2024届山西省大同市第三中学校高三上学期十月月考数学试题含解析

这是一份2024届山西省大同市第三中学校高三上学期十月月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1． 设，向量，，，且，，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据向量垂直列方程来求得.
【详解】由于，所以，所以.
故选：A
2．若过两点，的直线的倾斜角为150°，则的值为（ ）
A．B．0C．D．3
【答案】B
【分析】根据斜率公式列出方程，求解即可.
【详解】因为过两点，的直线的倾斜角为150°，
所以直线斜率为 ，即，
解得.
故选：B.
3．若两条平行直线与之间的距离是，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【分析】由两直线平行求得参数，再由距离求出后即得．
【详解】由题意两直线平行，则，，
又，而，所以．
所以．
故选：A．
4．如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据横截距和纵截距的范围求得正确答案.
【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；
令，得；令，得；
所以直线不经过第三象限.
故选：C
5．已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围.
【详解】过点作，垂足为点，如图所示：
设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，
当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，
此时；
当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故选：D.
6．直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设点是所求直线上任意一点，进而求得其关于对称的点为，再代入已知直线方程即可得答案.
【详解】解：设点是所求直线上任意一点，
则关于直线对称的点为，且在直线上，
所以，代入可得，整理得．
所以，所求直线方程为.
故选：B
7．已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，与、都成角，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，，则，，分别计算出，，利用计算即可.
【详解】设，，，则，，，从而，
，，
，
所以.
故选：D．
【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查了空间向量的基本定理的应用，也可以通过平移，构造三角形，解三角形来解决.
8．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过圆心作直线的垂线，垂线与直线的交点向圆引切线，切线长最小．
【详解】圆心,半径 ，圆心到直线的距离
则切线长的最小值
【点睛】本题考查圆的切线长，考查数形结合思想，属于基础题．
二、多选题
9．直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，分直线的截距为0和直线的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解.
【详解】当直线的截距为0时，此时直线的方程为，即．
当直线的截距不为0时，设直线的方程为，
则，解得或，
当时，可得直线的方程为，即；
若时，可得则直线的方程为，即．
故选：BCD.
10．已知直线过点，且与轴、轴分别交于A，B点，则（ ）
A．若直线的斜率为1，则直线的方程为
B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为
C．若M为的中点，则的方程为
D．直线的方程可能为
【答案】AC
【分析】根据直线点斜式判断A，由过原点直线满足题意判断B，由中点求出A,B坐标得直线方程判断C，由直线与坐标轴有交点判断D.
【详解】对于A，直线l的斜率为1，则直线l的方程为，即，故A正确；
对于B，当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，l的方程为，故B错误；
对于C，因为中点，且A，B在轴、轴上，所以，，故AB的方程为，即，故C正确；
对于D，直线与x轴无交点，与题意不符，故D错误．
故选：AC．
11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；
在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；
在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；
在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.
【详解】在选项A中，∵，，，
且平面，
∴平面，平面，
∴，
同理，，
∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
在选项B中，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选：ABD
12．已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若，则该圆圆心为，半径为4
C．若，过的直线与圆相交所得弦长为，则该直线方程为
D．若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立
【答案】AD
【分析】对A，将圆的一般式化为标准式，结合求范围；对B，将代入标准式即可求出圆心和半径；对C，设出直线方程，由圆心到直线距离求出，但需考虑斜率不存在情况；对D，将圆心代入直线方程，再结合基本不等式即可求解.
【详解】将化为标准式可得，由圆的定义可知，，故A对；
当时，圆的标准方程为，则圆心为 ，半径为2，故B错误；
设过的直线方程为：，当时，圆心为 ，半径为2，则，即，解得，直线方程为：，但当直线斜率不存在时，即，圆心到直线距离也为1，故这样的直线方程有两条，C错误；
因为直线恒过圆的圆心，即，
则，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：AD
三、填空题
13．已知直线l1：与直线l2：的交点为M．则过点M且与直线l3：3x﹣y+1＝0垂直的直线l的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】直线与直线联立得，再由点斜式可求得直线方程.
【详解】联立，解得：．
所以与l3垂直的直线方程为：，
整理得：．
故答案为：
14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则该斜坡的坡度是 .

【答案】
【分析】由空间向量数量积的运算律求解．
【详解】设斜坡的坡角为，由题意知 与 的夹角为，
因为，所以，
即，所以，因为是锐角，所以.
故答案为：
15．设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为
【答案】
【解析】求出点关于直线：的对称点为，连结，则交直线于点，点即为所求的点，此时，.
【详解】解：
设点关于直线：的对称点为
线段的中点在上
则
又，
解得，
故答案为：
【点睛】本题考查线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，
属于中档题.
16．实数满足，那么的最大值为 .
【答案】
【分析】判断点的轨迹，然后结合斜率以及图象求得的最大值.
【详解】得，
所以点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆的上半部分，
表示点与点连线的斜率，
过作半圆的切线，切点为，如下图所示，则，
由于，
所以三角形是等腰直角三角形，所以直线的斜率为，
也即的最大值为.
故答案为：
四、解答题
17．在平面直角坐标系内有三个定点，，，记的外接圆为E.
(1)求圆E的方程；
(2)若直线与圆E没有公共点，求m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程即可；
（2）利用几何法判定直线与圆位置关系计算即可求参数范围.
【详解】（1）设圆的方程为：，
代入A、B、C三点坐标可得：，解之得，
所以圆的方程为：；
（2）由（1）知，
即圆心，半径为，
由题意可知E到的距离或，
即.
18．在中，边，所在直线的方程分别为，，点在边上.
(1)求直线的方程；
(2)若为边上的高，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知两直线方程联立求得点坐标，由斜率公式得直线斜率，从而得直线方程；
（2）由垂直得直线方程后可得直线方程．
【详解】（1）由，得，即，，
直线方程为，即；
（2）由题意，
直线方程为，即．
19．已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动.
(1)求线段的中点M的轨迹方程；
(2)已知点为（1）所求轨迹上任意一点，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）设，，用表示出，再把代入已知圆方程化简可得；
（2）利用表示到原点距离这个几何意义求解：由在圆上，求出到圆心距离，加上半径得距离的最大值，平方后可得结论．
【详解】（1）设，，因为是中点，所以，而在圆上，
所以，即，
所以的轨迹方程是；
（2）由（1）知在圆，设其圆心为，半径为1，，
，因此的最大值是，从而的最大值是．
20．如图，在三棱柱中，底面，，点M为的中点.
(1)证明：平面；
(2)在上存在点N，且满足，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接与交于点，再连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面.
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，设，根据题意得到，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：如图所示，连接与交于点，则点为的中点，
连接，因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）解：由，可得，所以，
以点为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
设，则
因为在线段上存在点N，且满足，可得，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
则，
设二面角的平面角为，
因为二面角为锐二面角，所以，
所以二面角的大小为.
21．已知圆，直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论；
（2）当直线l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据求出直线的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.
【详解】（1）直线化为，
则，解得，
所以直线 l 恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
（2）当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线 l 的斜率为2，
即，解得，
所以直线 l 的方程为.
22．图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.

(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，直线与平面所成角的正弦值为
【分析】（1）由二面角平面角定义可知是二面角的平面角，利用勾股定理可说明，由此可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由点到平面距离的向量求法可构造方程求得，利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）在图①中，连接，交于，
四边形是边长为的菱形，，，；
在图②中，相交直线均与垂直，是二面角的平面角，
，，，，平面平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴可建立如图②所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，，
设，，
则，
设平面的一个法向量，
则，令，解得：，，；
点到平面的距离，解得：或（舍），
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为.