2024届重庆市石柱回龙中学校高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2024届重庆市石柱回龙中学校高三上学期第一次月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】分别化简集合与，再求交集即可.
【详解】由得，由的
所以，，则
故选：A
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解正弦不等式结合充分条件和必要条件的性质进行判断即可.
【详解】当时，或
当时，
即“”是“”的必要不充分条件
故选：B
3．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用题目条件结合诱导公式即可得出答案.
【详解】
故选：B.
5．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的曲线，求出，再利用“1”的妙用求出最小值作答.
【详解】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点，
即，于是，又，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16.
故选：C
6．设函数，若是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性求参数，然后求函数值即可.
【详解】由已知可得，则．
因为是奇函数，
所以，即，
因为，解得，所以，
所以.
故选：D．
7．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性以及函数值的正负进行综合判断.
【详解】因为，所以为奇函数，故排除A选项；
因为时，
令，即，所以，故，排除B、D选项.
故选：C.
8．已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】将问题转化为与的交点个数，由解析式画出在上的图象，再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数.
【详解】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，
由题设知，在上的图象如下图示，
∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，
∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：将问题转化为与的交点个数，利用数形结合思想及偶函数的对称性求交点的个数.
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．任何集合都至少有两个子集
B．设为全集，，，是的子集，若，则
C．命题“，”的否定为“，”
D．若是的必要不充分条件，的必要不充分条件是，则是的充分条件
【答案】BD
【分析】根据子集的概念判断选项；根据集合的运算判断选项；根据全称命题的否定判断选项；根据充分条件，必要条件的判定，判断选项.
【详解】由子集的概念可知：空集是它本身的子集，所以空集只有一个子集，故选项错误；
因为，，是的子集，，则与没有公共元素，所以，故选项正确；
因为命题“，”的否定为“”，故选项错误；
因为是的必要不充分条件，则能推出，又因为的必要不充分条件是，则能推出，所以能推出，则是的充分条件，故选项成立，
故选：.
10．已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据条件构造，求函数导数，利用单调性比较大小及可.
【详解】令，
对于任意的，，
所以在上单调递增，
所以，A不对；
，B正确；
，C正确；
，D不对.
故选：BC.
11．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数图象，则（ ）
A．是函数的一个解析式
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数是周期为的奇函数
D．函数的递减区间为
【答案】BD
【分析】先求出的解析式，对四个选项一一验证：
对于A：直接利用解析式验证；
对于B：直接求出对称轴方程进行验证；
对于C：利用奇函数的定义进行否定；
对于D：直接求出函数的递减区间.
【详解】由函数的图象向左平移个单位长度得到函数图象，所以
.
对于A：，故A错误；
对于B：，要求的对称轴，只需令，当k=1时，解得：，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；
对于C：，因为，所以函数不是奇函数，故C错误；
对于D：要求函数的递减区间，只需，解得：，即函数的递减区间为，故D正确.
故选：BD
12．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值点
B．不存在正整数，使得恒成立
C．函数有2个零点
D．对任意两个正实数，且，若，则
【答案】ABD
【分析】A选项，通过导数求解单调区间，验证即可；B选项，将恒成立转化为恒成立，利用导数知识判断有无最小值即可；C选项，利用导数判断函数单调性结合零点存在性定理可判断选项正误；D选项，将判断选项正误转化为证明若，则，后通过函数单调性可证明结论.
【详解】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，
∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
∴是的极小值点，故A正确；
对于B选项，若，可得，
令，则，
令，则，
∴在上，，函数单调递增，上，，函数单调递减，
∴，∴，
∴在上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数，使得成立，故B正确；
对于C选项，，
∴，∴ 函数在上单调递减，
又∵ ，，
∴ 函数有且只有1个零点，故C错误；
对于D选项，由，，结合A选项可知，
要证，即证，且，
由函数在是单调递增函数，所以有，
由于，所以，即证明，
令，
则，所以在是单调递减函数，
所以，即成立，
故成立，所以D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：对于恒成立问题，常转化为求解相关函数的最值；对于零点问题，常利用数形结合思想，或单调性结合零点存在性定理进行处理；对于双变量问题，常见处理手段为利用题目条件将双变量变为单变量问题.
三、填空题
13．已知，则 .
【答案】
【分析】利用商数关系，由得到代入求解.
【详解】方法一：，则.
方法二：分子分母同除，得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14．的最大值为 ．
【答案】
【分析】由根式性质求定义域，应用二次函数性质求出最大值，即可得函数最大值.
【详解】由，故，而，
所以，当时，即函数的最大值为.
故答案为：
15．已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则 ．
【答案】
【分析】求出导函数，，由得切线方程，设图象上的切点为，由导数几何意义得切线方程，两直线重合求得，从而得值．
【详解】，，又，
所以切线的方程为，即，
设直线与相切的切点为，，
所以切线方程为，即，
所以，解得，
所以．
故答案为：．
16．若对任意恒成立，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】先证明结论，然后将对任意恒成立变形为恒成立 ，构造函数，利用结论求得，即可求得答案.
【详解】先证明一个结论： ，
设 ，
当 时，递减，当 时，递增，
故 ，即；
对于对任意恒成立，分离参数得恒成立 ，
令，则，
当且仅当时取等号，而是增函数，且，
故存在,使得，故等号能够成立，
故 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解答时要注意分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题,其中关键的地方是巧妙变形，利用结论求得函数的最值.
四、解答题
17．已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）直接根据交集、并集、补集的概念即可得结果；
（2）分为，和三种情形，求出，结合集合的包含关系可得结果.
【详解】（1）∵，；
∴，或，.
（2）当时，，满足题意；
当时，，
由，得；
当时，，不合题意，
综上可得：实数的取值范围.
【点睛】本题主要考查描述法的定义，交集、并集和补集的运算，以及子集的定义，属于基础题.
18．已知函数.
（1）求的对称中心坐标；
（2）若有解，求的最小值.
【答案】（1）的对称中心坐标为，；（2）.
【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意有解，故须，求出函数的最小值，即可得解；
【详解】解：
.
（1）由，解得，，
故的对称中心坐标为，.
（2）若有解，
即有解，故须，
∵，
∴，
故，
∴的最小值是.
19．中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.
【解析】（1）由题意，按照、分类，转化等量关系即可得解；
（2）按照、分类，结合二次函数的性质及基本不等式即可得解.
【详解】（1）当时，；
当时，；
；
（2）若，，
当时，万元 ；
若，，
当且仅当即时，万元 .
答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.
20．已知函数.
（1）求的最小正周期和的单调递减区间；
（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为．
【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间；
（2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.
【详解】（1），
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，
函数的对称中心为；
解不等式，解得.
因此，函数的单调递减区间为；
（2）当时，，
当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．
【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
21．已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求的最小值；
(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将函数在上单调递增转化为在恒成立，即，然后求最值即可；
（2）将函数与有且只有一个交点转化为只有一个根，再转化为的图象与的图象只有一个交点，然后根据图象求的范围即可.
【详解】（1），，
因函数在上单调递增，
所以在恒成立，即，，
的最小值为．
（2）与有且只有一个交点，
即只有一个根，
只有一个根，
令，所以的图象与的图象只有一个交点，
，令，解得或，
令，解得，所以在，上单调递增，上单调递减，的图象如下所示：

，
又的图象与的图象只有一个交点，
.
22．设函数，其中.
(1)若，求不等式的解集；
(2)求证：，函数有三个零点，，，且，，成等比数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）两边同除以，将不等式等价与简化变形处理，构造函数，观察函数零点，利用函数单调性求解不等式；
（2）同（1），先将等式变形，构造函数，转化为新函数零点问题；再对求导，结合二次函数图象与零点存在性定理分析导函数符号及函数的单调性；最后在各区间通过放缩取点法“取点”，寻找端点函数值异号的区间，确定函数的零点存在，再结合性质得到三个零点的关系，问题得证.
【详解】（1）由，得，.
不等式等价于，
令，
又，则函数在上单调递增，
又，则不等式的解集为.
（2）令，则，.
设，因此的零点是的零点.
，
设，
由，则，对称轴，
故存在，使得.
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又因为，则，
当时，，
此时；
又当时，，
此时；
故由零点存在性定理知，有三个零点，，，其中.
又因为，所以，
即，即，，成等比数列.
【点睛】在研究函数的零点问题时，零点存在性定理是推理依据之一，应用它的关键在于寻找端点函数值异号的区间，这就需要适当“取点”，常用“取点”的方法有：直接取点法、局部为零取点法、插值取点法、放缩取点法等等.