2024届河北承德双滦区实验中学高三上学期九月月考数学模拟试题含解析

这是一份2024届河北承德双滦区实验中学高三上学期九月月考数学模拟试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，其中为自然数集，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用列举法求出集合，再逐项判断即可得解.
【详解】依题意，，
显然，，A错误，C正确；
而，B错误；
显然，，因此不成立，D错误.
故选：C
2．已知复数满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的四则运算即可得解.
【详解】.
故选：B.
3．设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系即可求解.
【详解】因为，，又是的必要不充分条件，
所以，解得，经检验满足题意.
故选：D.
4．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由题意，，，
则，
当且仅当，结合，即时等号成立，
故选：D
5．已知在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出二次函数的对称轴，再结合单调性列式即可求得结果.
【详解】因为的对称轴为，
又因为在上是单调函数，
所以或，解得或，
所以m的范围是，
故选：D.
6．如图，已知函数的图象关于原点对称，则的解析式可能是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性及单调性即可求解.
【详解】对于A，的定义域,，
所以是偶函数，
对于B，的定义域,，
所以是奇函数，
当时，，，所以在上单调递增，
对于C，的定义域,，所以是偶函数，
对于D，的定义域,，所以是奇函数，
当时，，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.
由的图象关于原点对称，可知是奇函数，因此可以排除A和C；
又对于B选项，当时，单调递增，故排除B，
故选：D.
7．已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分，和三种情况，结合函数在特殊点的函数值，分类讨论得到实数a的取值范围.
【详解】当时，单调递减，
故在处取得最小值，最小值为，满足要求，
当或时，，
令得或，
当时，恒成立，
故表格如下：
故在上取得极小值，
且，，
要想在区间上的最小值为，
则要，变形得到，
令，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
且，，
故的解集为，
时，令可得，
当时，，
令得，
故在上单调递减，
故在处取得最小值，最小值为，满足要求，
当时，恒成立，
故表格如下：
故在上取得极小值，
且，，
要想在区间上的最小值为，
则要，变形得到，
令，，
时，，单调递增，
又，故上，无解，
综上：实数a的取值范围是.
故选：C
【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等.
8．二次函数.的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，且，如图所示，则的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】据题意和图形可知，只需要满足即可，解不等式即可求解.
【详解】由题意可得，
即，解得.
故选：D.
二、多选题
9．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．“对，恒成立”是“”的必要不充分条件
D．设，则的最小值为2
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质可判断A、B；利用不等式恒成立求得m的范围，根据充分以及必要条件的含义即可判断C；利用基本不等式以及函数单调性求得函数最值可判断D.
【详解】对于A，取，满足，，
但，A错误；
对于B，若，，则，
当时，；
当时，，则，故，
故，B错误；
对于C，对，，当且仅当，即时取等号，
故对，恒成立，可得，此时推不出成立，
但成立时，成立，
故“对，恒成立”是“”的必要不充分条件，C正确；
对于D，，则，
则，当且仅当，即时取等号，
这与不符，故等号取不到，
设，则函数在上单调递增，
故的最小值为，
即的最小值为，D错误，
故选：ABD
10．已知偶函数在上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，得到在上单调递减，结合函数的基本性质，以及对数函数与幂函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】因为偶函数在上单调递增，可得函数在上单调递减，
对于A中，因为，所以，所以A正确．
对于B中，因为的值域为，所以，
则，所以B正确；
对于C中，因为，所以，所以C错误；
对于D中，因为指数函数单调递减，所以，
又因为幂函数在上单调递增，所以，
则，得，所以D正确．
故选：ABD.
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域可以是空集
B．函数图像与y轴最多有一个交点
C．函数的单调递增区间是
D．若，则定义域、值域分别是，
【答案】BD
【分析】根据函数的概念、单调性、定义域与值域，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，函数的定义域为非空数集，不能为空集，A错误；
对于B，由函数的定义，函数的图像与直线（轴）最多有一个交点，B正确；
对于C，函数的单调递增区间是和，C错误；
对于D，若，则定义域满足，解得，
即函数定义域为，又，，
所以，即函数的值域为，D正确；
故选：BD．
12．已知函数的图象关于对称，且对，，当，且时，成立，若对任意恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】BCD
【分析】根据题意，得到函数为偶函数，且在上为单调递增函数，把不等式转化为对任意恒成立，当时，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为函数的图象关于对称，
所以函数的图象关于对称，可得函数为偶函数，
又因为当，且时，成立，
所以函数在上为单调递增函数，
由对任意恒成立，所以对任意恒成立，
当时，恒成立；
当时，，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即实数的取值范围为，
结合选项，BCD项符合题意.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知角终边上有一点，则 .
【答案】
【分析】先根据三角函数的定义求出，再利用诱导公式化简，结合商数关系即可得解.
【详解】∵角终边上有一点，∴，
∴
．
故答案为：．
14．设函数，若为奇函数，则曲线过点的切线方程为 ．
【答案】和
【分析】由奇函数的概念求出，再由导数的几何意义设出切线方程后将点坐标代入求解．
【详解】因为为奇函数，，得，
，，
设切点，则切线方程为，
又切线过点，代入得
解得或．当时，切点为，切线方程为；
当时，切点为，切线方程为．
故答案为：和
15．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】构造函数，由导数确定其单调性，题设不等式化为，再利用单调性变形求解．
【详解】令，则，
∴在上是减函数，
，
不等式化为，
即，也即为，
所以，.
故答案为：，
16．函数的值域为 .
【答案】
【分析】由倍角余弦公式、诱导公式可得，结合正弦函数、二次函数性质求值域即可.
【详解】由，又，
令，则在给定区间内递增，
所以，即原函数的值域为.
故答案为：
四、解答题
17．已知命题：方程有两个不相等的负实数根，命题：方程无实数根.
(1)若均为真命题，求实数的取值范围；
(2)若中有一个真命题，一个是假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次方程根的分布分别列式求解即可；
（2）分析“真假”和“真假”两种情况分别求解即可.
【详解】（1）方程有两个不相等的负实数根，则，解得.
方程无实数根，则，解得.
综上有
（2）由（1），当真假时，，解得；
当真假时，，解得；
综上有.
18．已知函数的最大值为．
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，得到的图象，求满足的x的取值集合．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用三角恒变换得，再由函数的最大值为，得，，根据周期公式和正弦函数的单调性计算即可；
（2）根据三角函数的平移及伸缩变化得，由可得，由正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1）解：
．
因为的最大值为，所以，
解得，
所以， 的最小正周期．
令，解得，
所以的单调递减区间为．
（2）解：将的图象向右平移个单位长度，
得到的图象，再将横坐标缩短为原来的，得到．
若，则，
令，
解得．
综上，满足的x的取值集合为．
19．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间和极值；
(3)若对于任意，都有，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)见详解；
(3).
【分析】（1）由导数的几何意义计算即可；
（2）利用导函数判断单调区间及极值即可；
（3）分离参数结合导数研究函数的最值计算即可.
【详解】（1）由题意可知，
所以，故曲线在点处的切线方程为；
（2）由（1）知，
令可得，即在上单调递增；
令可得，即在上单调递减，
令可得，函数在上取得极小值，极小值为，无极大值；
综上函数在上单调递增，在上单调递减，无极大值，极小值为；
（3）原式对恒成立，
令，
当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
所以，即，
故.
20．年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出年的利润万元关于年产量千部的表达式
(2)年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少
【答案】(1)；
(2)年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元
【分析】（1）通过讨论的范围，得出的解析式；
（2）分别求出在和上的最大值即可得出结论．
【详解】（1）当时，
，
当时，，
；
（2）若，，
当时，万元；
若，
，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
21．已知函数，.
(1)若存在极值，求m的取值范围.
(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，先求导，再对m进行分类讨论单调性，最后极值的概念求m的范围.
（2）)先讨论当时a的取值范围,再分离参数,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出a的取值范围.
【详解】（1），定义域为，
.
当时，恒成立，所以在单调递增，不存在极值.
当，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在存在一个极小值点，无极大值点.
综上所述，m的取值范围为.
（2）由题知原不等式，可化为，
当时，恒成立，
当时，，
由（1）知当时，函数在处有最小值1，
，即，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
综上所述，实数a的取值范围为.
【点睛】该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:
(1)若，恒成立，则只需.
(2) 若，恒成立，则只需.
(3) 若，恒成立，则只需.
(4) 若，恒成立，则只需.
(5) 若，恒成立，则只需.
(6) 若，恒成立，则只需.
(7) 若，恒成立，则只需.
(8) 若，恒成立，则只需.
22．已知函数是定义域为的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
(3)求关于x的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）将已知条件代入，结合函数的奇偶性求解即可，若用特殊值，则需要检验；
（2）定义法证明函数单调性的步骤为：设值，作差，变形，定号，写结论；要注意变形要变为可以判断正负的几个因式乘积的形式；
（3）移项，根据奇偶性和单调性得出不等式组，求解即可.
【详解】（1）由题意可知，即，解得，
∴，是奇函数，符合题意，
所以，.
（2）在区间上单调递增.
设任意，，且，
则，
∵，，且，∴，，，
若，则；若，则；
若，显然有.
所以，，时，，，
∴，即，即，
故在区间上单调递增.
（3）∵是定义域为的奇函数，
则，不等式可化为，
由（2）可得，
，解得，
∴不等式的解集为.
0
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0
极小值
极大值
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0
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极大值
极小值