2024届江西省上饶市第一中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2024届江西省上饶市第一中学高三上学期第一次月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解不等式求出集合，再利用集合的运算求出各选项的结果进行验证.
【详解】由题意可得，，
则,
所以或，，
，，
故选：D.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过不等式性质分别求解出与的范围，从而再进行判断.
【详解】由，可得或，即或，
由，可得或，即或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦的和差公式对原式进行展开，平方后再利用，，去进行整理可得.
【详解】因为，所以，平方后可得，整理得，所以.
故选：D.
4．已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要在区间上单调递增且即可．
【详解】解：令，
由题意知：在区间上单调递增且，
，解得，
则实数的取值范围是．
故选：C．
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式求得函数定义域，判断函数奇偶性，再取几个特殊值运用排除法得到答案.
【详解】由题意知，，解得，所以定义域关于原点对称，又因为，所以此函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A.
当时，，排除B.
，函数只有1个零点，排除C.
故选：D
6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理面积公式和余弦定理求解即可.
【详解】因为的面积为，，
所以，即.
所以，
所以.
故选：D.
7．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）参考数据：．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案.
【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以．
再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为．
故选：C.
8．已知，，，则，，的大关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，求导得出函数的单调区间，即可比较；构造函数，求导得出函数的单调区间，即可比较，即可得解．
【详解】由条件知，，
设，，
则，所以函数在上单调递增，
于是，即，
所以，
设，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，当时取等号，
所以，得到，所以．
故选：C
二、多选题
9．已知，，，均为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据不等式的性质判断．
【详解】，，即，A错误；
若，，则，即，B正确；
，，，C正确；
，则，，，所以，D正确；
故选：BCD．
10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．的图象关于直线对称
C．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于原点对称
D．若在上有且仅有一个零点，则
【答案】ABD
【分析】由最值求，由周期求，再由，可求，进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断.
【详解】由题意可得，，故，A正确；
又因为，故，
所以，所以 .
对于B，当时，，的图象关于直线对称,B正确；
对于C，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象不关于原点对称，C错误；
对于D，在上有且仅有一个零点，D正确.
故选：ABD.
11．已知定义在上的函数，其导函数的定义域也为.若，且为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由题意可以推出的周期以及对称中心，根据，可得的周期是4，又是由向左平移1个单位得到的，且注意到为奇函数，因此的对称中心为；然后对每一选项逐一验证判断即可.
【详解】对于A选项：注意到，又是由向左平移1个单位得到的，
且注意到为奇函数，因此的对称中心为即，因此；故A选项符合题意.
对于B选项：令，此时满足题意，但，故B选项不符题意.
对于C选项：因为的对称中心为，所以，又已知，
所以，这表明了关于直线对称，即，
由复合函数求导法则且同时两边对求导得；故C选项符合题意.
对于D选项：由的对称中心为，即，两边对求导得，
结合C选项分析结论，可知，
所以这表明了的周期为4，
因此，注意到，
所以；故D选项符合题意.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解决本题有两个关键之处，一方面：的周期以及对称中心并举反例排除B选项；另一方面：得出的对称轴，进而求出的奇偶性、周期性.
12．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意，下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．不存在，使得
D．存在，使得
【答案】BD
【分析】设，根据题意求得在上恒成立，得到在上单调递增，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，所以在上恒成立，
且不恒为0，所以在上单调递增，
对于A中，因为，所以，即，
但不能推得，所以A错误；
对于B中，由于，所以，即，所以.所以B正确；
对于C中，假设，则，又在上单调递增，
所以，取，能使等式成立，故存在，使得.所以C错误；
对于D中，存在，使得（如，满足且），
则，即，即，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】知识方法：构造法求解与共存问题的求解策略：
（1）对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，
（2）常见类型：①型；②型；③为常数型.
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】
【分析】根据导数的运算法则及复合函数求导的知识求得正确答案.
【详解】由于
，
所以．
故答案为：
14．已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】[－2，5]
【详解】试题分析：，，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，即
【解析】充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
15．已知且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．
【详解】解：令，，因为，所以，
则，，所以,
所以
，
当且仅当，即，，即时取“”，
所以的最小值为.
故答案为：.
16．已知定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数，由题意可得在上单调递减，不等式转化为，利用单调性，即可得出答案.
【详解】令，则，
所以当时，，即当时，，
所以在上单调递减，
又，所以，
因为，即，所以，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题
17．等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
（2）由an＝化简bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列{an}的公比为q,
由＝9a2a6得＝9,
所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
（2）bn＝lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.
故.
所以数列的前n项和为
18．已知函数
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)函数在区间内有三个零点，求的取值范围．
【答案】(1)最小正周期，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）先化简得，利用周期公式可得周期，由正弦函数性质知在，上递减，即可求减区间；
（2）应用整体法求的区间，再由正弦函数的零点列出不等式求解即可．
【详解】（1），
的最小正周期，
取，，解得，，
的单调递减区间为
（2）当时，，故，
解得，即的取值范围．
19．如图，在多面体ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是边长为2的正三角形，是以为直角的等腰三角形，.

(1)证明：平面BCD.
(2)求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明线面垂直，再由线面垂直的性质得线线平行，利用线面平行判定定理求证即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）取CD的中点F，连接EF，BF.
因为是边长为2的正三角形，所以，且.
因为平面平面BCD，且平面平面，平面ECD，
所以平面BCD.
因为平面BCD，所以.
因为，所以四边形ABFE为平行四边形，
所以.
因为平面BCD，平面BCD，所以平面BCD.
（2）过点B作，以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
故，，，.
设平面ACE的法向量为，
则，
令，得.
设平面BDE的法向量为，
则，
令，得.
设平面ACE与平面BDE的夹角为，
则.
20．密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状､大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙､不重叠地铺成一片.皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成.为测皇冠图形的面积，测得在平面凹四边形（图2）中，，，.
(1)若，，求平面凹四边形的面积；
(2)若，求平面凹四边形的面积的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理可得，然后利用余弦定理，同角关系式及三角形面积公式即得；
（2）利用余弦定理及基本不等式可得，进而可得平面凹四边形面积的最小值.
【详解】（1）如图，连接，
在中，，，，
由余弦定理，得，，
在中，，，，
，
∴，
∴，又，
∴；
（2）由（1）知，，
中，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，
∴，
∴，
∴当且仅当时，平面凹四边形面积取得最小值.
21．某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：（，为常数，，）；乙产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：.已知投资甲产品为1万元，10万元时，获得的利润分别为5万元，16.515万元.
(1)求，的值；
(2)若该工厂计划投入50万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10万元，问怎样分配这50万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？
（参考数据：，）
【答案】(1)，
(2)甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元
【分析】（1）根据投资甲产品为1万元，10万元时，获得的利润列出方程，即可求得答案；
（2）设甲产品投资万元，乙产品投资万元，由此列出获得利润的表达式，利用导数求得最大值，可得答案.
【详解】（1）由题意知，，
整理得，解得，；
（2）设甲产品投资万元，乙产品投资万元，且，
则该公司获得的利润，；
则在上单调递减，
令，解得或（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴，
∴当甲，乙两种产品各投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09万元.
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导后分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出其单调区间，
（2）由，得，令，则有对恒成立，判断出在单调递增，则转化为对恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值，从而可求出实数a的取值范围.
【详解】（1）依题意，得.
当时，，所以在单调递增.
当时，令，可得；
令，可得，
所以在单调递增，在单调递减.
综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.
（2）因为当时，，所以，
即，
即，
即.
令，则有对恒成立.
因为，所以在单调递增，
故只需，
即对恒成立.
令，则，令，得.
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以.
因此，所以.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为，构造函数，则对恒成立，再利用函数的单调性进一步转化为对恒成立，再次构造函数，利用导数可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题.