2024届安徽省亳州市蒙城县第六中学高三上学期第一次（10月）月考数学试题含解析

这是一份2024届安徽省亳州市蒙城县第六中学高三上学期第一次（10月）月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设，则( )
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的计算法则计算即可得到答案﹒
【详解】，
故选：C﹒
2．设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
3．若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
4．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
5．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
6．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
7．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
8．已知，，若动点满足，直线与轴、轴分别交于两点，则的面积的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】D
【分析】由得的轨迹为圆心为，半径为的圆，根据点到直线得距离公式求解圆上点到直线的最小距离，即可根据面积公式求解.
【详解】设，由可得，
化简可得，故动点的轨迹为圆心为，半径为的圆，
圆心到的距离为，
故圆上的点到直线的最小距离为，
由于，所以，
故的面积的最小值为，

故选：D
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
10．若二项式的展开式中的系数是，则（ ）
A．B．所有项系数之和为
C．二项式系数之和为64D．常数项为
【答案】AC
【分析】由二项展开式通项公式求得的系数，从而求得值，再令各各项系数和，由二项式系数性质得二项式系数和，由二项式展开式通项公式求得常数项．
【详解】，
对选项A，的展开式中项为，
所以，解得，故A正确；
由A知：，令，所有项系数之和为，故B错误；
对选项C，二项式系数之和为，故C正确；
对选项D，的常数项为，故D错误.
故选：AC．
11．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的值可以是（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】AC
【分析】分，和三种情况，根据奇函数的性质结合单调性解不等式.
【详解】因为定义在的奇函数在单调递减，且，
可得，，在单调递减，
对于不等式，则有：
当时，，不满足不等式；
当时，可得，且在单调递减，解得；
当时，可得，且在单调递减，解得；
综上所述：不等式的解集为.
显然，，故A、C正确，B、D错误.
故选：AC.
12．已知定义在上的偶函数满足，且对于，导函数均存在，则（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．D．的图象关于原点对称
【答案】BCD
【分析】根据得到函数的对称性，再结合为偶函数推出函数的周期，利用周期性求出，最后由复合函数的导数运算法则及奇偶性的定义判断的奇偶性.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以的图象关于点对称，故B正确；
所在，
又因为为偶函数，即，
所以，
所以，
所以的周期为，故A错误；
因为，
令，则，
所以，
所以，故C正确；
因为为偶函数，即，两边对求导可得，
即，
所以为奇函数，
所以的图象关于原点对称，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【分析】直接根据向量的投影公式求解即可
【详解】因为，所以，
则在方向上的投影为.
故答案为：.
14．已知，则的最小值是 .
【答案】5
【分析】由配凑法结合基本不等式求解即可.
【详解】，
当且仅当，即舍去）时取等号，的最小值为，
故答案为：.
15．已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是： .
【答案】
【分析】根据函数单调性得在上恒成立，再根据分参求最值即可求解.
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为.
故a的取值范围是.
故答案为：
16．函数的最小值为 .
【答案】1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
四、解答题
17．在中，角的对边长分别为，且.
(1)求；
(2)若的面积为，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边得，再根据余弦定理可求出结果；
（2）根据三角形面积公式求出，由配方得，再将代入求出可得结果.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
所以，
因为，所以.
（2）因为，所以，
由（1）知，，
所以，
所以，
所以，所以，
所以的周长为.
18．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可证得；根据，和平行关系可证得平面，从而得到；由线面垂直的判定可得平面，根据面面垂直的判定可得结论；
（2）取中点，过作，由线面垂直的判定与性质可证得，根据二面角平面角定义可知所求角为，由长度关系可求得结果.
【详解】（1）为中点，，即，
又为中点，；
，，，四边形为矩形，
，即，，
，平面，平面，
，平面，又平面，，
，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）由（1）知：平面，又平面，，
，，平面，平面；
取中点，过作，垂足为，连接，

分别为中点，，平面，
平面，，
又，，平面，平面，
平面，，
即为二面角的平面角，
，，
又，，
即二面角的正切值为.
19．已知函数，讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解.
【详解】∵，定义域为，∴，
当时，由于，则，故恒成立，
∴在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
20．已知函数.
(1)求曲线在处切线的斜率；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率；
（2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证明.
【详解】（1），则，
所以，故处的切线斜率为；
（2）要证时，即证，
令且，则，
所以在上递增，则，即.
所以时.
21．已知函数，求证：当时，．
【答案】证明见解析
【分析】方法一：先利用函数导数判断函数的单调性，利用函数单调性将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【详解】方法一：因为，定义域为，
所以，
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则恒成立，
所以当时，恒成立.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则恒成立，
所以当时，恒成立.
【点睛】方法点睛：利用函数导数证明不等式方法：
1、找出函数的定义域，
2、对函数求导，
3、利用函数导数分析函数的单调性，
4、利用函数单调性进行分析，
特别地在解决问题时经常用到构造新函数，利用新函数导数及单调性进行分析.
22．设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4．
(1)求a；
(2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定点．
【分析】（1）利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值；
（2）先设出直线l的方程，并与抛物线方程联立，利用设而不求的方法求得的关系，进而求得直线l过定点的坐标．
【详解】（1）因为点在抛物线C上，所以，即，
因为的面积为4，所以，解得，所以．
（2）由（1）得，．
当直线l斜率为0时，不适合题意；
当直线l斜率不为0时，设直线，设，，
由，得，
则，，，
因为直线PA，PB的斜率之和为，
所以，即，
所以，所以
，整理得，
所以直线，
令，解之得，所以直线l过定点．