2021-2022学年福建省普通高中高二学业水平合格性考试数学模拟试题（解析版）

这是一份2021-2022学年福建省普通高中高二学业水平合格性考试数学模拟试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知各项均为正数的等比数列，则的值
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知，利用等比中项的性质可得且，即可求值.
【详解】∵为各项均为正数的等比数列，
∴，即，
∴.
故选：D
2．下列说法正确的是（ ）
A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据波动的大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定
【答案】B
【分析】根据平均数，极差与方差的意义判断各选项即可.
【详解】对A，在两组数据中，平均数与极差没有必然联系，所以A错误；
对B，根据平均数与方差的性质可知B正确；
对C，根据方差的公式可得，求和后还需再求平均数；
对D，方差大的表示射击水平不稳定，
故选：B.
3．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．
【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．
故选C．
【点评】
本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．
4．已知函数在同一周期内，当时取最大值，当时取最小值，则的值可能为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最值的位置可求得，从而得到；将代入函数可求得的值．
【详解】
由题意可知：，
所以：，
解得：
则：，
即：
当时，，
此时，满足题意，
由此可知，的一个可能值为：
故选：．
【点睛】本题考查利用三角函数的性质求函数解析式的问题，的求解主要通过函数的周期来确定，则通过函数上的点代入函数方程的方式来进行求解．
5．已知函数的值域为，的定义域为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由指数函数、对数函数的性质求得集合，然后由集合的运算和关系判断．
【详解】由题意，，
所以，选项ABC均错，只有选项D正确．
故选：D．
6．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量减法和加法的运算，求出运算的结果.
【详解】依题意，故选B.
【点睛】本小题主要考查向量的减法运算，考查向量的加法运算，属于基础题.
7．不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：，故解集为B.
【解析】一元二次不等式.
8．已知两条直线，，，则直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用可得,再求得直线的方向向量即可
【详解】由题,因为,所以,
解得或（舍）
所以直线为,即,
则该直线的一个方向向量为
故选：B
【点睛】本题考查已知直线的位置关系求参数,考查直线的方向向量
9．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的值域与对数函数的值域求解即可
【详解】由题，，，故
故选：A
10．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是
A．17πB．18πC．20πD．28π
【答案】A
【详解】试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．
【解析】三视图及球的表面积与体积
【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.
11．给定区域：，令点集，，是在上取得最大值或最小值的点，则中的点共确定不同的直线的条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出可行域，作直线，平移直线后可得最优解，从而得出集合中点的个数及点的关系，然后可确定直线的条数．
【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，
在直线中，是直线的纵截距，直线向上平移时纵截距增大，向下平移时纵截距减小，因此平移直线，当它过时，最小，当它与直线重合时，最大，
所以集合中有6个点，一个是，还有5个是直线上的点，，，，，
它们能确定的直线的条数为5＋1＝6，
故选：C．
12．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由同角间的三角函数关系变形后按所在象限分类讨论可得．
【详解】，
当是第一象限角时，，
当是第二象限角时，，
当是第三象限角时，，
当是第四象限角时，，
综上，函数值域为．
故选：C．
13．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出函数和函数的图象，在轴右侧，的图象上存在点在图象下方，由此可得参数范围．
【详解】作出函数和函数的示意图，其中的图象是过点的直线，是直线的斜率，的图象与轴交于点，
，
题意说明在轴右侧，的图象上存在点在图象下方，
由图象可知只要，即可满足题意．
故选：B．
14．若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数为奇函数，且在内是增函数，又，判断函数在R上的符号，根据奇函数把转化为，根据积商符号法则及函数的单调性即可求得的解集.
【详解】解：因为函数为奇函数，且在内是增函数，，
所以或时，；或时，；
，即，
可知或.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性，以及解不等式，属中档题.
二、填空题
15．如图，当输入的值为3时，输出的结果是______．

【答案】12
【详解】试题分析：由程序框图可知输出值为函数的函数值，当时，所以输出12
【解析】程序框图
16．的零点的个数为________．
【答案】1
【分析】的零点的个数即即且，从而得出答案.
【详解】的零点的个数即方程的解的个数，
即且；
解得，；
故的零点的个数为1；
故答案为：1．
【点睛】本题考查函数的零点个数的求法，属于基础题.
17．在中，若，则_____
【答案】4
【分析】根据余弦定理求解即可
【详解】由余弦定理可得，即，，因为故
故答案为：4
18．已知，，如果与的夹角是钝角，则的取值范围是___________
【答案】
【解析】与的夹角是钝角,则，根据向量夹角公式列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】设两个向量的夹角为，依题意可知为钝角，
则，即，且
由得或，
由于且，所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根据向量夹角求参数，注意利用时，要排除共线反向情况，属于中档题.
19．过圆内点作圆的两条互相垂直的弦和，则的最大值为__．
【答案】
【分析】取中点，中点，由此得，，然后应用变形后的基本不等式可得最大值．
【详解】取中点，中点，如图，则是矩形，，
，同理，
注意到时，由得，从而，当且仅当时取等号．
所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最大值是．
故答案为：．
三、解答题
20．求的值.
【答案】
【分析】根据给定组合式结合组合数的定义列出不等式求得n值，再利用组合数的性质计算即得.
【详解】依题意，，即，解得，
所以，原式.
21．某地区实施“光盘行动”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划,进店的每一位客人需预交元,啤酒根据需要自己用量杯量取,结账时,根据每桌剩余酒量,按一定倍率收费(如下表),每桌剩余酒量不足升的,按升计算(如剩余升,记为剩余升).例如:结账时,某桌剩余酒量恰好为升,则该桌的每位客人还应付元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系,下面是随机采集的组数据(其中表示饮酒人数,(升)表示饮酒量):,,,,.
（1）求由这组数据得到的关于的回归直线方程;
（2）小王约了位朋友坐在一桌饮酒,小王及朋友用量杯共量取了升啤酒,这时,酒吧服务生对小王说,根据他的经验,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考虑再邀请位或位朋友一起来饮酒,会更划算.试向小王是否该接受服务生的建议？
参考数据:回归直线的方程是,其中,.
【答案】（1）；（2）接受
【解析】（1）计算出,,结合所给数据,计算出,进而求得,即可求得答案;
（2）小王和位朋友共人大约需要饮酒升,若不再邀请人,则剩余酒量升,酒吧记为剩余升,预计需要支付元,结合已知,即可求得答案.
【详解】（1）,,
,
,
回归直线方程为.
（2）小王和位朋友共人大约需要饮酒升,
若不再邀请人,则剩余酒量升,酒吧记为剩余升,
预计需要支付元;
若再邀请人,大约需饮酒升,剩余酒量升,
酒吧记为剩余升,预计支付元;
若再邀请人,大约需饮酒升,剩余酒量升,
酒吧记为剩余升,预计支付元.
应该接受建议,且再邀请位朋友更划算.
【点睛】本题主要考查了求回归直线方程,解题关键是掌握求回归直线方程的方法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
22．如图，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分别为，，的中点，以为折痕将折起，使点到达点位置（平面）．
（1）若为直线上任意一点，证明：MH∥平面；
（2）若直线与直线所成角为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)根据中位线证明平面平面，即可证明MH∥平面；（2）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：连接，
∵，，分别为，，的中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
同理，平面，
∵平面，平面，，
∴平面平面，
∵平面，
∴平面．
（2）连接，在和中，由余弦定理可得，
，
由与互补，，，可解得，
于是，
∴，，
∵，直线与直线所成角为，
∴，又，
∴，即，
∴平面，
∴平面平面，
∵为中点，，
∴平面，
如图所示，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，．
设平面的法向量为，
∴，即．
令，则，，可得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
∴，
∴二面角的余弦值为．
【点睛】此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.
23．求直线被圆截得的弦长．
【答案】
【分析】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果.
【详解】解：圆的圆心为原点，半径为，
原点到直线的距离为，
因此，直线被圆截得的弦长为.
24．已知函数，求：
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在区间上的值域．
(3)描述如何由的图象变换得到函数的图象．
【答案】(1)
(2)
(3)变换见解析
【分析】（1）根据同角三角函数的关系，降幂公式和辅助角公式化简求解即可；
（2）结合正弦函数在区间上的图象和取值范围求解即可；
（3）根据三角函数图象平移伸缩的变换分析即可
【详解】(1)由题，，故最小正周期
(2)由（1），当时，，故，故，即函数在区间上的值域为
(3)的图象先向左平移个单位得到，再纵坐标不变，横坐标变为原来的得到；再横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到；再往上平移2个单位得到的图象
剩余酒量(单位:升)
升以上(含升)
结账时的倍率