2024届宁夏银川市北方民族大学附属中学高三上学期第二次月考数学（理）试题含解析

这是一份2024届宁夏银川市北方民族大学附属中学高三上学期第二次月考数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
2．设全集，集合，，则或（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据集合间的交集、并集、补集计算求解即可.
【详解】因为，，，
所以，，
，或，
所以，或，
，或.
故选：C.
3．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
【详解】解：因为，所以，
，，
或，
当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；
当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
5．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（ ）．
A．B．4C．5D．14
【答案】B
【分析】由题设作出不等式组表示的区域，结合的几何意义即可求出答案.
【详解】作出不等式组表示的区域如下图中阴影部分，
直线化为：表示斜率为的一组平行线，当经过点
有最小值，由，所以，则的最小值为：.
故选：B.
6．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.
【详解】要使函数有意义，则
解得，
∴函数的定义域是.
故选：C.
【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型.
7．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性和单调性分别判断即可，利用导数即可判断函数在的单调性.
【详解】对于A，的定义域为，定义域不关于原点对称，
函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，，定义域为，
因为，所以为奇函数，不符合题意；
对于C，，所以，所以为偶函数，
又，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
故函数在上单调递增，符合题意；
对于D，，
令，在上单调递增，
而函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，不符合题意．
故选：C．
8．设函数在区间单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数与二次函数的单调性求解.
【详解】函数在区间单调递增，则在上单调递减,
所以，即．
故选：D．
9．已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由二次函数的值域可得出，可得出，则有，利用基本不等式可求得结果.
【详解】若，则函数的值域为，不合乎题意，
因为二次函数的值域为，则，
且，所以，，可得，则，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：B.
10．已知函数，则不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析的单调性，利用单调性即可解得不等式.
【详解】当时，单调递减，且；
当时，单调递减，且；
故在上单调递减，所以，解得．
故选：A．
11．已知函数，，且，则（ ）
A．，，B．，，
C．D．
【答案】D
【分析】画出的图象，根据以及的大小关系确定正确答案.
【详解】令，解得，
画出的图象如下图所示，
由于，且，
由图可知：，，的值可正可负也可为，所以AB选项错误.
当时，，
满足，，所以C选项错误.
，
，所以，D选项正确.
故选：D
12．设函数，则满足的x取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造奇函数，由导数确定单调性，然后由奇偶性、单调性解不等式．
【详解】设，则，是奇函数，
又．（等号成立的条件是），
所以是增函数，
，，因此有，从而，解得，
故选：A．
二、填空题
13．若：所有实数的平方都是正数，则为 .
【答案】至少有一个实数的平方不是正数
【分析】根据全称命题的否定即可求解.
【详解】由题知，
全称命题的否定一定是存在性命题
所以命题：所有实数的平方都是正数
的否定是：至少有一个实数的平方不是正数.
故答案为：至少有一个实数的平方不是正数.
14．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及时函数的解析式可得时函数的解析式，对于不等式，分情况讨论：当时，不等式为；当时，不等式为，分别求出每种情况下不等式的解集，综合即可得答案.
【详解】根据题意，是定义在上的奇函数，则 ，
设 ，则 ，
又由函数为奇函数，则，
即当时，，
分情况讨论∶
当时，，则不成立；
当 时，不等式为，即，解可得或，
则此时不等式的解集为，
③当 时，不等式为，即，解可得，
则此时不等式的解集为，
综合得：不等式的解集为，
故答案为∶．
15．定义在R上的偶函数满足，当时，，若在区间内，函数有5个零点，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求得的周期，由进行转化，结合函数的图象、导数等知识求得的取值范围.
【详解】依题意，是偶函数，且，
所以，
所以是周期为的周期函数.
令得，
即在区间内，函数与的图象有个交点，
画出与的图象如下图所示，
，
，，，
则，即，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：

16．设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝ .
【答案】
【分析】由f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，可得，，再结合已知的解析式可得，然后结合已知可求出，从而可得当时，，进而是结合前面的式子可求得答案
【详解】因为f(x＋1)为奇函数，所以的图象关于点对称，
所以，且
因为f(x＋2)为偶函数，
所以的图象关于直线对称，，
所以，即，
所以，即，
当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，则
，
因为，所以，得，
因为，所以，
所以当时，，
所以，
故答案为：
三、解答题
17．已知函数.
(1)画出的图象；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)答案见解析
(2)或或．.
【分析】（1）化为分段函数，再作图；
（2）由图象解不等式和可得．
【详解】（1），
作出射线和射线，再作出线段即可得：
（2）由的表达式及图像，当时，可得或；
当时，可得或，
故的解集为；的解集为或，
所以的解集为或或．.
18．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为，求的值.
【答案】(1)，.
(2).
【分析】（1）由的参数方程直接消参可得到普通方程，的极坐标方程中将，进而得到直角坐标方程.
（2）由点点坐标写出的标准参数方程为：（其中t为参数），代入椭圆后，利用的几何意义可求的值.
【详解】（1）由曲线，知
直线，则，
即.
（2）直线l的标准参数方程为：（其中t为参数），
设A，B两点分别对应的参数为，，
将直线l的参数方程代入椭圆C的方程可得：，
即，
所以，，
所以，
所以的值为.
19．已知，设恒成立，命题，使得.
（1）若是真命题，求k的取值范围；
（2）若为假，为真，求k的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）由题意可以判断出p,q都是真命题，所以分别求出每个命题中k的范围，最后求交集即可.
（2）由已知判断出p,q同真或同假，分别求出每一种情况的k的范围，最后求并集.
【详解】（1）若p为真，即恒成立，
可得，解得.
若q为真，即，使得，
则，解得
若是真命题，则p，q为真，可得，所以，
所以k的取值范围
（2）因为为假，为真，所以p，一真一假，
即p，q同真同假
当p，q都真时，由（1）知
当p，q都假时，，即
综上可得或，故k的范围为或.
20．在直角坐标系中，曲线，如图将分别绕原点逆时针旋转，，得到曲线，，．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）分别写出曲线的极坐标方程；
（2）设交于两点，交于两点（其中均不与原点重合），若四边形的面积为，求的值.
【答案】（1）的极坐标方程为， 的极坐标方程为 的极坐标方程为， 的极坐标方程为．
（2）
【分析】（1）将代入，得的极坐标方程为，再利用旋转可得的极坐标方程；
（2）将代入得， 将代入得， 再根据面积关系，可求得的值.
【详解】
（1）将代入，
得的极坐标方程为，
在一致的情况下：
点旋转到点，且，所以，
所以的极坐标方程为，
点旋转到点，且，所以，
所以的极坐标方程为，
点旋转到点，且，所以，
所以的极坐标方程为．
（2）将代入得，
将代入得，
因为
，
解得，因为，所以．
【点睛】本小题主要考查圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化，极径的几何意义，任意角的三角函数等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，体现基础性和综合性，导向对发展数学抽象、数芓建模、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．
21．已知定义域为的函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)证明函数在上是减函数；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由奇函数的定义可得出关于实数的等式，即可解得实数的值；
（2）任取、且，则，作差，通分并判断的符号，由此可证得结论成立；
（3）利用函数的单调性与奇函数的性质可得出对一切有，由可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：，且函数为上的奇函数，
则，
即，即对任意的恒成立，
所以，.
（2）证明：由（1）可得，
任取、且，则，
则，
所以，，因此，函数在上是减函数.
（3）解：因是奇函数，由得，
因为函数为上的减函数，则，
即对一切有，所以，，解得.
22．已知函数，，其中．
（1）当时，求函数的值域；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）当时，设，若的最小值为，求实数的值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）当时，函数配方即可求得值域；
（2）所解不等式变形为，因式分解讨论两根大小关系，分类求解；
（3）已知，在和两段分别求出该段函数最小值，然后检验其中一个最小值为时，另一段最小值是否大于或等于，即可求解.
【详解】（1）当时，，因为，
所以，的值域为
（2）因为，即即，
所以当即时，解集为
当即时，解集为，
当即时，解集为
（3）因为①当时，，
令，，则，
所以当时，即，；
②当时，，即，
因为，所以，．
若，，此时，
若，即，此时，
所以实数．
【点睛】此题考查函数最值、值域求法，求解过程中，用到换元、分类讨论、分析求解，对分析问题，解决问题能力要求极高.