2024届辽宁省鞍山市普通高中高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2024届辽宁省鞍山市普通高中高三上学期第一次月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【分析】先求，再求的值.
【详解】因为或，所以或.
故选：A.
2．已知，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要条件的定义就能行判断即可.
【详解】当“x＋y≤1”时，如x＝－4，y＝1，满足x＋y≤1，但不满足且，
当且时，根据不等式的性质有“x＋y≤1”，
故“x＋y≤1”是“且”的必要不充分条件．
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，属基础题.
3．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过点P(－2，－1)，则cs(2α＋π)＝
A．－B．－
C．D．
【答案】B
【分析】根据角的终边经过点的坐标，求得的值，利用诱导公式和二倍角公式可求得运算结果.
【详解】由于角的终边经过点，故，故.
【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查三角函数诱导公式和二倍角公式.三角函数的定义是.诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”.余弦的二倍角公式有三个，在解题时要选择合适的公式来解决，可以减少走弯路.
4．已知，；，.那么的取值范围分别为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】由全称量词和特称量词含义，可知与最大值与最小值的关系，由此得到结果.
【详解】由，得：，即；
由，得：，即.
故选：C.
5．已知函数是奇函数，且，，则（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【分析】先根据奇函数性质求，再求即可.
【详解】因为函数是奇函数且，
所以，即，
故.
故选：D.
6．设函数的最小正周期为，将f (x)的图象向右平移个单位后，所得图象
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于点对称D．关于点对称
【答案】A
【分析】由周期公式求出周期，利用三角函数的平移变换求得，由,
可得，从而可得结果.
【详解】的最小正周期为，
向右平移个单位，
可得，
由可得，
所以关于对称.
故选：A.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标. 属于中档题.
7．已知函数在处取得极值为10，则（ ）
A．4或－3B．4或－11C．4D．－3
【答案】C
【分析】根据函数在处有极值10，可知（1）和（1），可求出.
【详解】由，得，
函数在处取得极值10，
（1），（1），
，
或，
当 时，，在处不存在极值；
当时，
，，，，，符合题意.
故选：C
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．已知函数，则
A．是奇函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是偶函数，且在上单调递减
【答案】C
【分析】先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，然后利用特殊值对单调性进行判断，由此得出正确选项.
【详解】函数的定义域为，，故函数为偶函数.，，，故，所以本小题选C.
【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查函数的单调性，属于基础题.
二、多选题
9．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.
【详解】命题“"等价于，即命题“”为真命题所对集合为，
所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于，显然只有，{4},
所以选项AC不符合要求，选项BD正确.
故选：BD
10．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
11．已知函数（ ）
A．为的周期
B．的最小值为
C．函数在上单调递减
D．对于任意，函数都满足
【答案】ACD
【分析】A.由函数周期定义判断是否满足；B在一个周期内，分和两种情况讨论函数，并判断函数的最小值；C.根据定义域，化简函数，并判断函数的单调性；D. 根据诱导公式判断是否满足.
【详解】A.，即，
所以为的周期，故A正确；
B. 由A可知函数的周期是，所以只需考查一个周期函数的值域，不妨设.
当时，，，
，即，
当时，，，
，即，所以时，的最小值为, 故B不正确；
C.当时，，此时，而，故C正确；
D. ，，
所以，故D正确
故选：ACD
12．若函数在上可导，且满足，则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】令，根据得到在上单调递减，然后利用单调性比较大小即可.
【详解】令，则，
因为，即，
所以，在上单调递减，
所以，，，即，，，故BD正确，AC错.
故选：BD.
三、填空题
13．设函数，若，则 ．
【答案】
【分析】当时，解方程，求出的值，判断是否存在；
当时，解方程，求出的值，判断是否存在，最后确定的值.
【详解】当时， ，而，故舍去；
当时， ，所以.
【点睛】本题考查了分段函数求值问题，考查了分类运算能力.
14．已知θ是第四象限角，且tan(θ－)＝－，则sin(θ＋)＝ ．
【答案】
【分析】根据两角差的正切公式，将已知条件化简，可求得的值，结合结合所在的象限，可求得的值，最后利用两角和的正弦公式来求式子的结果.
【详解】依题意有，解得，由于为第四象限角，故，所以.
【点睛】本小题主要考查两角差的正切公式，考查两角和的正弦公式，考查已知正切值求正弦值和余弦值的方法，属于中档题.
15．已知函数f (x)＝ln(x3－3x)的单调递减区间为 ．
【答案】
【分析】由于函数中含有对数，故先求出定义域，然后对进行求导，在定义域范围内得出其单调区间，再根据复合函数单调性“同增异减”可求得最后的单调性.
【详解】由，解得.而，故在上单调递减.由于是定义域上的增函数，故函数在上递减.
【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查利用导数来求解函数单调区间的问题.注意到函数的解析式中含有对数函数，所以首先的第一步就是求得函数的定义域，要在定义域的范围内研究函数的单调性.在求导得到内部函数的单调性后，利用复合函数同增异减可求得函数的单调区间.
16．若直线是曲线的切线，则实数的值为 ．
【答案】1.
【详解】分析：设切点为（m，n），求得函数y=ax+lnx的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得m，n的方程组，解方程可得a的值．
详解：设切点为（m，n），y=ax+lnx的导数为y′=a+，
可得切线的斜率为a+=2，
又2m﹣1=n=am+lnm，
解得m=a=1，故答案为1
点睛：（1）本题考查导数的几何意义和解方程的能力，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）导数里，遇到有切线的问题，一般都要先找到切点，如果切点不知道，要设切点的坐标再解答.
四、解答题
17．设函数．
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)0
(2)最大值，最小值．
【分析】（1）代入，直接求解即可；（2）根据三角恒等变形把函数化的形式，再用三角函数的性质即可.
【详解】（1）；
（2）因为
，
因为，所以，
因此当时，取最大值；
当时，取最小值．
18．已知.
(1)求不等式的解集；
(2)若，且，求证：.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先换元后再解不等式
（2）由条件得到关系，再通过基本不等式证明
【详解】（1）令，，易知，可解得
解集为
（2），则，，又
故，由基本不等式得：，即证
19．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在上恰有两个实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式结合图象的变换得出，再根据对称性得出，从而得出函数的解析式；
（2）由得出，利用正弦函数的性质结合方程在上恰有两个实数根，得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：
将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数为
∴
∴
又
∴
∴.
（2）∵
∴
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减.
且，.
∵方程在上恰有两个实数根.
∴
∴实数a的取值范围为.
20．设函数．
(1)求的单调区间；
(2)求在上的最大值与最小值．
【答案】(1)在，单调递增，在单调递减
(2)最小值为，最大值为．
【分析】（1）求出函数的导数，分析导数的符号即可得解；
（2）利用函数单调性，确定函数的极大值可得最大值，比较端点即可得最小值.
【详解】（1）定义域为．
当时，；当时，．
所以的单调递增区间为，，单调递减区间．
（2）令，得或．
因为，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为．
又，
因为，
所以在上的最小值为．
21．环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80（不含80），经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M（单位：）与速度（单位：）的下列数据：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：，.
(1)当时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是160的国道，后一段是100的高速路.若已知高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶）
【答案】(1)选择，；
(2)当这辆车在国道上的行驶速度为40，在高速路上的行驶速度为80时，最少为.
【分析】（1）函数为减函数，这与矛盾，
故选择，再根据表格数据代入两个数据即可解得与，即可解得答案.
（2）国道路段长为，所用时间为，可得所耗电量，由于，当时，Wh，高速路段长为，所用时间为，，求导可知在上单调递增，Wh，两段最小值相加即可得到总耗电量最少值，即可求出答案.
【详解】（1）函数为减函数，这与矛盾，
故选择，
根据提供的数据，有，
解得，
当时，.
（2）国道路段长为，所用时间为，
所耗电量
，
因为，当时，Wh，
高速路段长为，所用时间为，
所耗电量为
，
因为，当时，
所以在上单调递增，
所以Wh，
故当这辆车在国道上的行驶速度为40km/h，在高速路上的行驶速度为80km/h时，该车从A地到B地的总耗电量最少，最少为Wh.
22．设．
(1)讨论函数的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)答案详见解析
(2)
【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的极值.
（2）设，求得，对进行分类讨论，由的最值求得的取值范围.
【详解】（1），
当时， ，在上递增，没有极值.
当时，在区间递减；
在区间递增.
所以当时，取得极小值，
没有极大值.
（2）设，则．
从而当，即时， ， ，
在单调递增，于是当时，．
当时，若，则，，
在单调递减，于是当时，，不符合题意．
综合得的取值范围为.
v
0
10
20
60
M
0
1625
3000
9000