2024届江苏省南京市六校联合体高三上学期10月联合调研数学试题含解析

这是一份2024届江苏省南京市六校联合体高三上学期10月联合调研数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数值域和对数函数定义域求出集合A，B，然后由交集运算可得.
【详解】由指数函数性质可知，，
由得，所以，
所以.
故选：D
2．设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
【答案】D
【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
3．下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，根据复合函数的求导法则，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
4．已知角终边上有一点，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【分析】根据所在象限可判断点P所在象限，然后根据对称性可得.
【详解】因为是第二象限角，所以，
所以点P在第四象限，即角为第四象限角，
所以为第一象限角，所以为第三象限角.
故选：C
5．已知直线和圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【分析】求出直线过定点，再利用弦长公式即可得到最小值.
【详解】，令，则，所以直线过定点，
当得，则在圆内，则直线与圆必有两交点，
因为圆心到直线的距离，所以．
故选：D.
6．已知样本数据，，，，，的平均数为16，方差为9，则另一组数据，，，，，，12的方差为（ ）．
A．B．C．D．7
【答案】C
【分析】由均值、方差性质求数据，，，，，的平均数、方差，应用平均数、方差公式求新数据方差.
【详解】设数据，，，，，的平均数为，方差为，
由，，得，，
则，，，，，，12的平均数为，
方差为
．
故选：C
7．已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的一个周期为2
C．
D．函数的图象关于直线对称
【答案】C
【分析】根据已知等式判断函数的对称性，结合偶函数的性质判断函数的周期，最后逐一判断即可.
【详解】函数关于点中心对称，因此选项D不正确；
又因为函数为偶函数，所以，
由，
所以函数的周期为，所以选项B不正确；
因为函数是周期为的偶函数，
所以，因此选项A不正确；
在中，令，得，
因为函数的周期为，因此选项C正确，
故选：C
8．已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】令，利用余弦定理表示出弦的长，再利用抛物线定义结合梯形中位线定理表示出，然后利用均值不等式求解作答.
【详解】在中，令，由余弦定理得，
则有，
显然直线是抛物线的准线，过作直线的垂线，垂足分别为，如图，
而为弦的中点，为梯形的中位线，由抛物线定义知，，
因此，
当且仅当时取等号，又不等式恒成立，等价于恒成立，则，
所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
二、多选题
9．设复数满足，则下列说法错误的是（ ）
A．为纯虚数B．的虚部为2i
C．在复平面内，对应的点位于第二象限D．＝
【答案】ABC
【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数z，再对选项一一判断即可得出答案.
【详解】设复数，由得，
则，故A错误；
z的虚部为，故B错误；
复平面内，对应的点为，对应的点位于第三象限，故C错误；
，故D正确.
故选：ABC.
10．已知向量，，且，则（ ）
A．B．
C．向量与向量的夹角是D．向量在向量上的投影向量坐标是
【答案】ACD
【分析】根据向量垂直的坐标公式求出向量判断A，利用向量模的坐标运算判断B，利用数量积的夹角坐标公式求解判断C，利用数量积的几何意义求解判断D.
【详解】因为向量，，所以，
由得，解得，所以，故A正确；
又，所以，故B错误；
设向量与向量的夹角为，因为，，
所以，又，所以，
即向量与向量的夹角是，故C正确；
向量在向量上的投影向量坐标是，故D正确.
故选：ACD.
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．若存在，使得对都有，则的最小值为
C．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为
D．若函数在区间上恰有3个极值点和2个零点，则的取值范围为
【答案】ACD
【分析】化简的解析式，根据三角函数的值域、最值、周期、单调性、极值点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】已知函数，可知其值域为，故选项A正确；
若存在，使得对都有，
所以的最小值为，故选项B错误；
函数的单调递增区间为，
，
所以，令，则的取值范围为，故选项C正确；
若函数在区间上恰有3个极值点和2个零点，，
由如图可得：，

的取值范围为，故选项D正确；
故选：ACD
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增
B．若的图象在处的切线与直线垂直，则实数
C．当时，不存在极值
D．当时，有且仅有两个零点，且
【答案】ABD
【分析】对于A，利用导数即可判断；对于B，根据导数的几何意义可判断；对于C，取，根据导数判断此时函数的单调性，说明极值情况，即可判断；对于D，结合函数单调性，利用零点存在定理说明有且仅有两个零点，继而由可推出，即可证明结论，即可判断.
【详解】因为，定义域为且，
所以，
对于A，当时，，所以在和上单调递增，故A正确；
对于B，因为直线的斜率为，
又因为的图象在处的切线与直线垂直，
故令，解得，故B正确；
对于C，当时，不妨取，
则，
令，则有，解得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上分别单调递减；
所以此时函数有极值，故C错误；
对于D，由A可知，当时，在和上单调递增，
当时，，
，
所以在上有一个零点，
又因为当时， ，
，
所以在上有一个零点，
所以有两个零点，分别位于和内；
设，
令，则有，
则
，
所以的两根互为倒数，所以，故D正确．
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数知识的应用，综合性较，解答的难点在于选项D的判断，要结合函数的单调性，利用零点存在定理判断零点个数，难就难在计算量较大并且计算复杂，证明时，要注意推出，进而证明结论
三、填空题
13．在的展开式中，的系数为 ．
【答案】240
【分析】利用二项展开式的通项公式即可.
【详解】在的展开式中，的系数为；
在的展开式中，的系数为；
所以在的展开式中，的系数为；
故答案为：240
14．2023年杭州亚运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有 种.
【答案】80
【分析】应用排列组合知识及计数原理可得答案.
【详解】先从甲、乙之外的4人中选取1人担任语言服务工作，
再从剩下的5人中选取2人分别担任人员引导、应急救助工作，
则不同的选法共有种.
故答案为：80.
15．已知，若，，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出函数图象，设，数形结合可知的范围，转化为关于的函数，利用导数求最值即可.
【详解】作函数图象，如图，
设，则，
，
又，
，
，
设，
当时，，函数为增函数，
，
即实数的取值范围是
故答案为：
16．在正三棱锥中，底面的边长为4，E为AD的中点，，则以D为球心，AD为半径的球截该棱锥各面所得交线长为 ．
【答案】
【分析】首先证明两两垂直，再求出所对应的圆心角，则计算出其弧长，即可得到交线长.
【详解】记CD中点为F，作平面BCD，垂足为O，
由正三棱锥性质可知，O为正三角形BCD的中心，所以O在BF上，
因为平面BCD，所以，
由正三角形性质可知，，
又，平面ABO，
所以平面ABO，
因为平面ABO，所以，
又平面ACD，
所以平面ACD，
因为平面ACD，所以
由正三棱锥性质可知，两两垂直，且，则，
如图，易知以D为球心，AD为半径的球截该棱锥各面所得交线，是以D为圆心，AD为半径的三段圆弧，
则，，
则其圆心角分别为，
所以其交线长为，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面垂直的判定与性质得到两两垂直，再求出所对应的三段弧长即可得到交线长.
四、解答题
17．已知等差数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数的性质，结合通项公式与前项和公式即可得解；
（2）利用分组求和差，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可得解.
【详解】（1）（1）设数列等差数列的公差为d，
因为，所以，则，
因为，即，所以，
所以，，
所以，即 .
（2）因为，所以，
所以
．
18．已知函数,
(1)求函数的最值；
(2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，求的面积．
【答案】(1)最大值为2，最小值为
(2)或
【分析】(1)把化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为，再用二倍角公式把二次项化为一次项，同时把角化为，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；
(2)先求出角，由余弦定理得到关于的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含的方程，联立方程组即可解出的值，再代入三角形的面积公式即可.
【详解】（1）因为
，
所以的最大值为2，最小值为．
（2）结合(1)可知，所以．
因为，所以，
则．
由余弦定理得，
化简得①．
又，由正弦定理可得，即②．
结合①②得或．
时，；时，．
综上，的面积为或．
19．在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为的中点．

(1)证明：；
(2)求二面角正弦值的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取AC得中点O，得，，可知平面，进而得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN与平面的法向量，根据向量的夹角公式求解.
【详解】（1）取AC得中点O，连接SO，OB，
，，，，
又SO，BO交于点O，平面，平面，
于是可知平面，
又平面，；
（2）∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系,
那么，
∴，
设为平面CMN的一个法向量，
那么，取，那么，
∴，
又为平面的一个法向量，
，，
即二面角的正弦值为.

20．为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．
(1)求甲班在项目A中获胜的概率；
(2)设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式求解即可；
（2）先算出“甲班在项目B中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望
【详解】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，
则，
所以甲班在项目A中获胜的概率为
（2）记“甲班在项目B中获胜”为事件B，
则，
X的可能取值为0，1，2，
则，
，
．
所以X的分布列为
．
所以甲班获胜的项目个数的数学期望为
21．已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设.如果对任意，，求的取值范围．
【答案】（1）当a≥0时，＞0，故f(x)在(0，+)单调增加；当a≤－1时，＜0， 故f(x)在(0，+)单调减少；当－1＜a＜0时，f(x)在（0，）单调增加，在（，+）
（2）a≤－2
【详解】（1） f(x)的定义域为(0，+)，.
当a≥0时，＞0，故f(x)在(0，+)单调增加；
当a≤－1时，＜0， 故f(x)在(0，+)单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0，解得x=.当x∈(0，)时，＞0；
x∈(，+)时，＜0， 故f(x)在（0，）单调增加，在（，+）单调减少.
（2）不妨假设x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在（0，+）单调减少.
所以等价于
≥4x1－4x2，，即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x，则+4＝.
于是≤＝≤0.
从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，
即f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1，x2∈(0，+) ，.
22．已知双曲线过点，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线交双曲线于点，，直线，分别交直线于点，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知列关于a,b,c的方程组求解即可；
（2）直线联立双曲线方程，写出直线，的方程，然后可得点，坐标，将比值问题转化为纵坐标关系，利用韦达定理可得，然后可得.
【详解】（1）由题知，解得，，，
；
（2）设直线，，
联立，则，
则，， ，
设直线，，
令，，，
则，
因为
所以，B为PQ的中点，所以.
【点睛】本题难点在于能将所求转化为证明的问题，可以通过取特殊方程求解，然后进行合理推测，或者尽量标准作图，通过图象进行猜测，从而确定求解方向.
X
0
1
2
P