上海市黄浦区立达中学2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份上海市黄浦区立达中学2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）如果，且b是a和c的比例中项，那么（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）已知为非零向量，＝2，，不正确的是（ ）
A．||＝||B．＝﹣C．D．
4．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，那么csB的值是（ ）
A．B．C．D．2
5．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A．ac＞0B．当x＞﹣1时，y＞0
C．b＝2aD．9a+3b+c＝0
6．（4分）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，那么CD宽为（ ）
A．4米B．10米C．4米D．12米
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：（﹣2）+2＝ ．
8．（4分）如果的值是黄金分割数，那么 ．
9．（4分）计算：sin230°+cs245°＝ ．
10．（4分）抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是直线 ．
11．（4分）抛物线y＝（m+3）x2+x﹣1在对称轴右侧的部分是上升的，那么m的取值范围是 ．
12．（4分）如图，飞机在目标B的正上方A处，飞行员测得地面目标C的俯角α＝30°，那么飞机离地面的高度AB等于 千米．（结果保留根号）
13．（4分）如果一个斜坡的坡度i＝1：，那么该斜坡的坡角为 度．
14．（4分）如图，过△ABC的重心G作上ED∥AB分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，AB＝6，那么EC＝ ．
15．（4分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，那么＝ ．
16．（4分）如图，已知一张三角形纸片ABC，AB＝5，AC＝4，点M在AC边上．如果过点M剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，设AM＝x，那么x的取值范围是 ．
17．（4分）如图，将正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，点B对应点H，得折痕CG，则＝ ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：﹣+2cs245°．
20．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE＝BC．
（1）如果AC＝6，求AE的长；
（2）设＝，＝，试用、的线性组合表示向量．
21．（10分）如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O与点A，顶点为点B．
（1）求抛物线的表达式以及点A的坐标；
（2）已知点P（2，m）（m＞0），若△PAB的面积为6，求点P的坐标．
22．（10分）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，∠CDE＝60°．
（1）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，求CD旋转的角度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cs50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cs26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
23．（12分）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：＝；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．
（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似
25．（14分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝42，csB＝，以点C为圆心，CM为半径的⊙C交射线CD于点N，交射线CA于点G．
（1）求线段AD的长；
（2）设线段CM＝x，＝y，当点N在线段CD上时，并写出x的取值范围；
（3）联结DM，当∠NMC＝2∠DMN时，求线段CM的长．
2023-2024学年上海市黄浦区立达中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的
1．（4分）如果，且b是a和c的比例中项，那么（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值．
【解答】解：∵，b是a和c的比例中项，
即a：b＝b：c，
∴＝．
故选：D．
【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项是解题的关键．
2．（4分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解答】解：∵，
∴DE∥BC，故A正确；
∵，
∴DE∥BC，故B正确；
∵，
∴DE∥BC，故D正确，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3．（4分）已知为非零向量，＝2，，不正确的是（ ）
A．||＝||B．＝﹣C．D．
【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．
【解答】解：∵为非零向量，，，
∴||＝||，，
∴6，，
∴A、C、D正确，
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量，熟记平面向量的运算法则是解题的关键．
4．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，那么csB的值是（ ）
A．B．C．D．2
【分析】根据勾股定理求出BC的长，然后进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，
∴BC＝＝＝，
∴csB＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握正弦，余弦，正切的定义是解题的关键．
5．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A．ac＞0B．当x＞﹣1时，y＞0
C．b＝2aD．9a+3b+c＝0
【分析】根据二次函数的图象逐一判断即可．
【解答】解：A．由图可知：
抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜6，
故A不符合题意；
B．设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点为（m，7），
∵抛物线的对称轴是直线：x＝1，
∴＝1，
∴m＝3，
∴二次函数y＝ax8+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点为（3，7），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞8，
故B不符合题意；
C．∵抛物线的对称轴是直线：x＝1，
∴＝7，
∴b＝﹣2a，
故C不符合题意；
D．由B可得：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠2）的图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴把（4，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠6）中可得：
9a+3b+c＝4，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，从图象中获取信息并结合图象去分析是解题的关键．
6．（4分）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，那么CD宽为（ ）
A．4米B．10米C．4米D．12米
【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣x2，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【解答】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣3，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），﹣4），
将A代入y＝ax8，
﹣4＝100a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣4，
∴﹣1＝﹣x4，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：（﹣2）+2＝ + ．
【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．
【解答】解：（﹣6＝﹣+6＝+．
故答案为：+．
【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．
8．（4分）如果的值是黄金分割数，那么 ．
【分析】由黄金分割的定义得＝，则2x＝（+1）y，即可得出答案．
【解答】解：∵的值是黄金分割数，
∴＝，
∴2x﹣2y＝（﹣1）y，
∴2x＝（+1）y，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割值是解题的关键．
9．（4分）计算：sin230°+cs245°＝ ．
【分析】由特殊锐角三角函数值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（）2+（）5
＝+
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．
10．（4分）抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是直线 x＝1 ．
【分析】根据对称轴公式x＝﹣，可得答案．
【解答】解：∵﹣＝﹣，
∴抛物线y＝x2﹣2x+6的对称轴是直线x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了对称轴公式的应用，关键找到抛物线中a和b的值，再进行代入求解．
11．（4分）抛物线y＝（m+3）x2+x﹣1在对称轴右侧的部分是上升的，那么m的取值范围是 m＞﹣3 ．
【分析】抛物线开口向上时，抛物线在对称轴右侧的部分是上升的．
【解答】解：当抛物线对称轴右侧的部分是上升时，抛物线开口向上，
∴m+3＞0，
∴m＞﹣6，
故答案为：m＞﹣3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
12．（4分）如图，飞机在目标B的正上方A处，飞行员测得地面目标C的俯角α＝30°，那么飞机离地面的高度AB等于 千米．（结果保留根号）
【分析】根据平行线的性质可求出∠C的度数，再由特殊角的直角三角形的性质即可解答．
【解答】解：如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝（米），
即飞机离地面的高度AB等于2米，
故答案为：2．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解答此题的关键．
13．（4分）如果一个斜坡的坡度i＝1：，那么该斜坡的坡角为 60 度．
【分析】坡度＝坡角的正切值，据此直接解答．
【解答】解：∵tanα＝＝＝，
∴∠α＝60°，
故答案为：60．
【点评】此题考查的是坡度和坡角的关系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．
14．（4分）如图，过△ABC的重心G作上ED∥AB分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，AB＝6，那么EC＝ 8 ．
【分析】连接CG并延长，交AB于F．根据三角形重心的定义及性质可得，AF＝BF＝AB＝3，CG：GF＝2：1，即＝．根据平行线分线段成比例定理得出＝＝，求出DG＝EG＝2，那么DE＝4．利用角平分线定义及平行线的性质得出∠ADE＝∠DAC，那么AE＝DE＝4．再根据平行线分线段成比例定理即可求出CE＝8．
【解答】解：如图，连接CG并延长．
∵G为△ABC的重心，
∴AF＝BF＝AB＝，CG：GF＝2：7，即＝．
∵ED∥AB，
∴＝＝，即＝＝，解得DG＝EG＝2，
∴DE＝DG+EG＝2+6＝4．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴AE＝DE＝4．
∵ED∥AB，
∴＝＝，即＝，解得CE＝8．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．求出AE是解题的关键．
15．（4分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，那么＝ ．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据平行线分线段成比例定理得到AF＝FH＝HC，得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵DH∥BF，AD是△ABC的中线，
∴CH＝HF，
∵DH∥BF，E是AD中点，
∴AF＝FH，
∴AF＝FH＝HC，
∴AF：CF＝1：2，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
16．（4分）如图，已知一张三角形纸片ABC，AB＝5，AC＝4，点M在AC边上．如果过点M剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，设AM＝x，那么x的取值范围是 3≤x＜4 ．
【分析】依据相似三角形的对应边成比例，即可得到x的取值范围．
【解答】解：如图所示，过M作MD∥AB交BC于D或ME∥BC交AB于E，
此时0＜x＜4；
如图所示，过M作∠AMF＝∠B交AB于F，
此时5＜x≤4；
如图所示，过M作∠CMG＝∠CBA交BC于G，
此时，△CMG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2＝CM×CA，即22＝CM×4，
∴CM＝5，AM＝3，
∴此时，3≤AM＜8；
综上所述，x的取值范围是3≤x＜4．
故答案为：7≤x＜4．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
17．（4分）如图，将正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，点B对应点H，得折痕CG，则＝ ．
【分析】延长EA，CG交于点M，先由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，得出∠EMC＝∠ECM，则EM＝EC，根据勾股定理求出CE的长，再由锐角三角函数的定义可出tan∠BCG，即可得出结论．
【解答】解：延长EA，CG交于点M
∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，AB＝BC＝AD＝CD，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
由折叠的性质得：DE＝AD＝，
∴EC＝＝＝，
∴EM＝
∴DM＝AB+AB，
∴tan∠DMC＝＝＝，
∴tan∠BCG＝，
即，
∴，
∴BG＝，
∴AG＝AB﹣BG＝AB，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，锐角三角函数定义等知识，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：﹣+2cs245°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：﹣+2cs245°
＝﹣|）2
＝﹣+8
＝．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE＝BC．
（1）如果AC＝6，求AE的长；
（2）设＝，＝，试用、的线性组合表示向量．
【分析】（1）根据相似三角形的性质得出等式求解即可；
（2）根据平面向量的加减运算法则即可求解．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵DE＝，
∴AE＝3；
（2）由（1）知，，
∴DE＝，
∵，
∴＝．
【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．
21．（10分）如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O与点A，顶点为点B．
（1）求抛物线的表达式以及点A的坐标；
（2）已知点P（2，m）（m＞0），若△PAB的面积为6，求点P的坐标．
【分析】（1）根据抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O，可知点O（0，0）在该函数图象上，从而可以求得a的值，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到点A的坐标；
（2）根据（1）中的函数解析式，可以得到点B的坐标，再根据点P（2，m）（m＞0），△PAB的面积为6，点A（4，0），即可求得m的值，从而可以写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2﹣7（a≠0）与x轴交于原点O，
∴0＝a（2﹣2）2﹣5，
解得a＝1，
∴抛物线的表达式为y＝（x﹣2）3﹣4，
当y＝0时，8＝（x﹣2）2﹣5，
解得x1＝0，x3＝4，
∴点A的坐标为（4，7）；
（2）∵y＝（x﹣2）2﹣6，顶点为B，
∴点B的坐标为（2，﹣4），
∵点P（4，m）（m＞0），点A（4，
∴＝6，
解得m＝2，
∴点P的坐标为（3，2）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（10分）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，∠CDE＝60°．
（1）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，求CD旋转的角度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cs50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cs26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
【分析】（1）过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，则点A到直线DE的距离为：AH+CF；在Rt△CDF中，解直角三角形可得CF的长，在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的长．
（2）画出符合题意的图形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度数，则CD旋转的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′．
【解答】解：（1）过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，
则点A到直线DE的距离为：AH+CF．
在Rt△CDF中，
∵sin∠CDE＝，
∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35．
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，
∵CG∥DE，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°．
∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．
在Rt△ACH中，
∵sin∠ACH＝，
∴AH＝AC•sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64（mm）．
∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝59.4+64≈123.5≈124（mm）．
（2）如图所示，虚线部分为旋转后的位置，C的对应点为C′，
则B′C′＝BC＝35 mm，DC′＝DC＝70 mm．
在Rt△B′C′D中，
∵tan∠B′DC′＝＝0.8，
∴∠B′DC′＝26.6°．
∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.2°．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系．正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解题的关键．
23．（12分）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：＝；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝
【分析】（1）根据矩形性质得出∠A＝∠FDC＝90°，求出∠CFD＝∠AED，证出△AED∽△DFC即可得结论；
（2）当∠B+∠EGC＝180°时，DE•CD＝CF•AD成立，证△DFG∽△DEA，得出，证△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图（1），∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠A＝∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴；
（2）当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，
∵∠FDG＝∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴，
∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，
∴∠CGD＝∠CDF，
∵∠GCD＝∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴＝，
∴，
∴＝
即当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．
【点评】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．
（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似
【分析】（1）将A（5，0）代入y＝x2+bx+5可得表达式，配方即得顶点坐标；
（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，求出EF、BF即可得出答案；
（3）设D坐标，用三边对应成比例列方程，求出D的坐标即可得出答案．
【解答】解：（1）将A（5，0）代入y＝x3+bx+5得：
0＝25+5b+5，解得b＝﹣6，
∴抛物线表达式为y＝x3﹣6x+5，
∵y＝x5﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点C的坐标为（5，﹣4）；
（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E
抛物线y＝x2﹣8x+5与y轴交于B（0，2），
设BC解析式为y＝mx+n，
将B（0，5），﹣6）代入得：
，解得，
∴BC解析式为y＝﹣4x+5，
令y＝0得x＝，
∴F（，0），
∴AF＝OA﹣OF＝，
∵B（8，5），0），
∴OA＝OB＝7，AB＝5，
∴AE＝AF•cs45°＝＝EF，
∴BE＝AB﹣AE＝，
∴BF＝＝，
∴sin∠ABC＝＝＝；
（3）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，m）2+m，
且CD＝m﹣（﹣4）＝m+4，AD＝＝7，BC＝5，
若△DCA与△ABC相似，只需三边对应成比例，
故分三种情况：
①若△ABC∽△DCA，如图：
，即，
解得：m＝﹣，
∴D（3，m），
∴平移后的新抛物线的表达式y＝（x﹣3）8﹣＝x2﹣6x+，
②若△ABC∽△DAC，
则，即，无解，
③若△ABC∽△ACD，如图：
，即，
解得m＝2，
∴D（4，2），
∴平移后的新抛物线的表达式y＝（x﹣3）2+2＝x2﹣4x+11；
综上所述，△DCA与△ABC相似2﹣6x+或y＝x2﹣6x+11．
【点评】本题考查二次函数、三角函数及相似三角形的综合知识，难度较大，解题的关键是求出平移后抛物线的顶点坐标．
25．（14分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝42，csB＝，以点C为圆心，CM为半径的⊙C交射线CD于点N，交射线CA于点G．
（1）求线段AD的长；
（2）设线段CM＝x，＝y，当点N在线段CD上时，并写出x的取值范围；
（3）联结DM，当∠NMC＝2∠DMN时，求线段CM的长．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，过点D作DE⊥AC于E，首先利用，得出BH的长，从而得出AH、CH、AC的长，再根据，可得答案；
（2）延长MN交AD的延长线于点F．根据AD∥BC，得，，表示出DF的长，从而得出AF的长，即可得出答案；
（3）分两种情形，当点N在CD上时，可得DN＝MN＝25﹣x，再利用三角函数表示出MG的长，从而得出答案，当点N在CD的延长线上时，DN＝x﹣25，延长DA交射线MN于点P．同理可得答案．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H，过点D作DE⊥AC于E，
∵在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，，
∴BH＝10，AH＝24，
∴CH＝BC﹣BH＝32．
∵在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，
，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝∠DCA，
在Rt△ADE中，，
∴AD＝CD＝25；
（2）延长MN交AD的延长线于点F．
∵AD∥BC，
∴，，
∵CM＝CN＝x，CD＝AD＝25，
∴DN＝25﹣x，
∴，
∴DF＝25﹣x，
∴AF＝50﹣x，
∴；
（3）当点N在CD上时，
∵CM＝CN，
∴∠NMC＝∠MNC．
∵∠NMC＝6∠DMN，∠MNC＝∠DMN+∠MDN，
∴∠DMN＝∠MDN．
∴DN＝MN＝25﹣x，
∵，，
∴．
∴，
∴，
即CM＝；
当点N在CD的延长线上时，DN＝x﹣25，
延长DA交射线MN于点P．
∵∠NMC＝2∠DMN，
∴∠NMD＝∠DMC，
∵AD∥BC，∠NMC＝∠MNC，
∴∠NPD＝∠MNC，，
∴DN＝PD＝x﹣25．
∵AD∥BC，
∴∠PDM＝∠DMC，
∴∠NMD＝∠PDM．
∴PM＝PD＝x﹣25．
∴，
∴x＝55，即CM＝55，
综上所述，线段CM的长为．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的相关性质，三角函数，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，运用分类思想是解决问题（3）的关键．