2024届天津市第三十二中学高三上学期10月第一次月考数学试题含解析

这是一份2024届天津市第三十二中学高三上学期10月第一次月考数学试题含解析，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得：.
本题选择B选项.
【解析】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合正切函数的知识来判断充分、必要条件.
【详解】，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标表示以及同角公式可得结果.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了同角公式，属于基础题.
4．已知，则的值为（ ）
A．B．18C．D．15
【答案】A
【分析】原式可除以化简成，代入求值即可
【详解】
，
代入可算得原式的值为.
故选：A
5．已知向量与的夹角为，则（ ）
A．6B．C．3D．
【答案】A
【分析】由数量积公式结合得出答案.
【详解】解：因为向量与的夹角为，
所以
所以
故选：A
6．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．是的一个零点
C．在上单调递增
D．是的一个极值点
【答案】D
【分析】根据给定的函数，利用正弦函数的性质逐项判断作答.
【详解】函数的最小正周期是，A错误；
而，B错误；
当时，，而正弦函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，C错误；
由，因此是的一个最大值点，即一个极大值点，D正确.
故选：D
7．已知函数的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，直线是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的最大值为4，最小值为0，求得A，m，再由该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，求得，然后由直线是该函数图象的一条对称轴求解.
【详解】因为函数的最大值为4，最小值为0，
所以，所以，
又因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，
所以，则 ，
所以函数，
又直线是该函数图象的一条对称轴，
所以，则 ，
因为，所以 ，
所以该函数的解析式是，
故选：B
8．已知函数图象的最小正周期是，则（ ）
① 的图象关于点对称
② 将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称
③在上的值域为
④ 在上单调递增
A．①②④B．①②③C．②④D．②③④
【答案】A
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出，即可得到函数的解析式，由正弦函数的对称性可判断①；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断②；根据的范围和正弦函数的性质直接求解可判断③；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断④.
【详解】因为，
函数的最小正周期是，∴，
∴，，
， ∴关于对称，故①正确.
，∴关于轴对称，故②正确.
当时，有，则，所以，
∴，故③错误.
由，解得，
所以的一个单调增区间为，而，
∴在上单调递增，故④正确.
故选：A.
9．在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】A
【分析】求出，由已知求出点的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出，的最大值即圆心到定点的距离加上半径，代入化简求值即可．
【详解】，，所以，则，
又因为，
所以，所以
由可得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
取的中点，则，
所以，
故选：A
二、填空题
10．已知向量．若，则 ．
【答案】/
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
11．若，则= ．
【答案】#
【分析】根据三角函数的基本关系式，化简为齐次式，代入即可求解.
【详解】因为，可得.
故答案为：#.
12．在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，则的值为 ．
【答案】
【详解】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.
【解析】余弦定理及三角形面积公式的运用．
【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.
13．若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的平移可得函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式，进而结合正弦函数的奇偶性求解即可.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，
要使该函数为奇函数，则，，
即，，
又，则．
故答案为：.
14．已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 ．
【答案】
【详解】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,且,所以
考点:本题主要考查三角函数的性质.
15．在中，，，. 若，，且，则的值为 .
【答案】
【详解】 ,则
.
【解析】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.
三、解答题
16．在中，角所对的边分别为已知.
（1）求角的大小；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由余弦定理求出，即可得出角C的大小；
（2）由正弦定理即可求出答案；
（3）求出，由二倍角公式求出，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（1）在中，由余弦定理及，有
，又因为，所以.
（2）在中，由正弦定理及.
可得.
（3）由及，可得，
，
，
所以.
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，关键点是熟练掌握有关公式的运用，考查学生的数学运算能力.
17．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
18．已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．
【详解】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．
由已知，有
的最小正周期．
（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．
【解析】1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．
19．已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，.
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若，求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.
（Ⅱ）利用正弦定理的边角互化可得，再由求出，再利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（Ⅰ）∵
∴由正弦定理得，即
∴，
又∵
∴；
（Ⅱ）∵，∴由正弦定理得，
∵，∴，
∴，
∴∴ ，
∴
∴
20．（
已知函数.
（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（II）若,求的值.
【答案】（1）周期为，最大值为2，最小值为-1
（2）
【详解】试题分析：（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为,再利用周期可得最小正周期,由找出对应范围,利用正弦函数图像可得值域;（2） 先利用求出,再由角的关系展开后代入可得值.
试题解析:（1）
所以
又 所以
由函数图像知.
（2）解：由题意
而 所以
所以
所以 =.
【解析】三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式