


江西省景德镇市十校联考2022—-2023学年上学期九年级期中数学试卷
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这是一份江西省景德镇市十校联考2022—-2023学年上学期九年级期中数学试卷,共24页。试卷主要包含了÷2等内容,欢迎下载使用。
1.(3分)下列图案中,是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
2.(3分)关于x的一元二次方程有一个根是﹣1,若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,设t=2a+b,则t的取值范围是( )
A.B.C.D.
3.(3分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,连接对角线AC与BD交于点E,且BD为⊙O的直径,已知∠BDC=40°,∠AEB=110°,则∠ABC=( )
A.65°B.70°C.75°D.80°
4.(3分)抛物线y=(x﹣1)2+2可由y=x2如何平移得到( )
A.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位
B.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位
C.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位
D.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位
5.(3分)如图,边长为10的等边△ABC中,点D在边AC上,且AD=3,将含30°角的直角三角板(∠F=30°)绕直角顶点D旋转,DE、DF分别交边AB、BC于P、Q,连接PQ.当EF∥PQ时,DQ长为( )
A.6B.C.10D.6
6.(3分)已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=2x﹣m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数的图象(如图所示),当直线y=2x﹣m与新函数图象有4个交点时,m的取值范围是( )
A.﹣4<m<6B.﹣<m<﹣4C.6<m<D.﹣<m<6
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
7.(3分)抛物线y=﹣(x﹣2)2+5的顶点坐标是 .
8.(3分)已知点P(a﹣1,2)与点Q(﹣3,b+1)关于原点对称,则a+b= .
9.(3分)设m,n是方程x2﹣x﹣2=0的两根,则m2+n+mn= .
10.(3分)《九章算术》是中国古代的数学专著,其中《方田》一章中记载了弧田面积术,术曰:以弦乘矢,矢又自乘,二而一,即弧田面积=(弦×矢+矢×矢)÷2.如图,“弧田”由圆弧和其所对的弦围成,“弦”是圆弧所对的弦长,“矢”是半径长与圆心到弦的距离之差.若弦AB的长为16米,半径OA=10米,则弧田面积为 平方米.
11.(3分)用长为120米的篱笆围一个矩形苗圃,则能围成苗圃的最大面积是 .
12.(3分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AB=8,点D是直线BC上动点,连接AD,在直线AD的右侧作等边△ADE,连接CE,当线段CE的长度最小时,线段CD的长度为 .
三.解答题(共5小题,满分30分,每小题6分)
13.(6分)如图,△ABC内接于圆,D是BC上一点,将∠B沿AD翻折,B点正好落在圆上E点处.
(1)求证:AD过圆心;
(2)若已知:∠C=38°,求∠BAE的度数.
14.(6分)当m为什么数时,关于x的方程(m﹣2)x2﹣mx+2=m﹣x2是一元二次方程?写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
15.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE,点C,A的对应点分别为E,F.点E落在BA上,连接AF.
(1)若∠BAC=40°,求∠BAF的度数;
(2)若AC=8,BC=6,求AF的长.
16.(6分)写出抛物线y=x2﹣4x﹣3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
17.(6分)如图,△ABC为锐角三角形.
(1)实践与操作:以BC为直径作⊙O,分别交AB,AC于点D,E(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,标明字母).
(2)猜想与证明:在(1)的条件下,若∠A=60°,试猜想AE与AB之间的数量关系,并说明理由.
四.解答题(共3小题,满分24分,每小题8分)
18.(8分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,F为上一点,=,连结CF分别交AB,AD于点G,H.
(1)求证:FH=GH.
(2)若AH:CH=3:4,且AF=15,求GB的长.
19.(8分)有这样一个问题:探究函数y=x2﹣4|x|+3的图象与性质.
小丽根据学习函数的经验,对函数y=x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究.
下面是小丽的探究过程,请补充完整:
(1)函数y=x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是 .
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,画出了函数y=x2﹣4|x|+3的部分图象,用描点法将这个函数的图象补充完整:
(3)对于上面的函数y=x2﹣4|x|+3,下列四个结论:
①函数图象关于y轴对称;
②函数既有最大值,也有最小值;
③当x>2时,y随x的增大而增大,当x<﹣2时,y随x的增大而减小;
④函数图象与x轴有2个公共点.
所有正确结论的序号是 .
(4)结合函数图象,解决问题:
若关于x的方程x2﹣4|x|+3=k有4个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
20.(8分)一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件3元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系,下表记录的是某三周的有关数据:
(1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围);
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价,且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件,求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元?
(3)抗疫期间,该商场这种商品售价不大于15元/件时,每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6),捐赠后发现,该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范围.
五.解答题(共2小题,满分18分,每小题9分)
21.(9分)如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,点P是△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合,如果AP=3,求PP′的长.
22.(9分)在平面直角坐标系xOy中,点(﹣2,0),(﹣1,y1),(1,y2),(2,y3)在抛物线y=x2+bx+c上.
(1)若y1=y2,求y3的值;
(2)若y2<y1<y3,求y3的取值范围.
六.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
23.(12分)直线AB∥CD,点M、N分别在直线AB、CD上.
(1)如图1,∠AMP、∠DNP、∠MPN的数量关系为: ;
(2)如图2,直线EF与AB、CD分别交于点E、F,连接MN,∠EMN的平分线MH交CD于点H.
①当MH∥EF,PN∥EF时,请判断∠EFD与∠PNM的数量关系,并说明理由;
②如图3,当PN保持PN∥EF并向左平移,在平移的过程中猜想∠EFD、∠PNM与∠MHN的数量关系,请直接写出结论.
2022-2023学年江西省景德镇市十校联考九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题,满分18分,每小题3分)
1.(3分)下列图案中,是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
【解答】解:选项A、C、D都不能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形,
选项B能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以是中心对称图形,
故选:B.
2.(3分)关于x的一元二次方程有一个根是﹣1,若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,设t=2a+b,则t的取值范围是( )
A.B.C.D.
【分析】二次函数的图象过点(﹣1,0),则a﹣b+=0,而t=2a+b=3a+,由一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,可得a<0,b>0,即可求解.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有一个根是﹣1,
∴二次函数y=ax2+bx+的图象过点(﹣1,0),
∴a﹣b+=0,
∴b=a+,
而t=2a+b,
∴t=2a+a+=3a+,
∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,
∴a<0,b>0,
∴a+>0,
∴a>﹣,
∴﹣<a<0,
∴﹣1<3a+<,
∴﹣1<t<,
故选:D.
3.(3分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,连接对角线AC与BD交于点E,且BD为⊙O的直径,已知∠BDC=40°,∠AEB=110°,则∠ABC=( )
A.65°B.70°C.75°D.80°
【分析】根据圆周角定理得到∠BCD=90°,根据直角三角形的性质求出∠DBC,计算即可.
【解答】解:∵BD为⊙O的直径,
∴∠BCD=90°,
∴∠DBC=90°﹣40°=50°,
由圆周角定理得,∠BAC=∠BDC=40°,
∴∠ABD=180°﹣∠AEB﹣∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=80°,
故选:D.
4.(3分)抛物线y=(x﹣1)2+2可由y=x2如何平移得到( )
A.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位
B.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位
C.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位
D.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位
【分析】先根据二次函数的性质得两抛物线的顶点坐标,然后通过顶点的平移可确定抛物线的平移.
【解答】解:抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标为(1,2),因为点(0,0)先向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到点(1,2),所以把抛物线y=x2先向右平移1个单位,再向上平移2个单位可得抛物线y=(x﹣1)2+2.
故选:B.
5.(3分)如图,边长为10的等边△ABC中,点D在边AC上,且AD=3,将含30°角的直角三角板(∠F=30°)绕直角顶点D旋转,DE、DF分别交边AB、BC于P、Q,连接PQ.当EF∥PQ时,DQ长为( )
A.6B.C.10D.6
【分析】证明△ADP∽△BPQ,由相似三角形的性质得出,求出BP=6,CQ=2,过点Q作QM⊥AC于点M,由勾股定理可求出答案.
【解答】解:∵∠F=30°,
∴∠E=60°,
∵EF∥PQ,
∴∠DPQ=∠E=60°,∠DQP=∠F=30°,
∴∠APD+∠BPQ=120°,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠B=60°,AC=BC=AB=10,
∴∠APD+∠ADP=120°,
∴∠BPQ=∠ADP,
∴△ADP∽△BPQ,
∴,
∵∠PDQ=90°,∠DQP=30°,
∴PD=PQ,
∴,
∴BP=6,
∴AP=4,BQ=8,
∴CQ=2,
过点Q作QM⊥AC于点M,
∴CM=CQ=1,QM=,
∵CD=AC﹣AD=10﹣3=7,
∴DQ===.
故选:B.
6.(3分)已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=2x﹣m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数的图象(如图所示),当直线y=2x﹣m与新函数图象有4个交点时,m的取值范围是( )
A.﹣4<m<6B.﹣<m<﹣4C.6<m<D.﹣<m<6
【分析】当直线位于直线a、b的位置时,直线y=2x﹣m与新函数图象有3个交点,直线y=2x﹣m处于a、b之间时,有4个交点,即可求解.
【解答】解:令y=﹣x2+x+6=0,则x=﹣2或3,即抛物线与x轴交点的坐标为(﹣2,0)、(3,0),
二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,根据点的对称性,两个图象关于x轴对称,
则新图象的表达式为:﹣y′=﹣x2+x+6,即y′=x2﹣x﹣6,
如图,当直线位于直线a、b的位置时,直线y=2x﹣m与新函数图象有3个交点,处于a、b之间时,有4个交点,
当直线处于直线a的位置时,将(3,0)代入y=2x﹣m并解得:m=6;
当直线处于直线b的位置,即直线与y′=x2﹣x﹣6只有一个交点,联立两个函数表达式并整理得:x2﹣3x+m﹣6=0,
则Δ=(﹣3)2﹣4(m﹣6)=0,解得:m=,
观察图象可知,满足条件的m的值:6<m<,
故选:C.
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
7.(3分)抛物线y=﹣(x﹣2)2+5的顶点坐标是 (2,5) .
【分析】根据抛物线的顶点式,可以直接写出该抛物线的顶点坐标.
【解答】解:∵抛物线y=﹣(x﹣2)2+5,
∴该抛物线的顶点坐标为(2,5),
故答案为:(2,5).
8.(3分)已知点P(a﹣1,2)与点Q(﹣3,b+1)关于原点对称,则a+b= 1 .
【分析】利用两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(﹣x,﹣y),进而求出答案.
【解答】解:∵点P(a﹣1,2)与点Q(﹣3,b+1),
∴a﹣1=3,b+1=﹣2,
∴a=4,b=﹣3,
则a+b=4﹣3=1.
故答案为:1.
9.(3分)设m,n是方程x2﹣x﹣2=0的两根,则m2+n+mn= 1 .
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到m2=m+2,则m2+n+mn变形为m+n+mn+2,再利用根与系数的关系得到m+n=1,mn=﹣2,然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:∵m是方程x2﹣x﹣2=0的根,
∴m2﹣m﹣2=0,
∴m2=m+2,
∴m2+n+mn=m+2+n+mn=m+n+mn+2,
∵m,n是方程x2﹣x﹣2=0的两根,
∴m+n=1,mn=﹣2,
∴m2+n+mn=1﹣2+2
=1.
故答案为:1.
10.(3分)《九章算术》是中国古代的数学专著,其中《方田》一章中记载了弧田面积术,术曰:以弦乘矢,矢又自乘,二而一,即弧田面积=(弦×矢+矢×矢)÷2.如图,“弧田”由圆弧和其所对的弦围成,“弦”是圆弧所对的弦长,“矢”是半径长与圆心到弦的距离之差.若弦AB的长为16米,半径OA=10米,则弧田面积为 40 平方米.
【分析】由垂径定理得AD=BD=AB=8(米),再由勾股定理得OD=6(米),则CD=OC﹣OD=4(米),然后由弧田面积进行计算即可.
【解答】解:如图,设OC与AB交于点D,
由题意得:OC⊥AB,AB=16米,
∴AD=BD=AB=8(米),
在Rt△AOD中,由勾股定理得:OD===6(米),
∴CD=OC﹣OD=10﹣6=4(米),
∴弧田面积=(弦×矢+矢×矢)÷2=(16×4+4×4)÷2=40(平方米),
故答案为:40.
11.(3分)用长为120米的篱笆围一个矩形苗圃,则能围成苗圃的最大面积是 900平方米 .
【分析】设矩形苗圃的长为x米,则宽为(60﹣x)米,矩形的面积为S平方米,根据矩形的面积公式列出函数关系式,再根据函数的性质求最值.
【解答】解:设矩形苗圃的长为x米,则宽为(60﹣x)米,矩形的面积为S平方米,
由题意,得S=x(60﹣x)=﹣x2+60x=﹣(x﹣30)2+900,
∵﹣1<0,
∴当x=30时,S最大,最大值为900,
故答案为:900平方米.
12.(3分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AB=8,点D是直线BC上动点,连接AD,在直线AD的右侧作等边△ADE,连接CE,当线段CE的长度最小时,线段CD的长度为 6 .
【分析】以AC为边作等边△ACF,连接DF,可证△ACE≌△AFD,可得CE=DF,则DF⊥CB时,DF的长最小,即DE的长最小,即可求解.
【解答】解:如图,以AC为边作等边△ACF,连接DF,
∵∠ACB=90°,∠B=60°,AB=8,
∴AC=4,
∵△ACF是等边三角形,
∴CF=AC=AF=4,∠BCF=60°,
∵△ADE是等边三角形,
∴AD=AE,∠FAC=∠DAE=60°,
∴∠FAD=∠CAE,
在△ACE和△AFD中,
,
∴△ACE≌△AFD(SAS)
∴CE=DF,
∴DF⊥BC时,DF的长最小,即CE的长最小,
∵∠FCD'=90°﹣60°=30°,D'F⊥CB,
∴CD'=CF=6,
故答案为:6.
三.解答题(共5小题,满分30分,每小题6分)
13.(6分)如图,△ABC内接于圆,D是BC上一点,将∠B沿AD翻折,B点正好落在圆上E点处.
(1)求证:AD过圆心;
(2)若已知:∠C=38°,求∠BAE的度数.
【分析】(1)连接BE,运用垂径定理的推论与翻折问题解决;
(2)根据等腰三角形的性质,等边对等角,以及圆周角定理,求出即可.
【解答】(1)证明:连接BE,BE交AD于点F,
∵△ABC内接于圆,D是BC上一点,将∠B沿AD翻折,B点正好落在圆上E点处.
∴∠AFB=∠AFE=90°,BF=EF,
∴AD垂直平分BE,
∴AD过圆心;
(2)解:∵△ABC内接于圆,D是BC上一点,将∠B沿AD翻折,B点正好落在圆上E点处.
∴AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB=∠C=38°,
∴∠BAE=180°﹣38°﹣38°=104°.
14.(6分)当m为什么数时,关于x的方程(m﹣2)x2﹣mx+2=m﹣x2是一元二次方程?写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
【分析】先把方程化成一般形式,再根据一元二次方程的定义得出当m﹣1≠0时,方程是一元二次方程,再求出答案即可.
【解答】解:(m﹣2)x2﹣mx+2=m﹣x2,
(m﹣1)x2﹣mx+2﹣m=0,
∵关于x的方程(m﹣2)x2﹣mx+2=m﹣x2是一元二次方程,
∴m﹣1≠0,
即当m≠1时,关于x的方程(m﹣2)x2﹣mx+2=m﹣x2是一元二次方程,它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是m﹣1,﹣m,2﹣m.
15.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE,点C,A的对应点分别为E,F.点E落在BA上,连接AF.
(1)若∠BAC=40°,求∠BAF的度数;
(2)若AC=8,BC=6,求AF的长.
【分析】(1)根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50°,根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50°,AB=BF,根据三角形的内角和定理即可得到结论;
(2)根据勾股定理得到AB=10,根据旋转的性质得到BE=BC=6,EF=AC=8,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=40°,
∴∠ABC=50°,
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE,
∴∠EBF=∠ABC=50°,AB=BF,
∴∠BAF=∠BFA=(180°﹣50°)=65°;
(2)∵∠C=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10,
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE,
∴BE=BC=6,EF=AC=8,
∴AE=AB﹣BE=10﹣6=4,
∴AF===4.
16.(6分)写出抛物线y=x2﹣4x﹣3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【分析】先把一般式配成顶点式,然后根据二次函数的性质解决问题.
【解答】解:y=x2﹣4x﹣3=(x﹣2)2﹣7,
所以抛物线的开口向上,抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,﹣7).
17.(6分)如图,△ABC为锐角三角形.
(1)实践与操作:以BC为直径作⊙O,分别交AB,AC于点D,E(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,标明字母).
(2)猜想与证明:在(1)的条件下,若∠A=60°,试猜想AE与AB之间的数量关系,并说明理由.
【分析】(1)作BC的垂直平分线得到BC的中点O,然后以O点为圆心,OB为半径作圆,⊙O分别交AB,AC于点D,E;
(2)连接BE,如图,先根据圆周角定理得到∠BEC=90°,然后根据含30度角的直角三角形三边的关系得到AE=AB.
【解答】解:(1)如图,⊙O为所作;
(2)AE=AB.
理由如下:连接BE,如图,
∵BC为⊙O的直径,
∴∠BEC=90°,
∵∠A=60°,
∴∠ABE=30°,
∴AE=AB.
四.解答题(共3小题,满分24分,每小题8分)
18.(8分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,F为上一点,=,连结CF分别交AB,AD于点G,H.
(1)求证:FH=GH.
(2)若AH:CH=3:4,且AF=15,求GB的长.
【分析】(1)连结AC,由AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,根据垂径定理得=,=,所以∠D=∠ACD,因为=,所以=,则∠DCF=∠BAC,∠D=∠ACD,即可推导出∠F=∠AGF,得AF=AG,而∠FAD=∠BAD,根据等腰三角形的“三线合一”性质得FH=GH;
(2)连结BC,设BE=m,先证明△AHF∽△CHD,则==,求得CD=×15=20,所以CE=DE=CD=10,再证明△BCE≌△GCE,得GE=BE=m,再证明△CEB∽△AEC,得=,列出关于m的方程,求出m的值,即可求得GB的长.
【解答】(1)证明:如图,连结AC,
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,
∴=,=,
∴∠D=∠ACD,
∵=,
∴=,
∴∠DCF=∠BAC,
∴∠AGF=∠ACF+∠BAC=∠ACF+∠DCF=∠ACD,
∵∠F=∠D,
∴∠F=∠AGF,
∴AF=AG,
∵∠FAD=∠BAD,
∴FH=GH.
(2)解:如图,连结BC,设BE=m,
根据题意得AF=15,=,
∴AG=AF=15,
∵∠F=∠D,∠AHF=∠CHD,
∴△AHF∽△CHD,
∴==,
∵CD=×15=20,
∴CE=DE=CD=10,
∵∠BCE=∠GCE,CE=CE,∠CEB=∠CEG=90°,
∴△BCE≌△GCE,
∴GE=BE=m,
∵∠BCE=∠CAE,∠CEB=∠AEC,
∴△CEB∽△AEC,
∴=,
∴BE•CE=CE2,
∴m(15+m)=102,
解得m1=5,m2=﹣20(不符合题意,舍去),
∴GE=BE=5,
∴GB=GE+BE=10,
∴GB的长为10.
19.(8分)有这样一个问题:探究函数y=x2﹣4|x|+3的图象与性质.
小丽根据学习函数的经验,对函数y=x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究.
下面是小丽的探究过程,请补充完整:
(1)函数y=x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是 任意实数 .
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,画出了函数y=x2﹣4|x|+3的部分图象,用描点法将这个函数的图象补充完整:
(3)对于上面的函数y=x2﹣4|x|+3,下列四个结论:
①函数图象关于y轴对称;
②函数既有最大值,也有最小值;
③当x>2时,y随x的增大而增大,当x<﹣2时,y随x的增大而减小;
④函数图象与x轴有2个公共点.
所有正确结论的序号是 ①③ .
(4)结合函数图象,解决问题:
若关于x的方程x2﹣4|x|+3=k有4个不相等的实数根,则k的取值范围是 ﹣1<k<3 .
【分析】(1)根据函数解析式可以写出x的取值范围;
(2)根据函数图象的特点,可以得到该函数关于y轴对称,从而可以画出函数的完整图象;
(3)根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立;
(4)根据函数图象,可以写出关于x的方程x2﹣4|x|+3=k有4个不相等的实数根时,k的取值范围.
【解答】解:(1)∵函数y=x2﹣4|x|+3,
∴x的取值范围为任意实数,
故答案为:任意实数;
(2)由函数y=x2﹣4|x|+3可知,x>0和x<0时的函数图象关于y轴对称,函数图象如图所示;
(3)由图象可得,
函数图象关于y轴对称,故①正确;
函数有最小值,但没有最大值,故②错误;
当x>2时,y随x的增大而增大,当x<﹣2时,y随x的增大而减小,故③正确;
函数图象与x轴有4个公共点,故④错误;
故答案为:①③;
(4)由图象可得,
关于x的方程x2﹣4|x|+3=k有4个不相等的实数根,则k的取值范围是﹣1<k<3,
故答案为:﹣1<k<3.
20.(8分)一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件3元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系,下表记录的是某三周的有关数据:
(1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围);
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价,且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件,求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元?
(3)抗疫期间,该商场这种商品售价不大于15元/件时,每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6),捐赠后发现,该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范围.
【分析】(1)用待定系数法求出一次函数的解析式便可;
(2)根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价,且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件,”列出x的不等式组,求得x的取值范围,再设利润为w元,由w=(x﹣3)y,列出w关于x的二次函数,再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价;
(3)根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式,再根据函数的性质,列出m的不等式进行解答便可.
【解答】解:(1)设y与x的函数关系式为:y=kx+b(k≠0),
把x=4,y=10000和x=5,y=9500代入得,
,
解得,,
∴y=﹣500x+12000;
(2)根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价,且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件,”得,
,
解得,3≤x≤12,
设利润为w元,根据题意得,
w=(x﹣3)y=(x﹣3)(﹣500x+12000)=﹣500x2+13500x﹣36000=﹣500(x﹣13.5)2+55125,
∵﹣500<0,
∴当x<13.5时,w随x的增大而增大,
∵3≤x≤12,且x为正整数
∴当x=12时,w取最大值为:﹣500×(12﹣13.5)2+55125=54000,
答:这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元,售价为12元;
(3)根据题意得,w=(x﹣3﹣m)(﹣500x+12000)=﹣500x2+(13500+500m)x﹣36000﹣12000m,
∴对称轴为x=﹣=13.5+0.5m,
∵﹣500<0,
∴当x<13.5+0.5m时,w随x的增大而增大,
∵该商场这种商品售价不大于15元/件时,捐赠后发现,该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.
又∵x为整数,
∴对称轴在x=14.5的右侧时,当x≤15(x为整数)时,w都随x的增大而增大,
∴14.5<13.5+0.5m,解得m>2,
∵1≤m≤6,
∴2<m≤6.
五.解答题(共2小题,满分18分,每小题9分)
21.(9分)如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,点P是△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合,如果AP=3,求PP′的长.
【分析】根据旋转的性质得出△ABP≌△ACP′,推出AP=AP′=3,∠BAP=∠CAP′,求出∠PAP′=90°,得出△PAP′是等腰直角三角形,根据勾股定理求出PP′即可.
【解答】解:∵将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合,
∴△ABP≌△ACP′,
∴AP=AP′=3,∠BAP=∠CAP′,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAP+∠CAP=90°,
∴∠CAP′+∠CAP=90°,
即∠PAP′=90°,
∴△PAP′是等腰直角三角形,
由勾股定理得:PP′==3,
即PP′的长是3.
22.(9分)在平面直角坐标系xOy中,点(﹣2,0),(﹣1,y1),(1,y2),(2,y3)在抛物线y=x2+bx+c上.
(1)若y1=y2,求y3的值;
(2)若y2<y1<y3,求y3的取值范围.
【分析】(1)由y1=y2可得抛物线对称轴为y轴,由抛物线经过(﹣2,0),(2,y3)可得y3的值.
(2)由抛物线经过(﹣2,0)可得4﹣2b+c=0,分别将(﹣1,y1),(1,y2),(2,y3)代入解析式,根据y2<y1<y3及b的取值范围求解.
【解答】解:(1)当y1=y2时,(﹣1,y1),(1,y2)关于对称轴对称,
则抛物线对称轴为y轴,
∴(﹣2,0),(2,y3)关于y轴对称,
∴y3=0.
(2)将(﹣2,0)代入y=x2+bx+c得4﹣2b+c=0,
将(1,y2)代入y=x2+bx+c得y2=1+b+c,
将(﹣1,y1)代入y=x2+bx+c得y1=1﹣b+c,
∵y2<y1,
∴1+b+c<1﹣b+c,
∴b<0,
将(2,y3)代入y=x2+bx+c得y3=4+2b+c,
∵y1<y3,
∴1﹣b+c<4+2b+c,
∴b>﹣1,
∵4﹣2b+c=0,
∴y3=4+2b+c=4b,
∴﹣4<4b<0,即﹣4<y3<0.
六.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)
23.(12分)直线AB∥CD,点M、N分别在直线AB、CD上.
(1)如图1,∠AMP、∠DNP、∠MPN的数量关系为: ∠AMP+∠MPN﹣∠PND=180° ;
(2)如图2,直线EF与AB、CD分别交于点E、F,连接MN,∠EMN的平分线MH交CD于点H.
①当MH∥EF,PN∥EF时,请判断∠EFD与∠PNM的数量关系,并说明理由;
②如图3,当PN保持PN∥EF并向左平移,在平移的过程中猜想∠EFD、∠PNM与∠MHN的数量关系,请直接写出结论.
【分析】(1)结论:∠AMP+∠MPN﹣∠PND=180°.如图1中,过点P作PT∥AB.利用平行线的性质证明即可;
(2)①结论:∠EFD=∠PNM.利用平行线的性质角平分线的定义证明即可;
②分两种情形:如图3﹣1中,当点P在MN的右侧时,2∠MHN﹣∠PND=∠PNM.如图3﹣2中,当点P值MN的左侧时,2∠MHN+∠PNM=∠EFD.
【解答】解:(1)如图1中,过点P作PT∥AB.
∵AB∥CD,PT∥AB,
∴AB∥PT∥CD,
∴∠AMP+∠MPT=180°,∠PND=∥TPN,
∴∠AMP+∠MPN﹣∠PND=180°.
故答案为:∠AMP+∠MPN﹣∠PND=180°;
(2)①结论:∠EFD=∠PNM.
理由:如图2中,
∵MH∥EF,
∴∠EFD=∠MHN,
∵AB∥CD,
∴∠MHD=∠AMH,
∵MH平分∠AMN,
∴∠AMH=∠HMN,
∴∠EFD=∠HMN,
∵MH∥PN,
∴∠HMN=∠PNM,
∴∠EFD=∠PNM.
故答案为:∠EFD=∠PNM;
②如图3﹣1中,当点P在MN的右侧时,2∠MHN﹣∠EFD=∠PNM.
理由:∵AB∥CD,
∴∠AMH=∠MHN,∠AMN=∠MND,
∵MH平分∠AMN,
∴∠AMN=2∠MHN,
∵PN∥EF,
∴∠PND=∠EFD,
∵∠AMN=∠PND+∠PNM,
∴2∠MHN﹣∠PND=∠PNM.
如图3﹣2中,当点P值MN的左侧时,2∠MHN=∠EFD﹣∠PNM.
理由:∵AB∥CD,
∴∠AMH=∠MHN,∠AMN=∠MND,
∵MH平分∠AMN,
∴∠AMN=2∠MHN,
∵PN∥EF,
∴∠PND=∠EFD,
∵∠AMN=∠PND﹣∠PNM,
∴2∠MHN=∠PND﹣∠PNM.
x(元/件)
4
5
6
y(件)
10000
9500
9000
x(元/件)
4
5
6
y(件)
10000
9500
9000
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