答题
17．已知数列满足，，数列满足，.
（1）证明：是等比数列；
（2）数列满足，求数列的前项的和.
【答案】（1）见解析（2）
【详解】试题分析：
(1)题中所给的递推关系整理可得：，且，据此可得是首项为2，公比为2的等比数列，
(2)由题意结合(1)的结论可得，裂项求和可得.
试题解析：
（1）
，又因为，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
（2）


满足上式.
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
18．在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且.
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角的关系；
（2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可求得线段长度的取值范围.
【详解】（1）由题意得，由正弦定理得，
因为，则，即，可得，整理得，
由余弦定理得，整理得，
由正弦定理得，
故，整理得，
又因为为锐角三角形，则，可得，
所以，即.
（2）在中，由正弦定理得，
所以，
因为为锐角三角形，且，所以，解得.
故，所以.
因此线段长度的取值范围.
19．如图，在四棱锥中，底面，，，，直线与平面所成的角为.

(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作于点，于点，通过余弦定理角解得，再通过勾股数得，再利用线面垂直的性质得到，从而得到平面，再利用线面垂直的性质即可证明结果；
（2）建立空间直角坐标，利用向量法即可求出二面角的大小.
【详解】（1）作于点，于点，
因为，，则，，
所以，又，所以，
由余弦定理可知，得到，所以，
所以，又底面，面，
所以，又，面，所以平面，
又面,所以.

（2）以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图坐标系
因为平面，所以与平面所成的角就是
所以，为等腰直角三角形，所以
，，，，
设平面的法向量，则则由，得到，
取，得，
又易知，平面的一个法向量，
，由图知二面角为锐角
所以二面角的余弦值为.

20．如图，城市正东的地有一大型企业，、之间有一条公里的普通公路相连.为了发展当地经济，减轻城市交通压力，经过地新修了一条高速公路，且在地设置了高速出口，现准备在、之间选择一点（不与、两点重合）修建一条公路，并同时将段普通公路进行提质.若，且公里，公路的建造费用为每公里万元，段公路的提质费用为每公里万元，设公里，且公路、均为线段.
(1)求公路与的费用之和关于的函数关系式；
(2)如何选择点的位置，可以使总费用最小，并求出其最小值.
【答案】(1)，其中
(2)当公里时，总费用最小，且最小费用为万元.
【分析】（1）求出，根据可得出所求函数解析式，并标出的取值范围；
（2）利用导数求出函数的最小值及其对应的值，即可得出结论.
【详解】（1）解：由勾股定理可得，其中，
所以，，其中.
（2）解：，
由可得；由可得.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数取最小值，
即（万元），
因此，当公里时，总费用最小，且最小费用为万元.
21．2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：
（1）估计该组数据的中位数、众数；
（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；
（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（ⅰ）得分不低于可获赠2次随机话费，得分低于则只有1次；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和对应概率如下：
现有一位市民要参加此次问卷调查，记(单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列和数学期望.
附：，
若，则，.
【答案】（1）中位数为，众数为65.（2）（3），分布列见解析
【详解】试题分析：（1）由频率分布直方图可估计该组数据的中位数、众数；
（2）利用加权平均数公式计算平均值；再根据正态分布的性质求；
（3）设得分不低于分的概率为，则，则的取值为10，20，30，40，利用相互独立事件的概率公式计算各个概率，得到的分布列和数学期望.．
试题解析：（1）由 ，得，设中位数为，由 ，解得，由频率分布直方图可知众数为65.
（2）从这1000人问卷调查得到的平均值为

因为由于得分服从正态分布，
所以 .
（3）设得分不低于分的概率为，则，
的取值为10，20，30，40，
，，
，，
所以的分布列为：
所以.
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导后分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出其单调区间，
（2）由，得，令，则有对恒成立，判断出在单调递增，则转化为对恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值，从而可求出实数a的取值范围.
【详解】（1）依题意，得.
当时，，所以在单调递增.
当时，令，可得；
令，可得，
所以在单调递增，在单调递减.
综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.
（2）因为当时，，所以，
即，
即，
即.
令，则有对恒成立.
因为，所以在单调递增，
故只需，
即对恒成立.
令，则，令，得.
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以.
因此，所以.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为，构造函数，则对恒成立，再利用函数的单调性进一步转化为对恒成立，再次构造函数，利用导数可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题.
赠送话费(单位：元)
概率