2024届新疆乌鲁木齐市第六十一中学高三上学期第一次月考数学（文）试题含解析

这是一份2024届新疆乌鲁木齐市第六十一中学高三上学期第一次月考数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先化简集合，再求集合与集合B的交集
【详解】,，
即，
所以，
故选：C.
2．如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若，则，故A不正确；
对于B中，当时，无意义，故B不正确；
对于C中，，由，可得，
但不确定，所以与无法确定大小关系，故C不正确；
对于D中，，由，可得，且，
所以，所以，故D正确.
故选：D.
3．下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可.
【详解】对于A，因为定义域为，而的定义域为R，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于B，因为定义域为R，而的定义域为，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于C，易知函数和的定义域为，而的值域为，的值域为，两函数值域不同，故不能表示同一函数；
对于D，易知函数和的定义域为，值域为，且，
所以是同一函数.
故选：D
4．若关于x的不等式的解集是，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分类讨论m是否为0，时结合判别式列出不等式，即可求得答案.
【详解】当时，即，解集是，
当时，不等式的解集是，
需满足，解得，
综合可得m的取值范围是，
故选：B
5．若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
6．某校对学生记忆力和判断力进行统计分析，所得数据如表：
则关于的经验回归方程为（ ）（附： ，）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据与正相关判断为正，再由回归直线过样本中心点代入验证可得.
【详解】由表中数据知，随着的增大，增大，
所以与正相关，排除AD，
又，，
由回归直线过样本中心点，代入验证知B项正确.
故选：B．
7．已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
8．已知函数f（x）的图象关于原点对称，满足．若，则等于（ ）
A．－50B．50C．D．2
【答案】D
【分析】运用函数奇偶性、对称性可得函数周期为4，运用赋值法可得、、的值进而运用周期性可求得结果.
【详解】因为图象关于原点对称，
所以且
又因为，①
所以，
所以， ②
所以，
所以，③
即的周期为4，
将代入①得：，
将代入②得：，
又因为，
所以，
将代入③得：，
所以，
所以，
故选：D.
二、多选题
9．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【答案】BD
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，
则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
例如：，可得；
例如，可得；
例如，可得；故A错误；
对于选项B：不妨设，
可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；
对于选项C：因为是最小值，是最大值，
则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差，
例如：，则平均数，
标准差，
，则平均数，
标准差，
显然，即；故C错误；
对于选项D：不妨设，
则，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
10．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，”
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】AD
【分析】对于B，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误，A，C，D根据充分必要条件的定义以及不等式的性质可判断.
【详解】对A，，得到：或，由可以得到，但是，若，显然成立，但不成立，故A正确；
由全称量词命题的否定易知B错误；
对C，由“且”，显然可以得出“”，故C错误；
对D，且，则由无法得到，但是由可以得到，故D正确.
故选：AD.
11．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数是减函数
C．函数的图象关于点成中心对称
D．幂函数在上为减函数，则的值为1
【答案】CD
【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，根据幂函数的单调性进行判断；对于C，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于D，通过幂函数的定义和单调性得到关于m的关系式，进而求解m的值.
【详解】对于A，函数的定义域为，由得，
则函数的定义域为，A错误；
对于B，函数在区间和上分别是减函数，在整个定义域内不为减函数，B错误；
对于C，函数的图象的对称中心为，
将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，
则函数的图象的对称中心为，C正确；
对于D，因为函数为幂函数，
所以，
解得，D正确.
故选：CD
12．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数关于直线对称
B．4是函数的周期
C．
D．方程恰有4不同的根
【答案】ABD
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为是偶函数，
所以，即
所以关于对称，故A正确.
对于B：因为，
所以，
所以，即周期，故B正确
对于C：
所以，故C错误；
对于D：因为，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如下图所示：
所以与有4个交点，故D正确.
故选： ABD
三、填空题
13．173，174，166，172，170，165，165，168，164，173，175，178，则这组数据的上四分位数为 ．
【答案】173.5
【分析】根据百分位数的定义即可求解.
【详解】由题意可得，
将12位同学的身高从小到大排列为：，故这组数据的上四分位数为第9和第10个数据的平均数，即.
故答案为：173.5.
14．函数的定义域为 ．
【答案】[2，+∞）
【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
15．已知正数x，y满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】将转化为，然后利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，即，
因为正实数，所以，，
所以，
当且仅当等号成立.
故答案为：.
16．已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】试题分析：由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是.
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
四、解答题
17．甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
【答案】(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，
(2)有
【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据及公式计算，再利用临界值表比较即可得结论.
【详解】（1）根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则；
B共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则.
A家公司长途客车准点的概率为；
B家公司长途客车准点的概率为.
（2）列联表
=，
根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
18．设函数.
(1)当时，求函数在区间中的最大值和最小值；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)最大值为6，最小值为；
(2).
【分析】（1）结合二次函数的图象可求得函数的最大值和最小值；
（2）由，根据当时，函数恒成立，分类讨论，使得，即可求解，得到答案.
【详解】（1）由题意，当时，函数，
由二次函数的性质可知，在上递减，在上递增，
当时，函数取得最小值，最小值为，
，，当时，函数取得最大值，最大值为；
（2）由，
因为当时，函数恒成立，
当时，即时，，解得；
当时，即时，，
即，此时解集为；
当时，即时，，解得，不符合题意.
所以实数的取值范围.
19．已知是定义在上的偶函数，且时，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）当时，可将代入解析式，结合偶函数定义可得此时的解析式，由此可得解析式；
（2）由复合函数单调性判断方法判断函数在上的单调性，结合偶函数性质利用单调性化简不等式求得结果.
【详解】（1）因为是定义在上的偶函数，
所以，
令，则
时，，
则.
（2）因为时，，
又函数，由函数，与函数，复合而成，
函数在上单调递增，
函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
故函数在上单调递减，
是定义在上的偶函数，所以，
所以不等式，可化为
，
或.
20．当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻. 为进一步增强学生的防控意识，让全体学生充分了解新冠肺炎疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，平罗中学组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)试估计这100人的问答成绩的中位数和平均数（结果保留整数）；
(3)用分层抽样的方法从问答成绩在[70，100]内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在[70，80)，[80，90)，[90，100]内应各抽取多少人？
【答案】(1)
(2)中位数为73，平均数为72
(3)12,10,2
【分析】（1）直接利用频率和为1计算得到答案.
（2）直接利用平均数和中位数的公式计算即可.
（3）根据分层抽样的比例关系计算得到答案.
【详解】（1），解得.
（2），故中位数为.
平均数为.
（3），
[70，80)，[80，90)，[90，100]内应各抽人数分别为：
，，.
21．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
并计算得．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；
（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．
【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，
平均一棵的材积量为
（2）
则
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得，解之得．
则该林区这种树木的总材积量估计为
22．已知定义域为的函数是奇函数
(1)求的值；
(2)判断的单调性，并用定义证明；
(3)若存在，使成立，求的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)函数在上是减函数，证明见解析；
(3)
【分析】(1)根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解；
(2)利用函数单调性的定义进行证明即可；
(3)根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，
即，所以，
又因为，所以，将代入，解得，
经检验符合题意，所以，，.
（2）由（1）知：函数，
函数在上是减函数，证明如下：
任取，且，
，
因为，所以，所以，
即，所以函数在上是减函数.
（3）因为存在，使成立，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可转化为，
又因为函数在上是减函数，所以，
所以，令，
由题意可知：问题等价转化为，
又因为，所以.
故的取值范围为.
记忆力
2
5
6
8
9
判断力
7
8
10
12
18
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9