2021-2022学年福建省上杭县第一中学高二下学期6月学业水平合格性考试（二）数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年福建省上杭县第一中学高二下学期6月学业水平合格性考试（二）数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，已知集合，则如图所示的阴影部分的集合等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据韦恩图得解
【详解】因为，阴影部分表示的集合为，
故选：B
2．复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可.
【详解】因为复数
.
故选：B
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题.
3．从2019年末开始，新型冠状病毒在全球肆虐.为了研制新型冠状病毒疫苗，某大型药企需要从150名志愿者中抽取15名志愿者进行临床试验，现采用分层抽样的方法进行抽取，若这150名志愿者中老年人的人数为50人，则老年人中被抽到进行临床试验的人数是（ ）
A．15B．10C．5D．1
【答案】C
【分析】根据分层抽样中抽样比公式进行求解即可.
【详解】设老年人中被抽到进行临床试验的人数是，因此有，
故选：C
4．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“存在，”的否命题是：“存在，”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“存在，使得”的否定是：“任意，均有”
D．命题“若，则”的为真命题
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定、否命题、必要不充分条件、充分不必要条件、逆否命题、任意角的三角函数等知识确定正确答案.
【详解】A选项，命题“存在，”的否定是：“存在，”，不是“否命题”，所以A选项错误.
B选项，，或，
所以“”是“”的充分不必要条件，B选项错误.
C选项，命题“存在，使得”的否定是：“任意，均有”，所以C选项错误.
D选项，命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，
这是一个真命题，所以原命题也是真命题，所以D选项正确.
故选：D
5．《易经》是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成(——表示一根阳线，一一表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直接根据概率公式计算即可．
【详解】从八卦中任取一卦，基本事件有种，
其中恰有1根阳线和2根阴线，基本事件共有3种，
∴从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根阳线和2根阴线的概率为
故选：C
【点睛】具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
6．的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将表示为的形式，利用诱导公式求解.
【详解】，
根据诱导公式：
故选：A.
【点睛】本题考查诱导公式的使用，属基础题.
7．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】或，
故选：D
8．已知向量，，则（ ）
A．5B．C．3D．
【答案】B
【分析】先把向量和相加得到向量的坐标，再利用向量的坐标算出向量的模长．
【详解】， ．
故选：B．
9．下表是和之间的一组数据，则关于的回归方程必过
A．点B．点C．点D．点
【答案】C
【分析】根据回归直线经过样本中心点，利用平均数的公式求解即可.
【详解】解：，
所以样本中心点为.
故选：C.
【点睛】本题考查了线性回归方程，属基础题.
10．已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出外接球的半径，再求球的表面积得解.
【详解】由题得正方体的对角线长为，
所以.
故选A
【点睛】本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、多选题
11．以下函数图象中不为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据奇函数图象的对称性确定正确答案.
【详解】奇函数的图象关于原点对称，
所以A选项的图象是奇函数的图象，BCD选项的不是奇函数的图象.
故选：BCD
12．如果，则可能是（ ）
A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角
【答案】BC
【分析】根据余弦函数的定义求得正确答案.
【详解】根据余弦函数的定义，，其中，
所以，即，
所以在象限角中，可能是第二象限角或第三象限的角.
故选：BC
13．下列函数是奇函数且在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性的判断即可求解.
【详解】,,是奇函数，非奇非偶函数，
在单调递减，在单调递增，在上单调递减，在单调递减，
故既是奇函数，又在单调递减的函数有和，
故选：AD
14．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】结合的单调性和零点的存在性定理确定正确答案.
【详解】的定义域为，B选项错误.
在区间上是增函数，
，
所以是的唯一零点，所以AC选项正确，D选项错误.
故选：AC
15．若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据周期可求，进而求解对称轴方程，代入值验证即可求解.
【详解】由周期得，所以，
令,解得,取，分别可得和，
故选：AD
三、填空题
16．函数的最小值是___________.
【答案】2
【分析】根据函数单调性可求的最小值.
【详解】因为为减函数，故.
故答案为：2.
【点睛】本题考查函数的最值，可根据函数的单调性来求给定范围上的最值，本题属于容易题.
17．在中，若，，，则的面积是________.
【答案】
【解析】利用公式即可.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的面积公式，要根据不同条件灵活选择，，三个公式.
18．lg0.01＋lg216＝_____________.
【答案】2
【详解】lg0.01＋lg216＝－2＋4＝2
【解析】本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力.
19．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则=________.
【答案】-9
【详解】是定义在R上的奇函数，
所以.
答案为：-9.
20．设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则________.
【答案】1
【分析】由余弦定理即可得出答案.
【详解】由余弦定理可得，，故
故答案为：1
【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题目.
四、解答题
21．已知为锐角，且.
（1）求的值.
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据同角的三角函数关系式中的平方和关系进行求解即可；
（2）根据正弦、余弦的二倍角公式，结合两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】（1）因为为锐角，且，所以；
（2）因为，，所以，
，
因此
22．如图，动物园要围成一个长方形的虎笼.一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.现有可围36长网的材料，虎笼的长､宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？
【答案】虎笼的长､宽各设计为时，可使虎笼面积最大
【分析】设虎笼的长为，宽为，根据已知可得，求出虎笼面积的表达式，最后利用消元思想、基本不等式进行求解即可.
【详解】设虎笼的长为，宽为，因此有，
设虎笼面积为，所以，
当且仅当时取等号，即时，有最大值，最大值为，
所以虎笼的长､宽各设计为时，可使虎笼面积最大.
23．如图，在正方体中，，点P为的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求异面直线与AP所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接BD，设AC和BD交于点O，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面PAC.
（2）由，得到为异面直线与所成角，在直角中，即可求解.
【详解】（1）如图，连接BD，设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，
连接PO，因为P是的中点，所以，
又因为平面PAC，平面PAC，所以直线平面PAC.
（2）由（1）知：，所以异面直线与所成角即为PO与所成角，
即为与所成角，
因为，，且，
在直角中，所以，
所以与AP所成角的正弦值为.
24．一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.
（Ⅰ）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（Ⅱ）根据图示，求该汽车在这段路的行驶路程关于时间的函数解析式.
【答案】（Ⅰ）300，表示该汽车在这4小时内行驶的路程为；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）依次求出长方形面积，求和即可，面积表示总路程.
（Ⅱ）分段函数，在定义域内求解析式即可.
【详解】（Ⅰ）阴影部分的面积为.
阴影部分的面积表示该汽车在这4小时内行驶的路程为.
（Ⅱ）根据图形有：

【点睛】本题考查了函数的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于一般题目.
25．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性；
（3）解关于的不等式.
【答案】(1)；(2) ；详见解析（3）
【分析】（1）根据是定义在上的奇函数及时的解析式即可得出，并可求出，从而可得出，求出；（2）根据上面知，时，，从而可设，从而得出，从而得出时，，再根据函数单调性的定义即可判断在上的单调性.（3）不等式等价于，即，解不等式组即得解.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
，即，，
又因为（2），所以（2），
即，所以，
综上可知，.经检验满足题意.
（2）由（1）可知当时，，
当时，，且函数是奇函数，
，
当时，函数的解析式为，
任取，，且，则，
，，且，
，，，
于是，即，
故在区间上是单调增函数；
（3）是定义在上的奇函数，且，
，且在上是增函数，
，解得，
原不等式的解集为．
【点睛】本题考查了奇函数的定义及应用，求奇函数在对称区间上的解析式的方法，以及函数的单调性的判定和应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
3
2
3
4
1
3
5
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