2021-2022学年湖南省学业水平考试高二数学真题解析版

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这是一份2021-2022学年湖南省学业水平考试高二数学真题解析版，共11页。试卷主要包含了设全集，，，已知，则，下列函数中，在为减函数的是，在中，，为，已知，则的最小值是等内容，欢迎下载使用。

一､选择题（每小题3分，共54分）
1. 设全集，，（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用补集的定义直接求解.
【详解】因为全集，，
所以.
故选：C
2. 已知，则（）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解.
【详解】解：设，因为，所以，
所以.
故选：D.
3. 已知，为虚数单位，，若为实数，则取值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的分类即可求解，为实数，则虚部为0.
【详解】为实数，则
故选：B
4. 甲地下雨的概率为，乙地下雨的概率为，两地是否下雨相互独立，则两地同时下雨的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据独立事件的概率公式即可求解.
【详解】解：记“甲地下雨”为事件，则，
记“乙地下雨”为事件，则，
两地同时下雨的概率为.
故选：A.
5. 下列函数中，在为减函数的是（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导函数的正负来判断原函数的单调性即可求解.
【详解】对于,,所以在为减函数,对于,,所以在单调递增,,,,,故在单调递增.
故选：A
6. 在中，，为（）
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积为0可得，即可得出结论.
【详解】解：因为，所以，则在中，，，
所以为直角三角形.
故选：A.
7. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数诱导公式求解即可.
【详解】解：因为，则.
故选：D.
8. 已知，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由均值不等式求解即可.
【详解】，
，当且仅当时等号成立，
故选：B
9. 将的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，则得到的新的解析式为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象的变换关系进行求解即可.
【详解】解：的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，
得到的新的解析式为，整理得.
故选：D.
10. 的否定是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称命题的否定可得结论.
【详解】解：命题“”为全称命题，该命题的否定为“”.
故选：B
11. 是空间中两条不同的直线，“是异面直线”是“没有公共点”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间直线与直线的位置关系及充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】解：若是空间中两条不同直线，且是异面直线，则没有公共点；
若是空间中两条不同的直线，且没有公共点，则是异面直线或，
故“是异面直线”是“没有公共点”的充分不必要条件.
故选：A.
12. 的第百分位数是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的计算，找从小到大排的第三个数即可.
【详解】将从小到大排列为：1，1，2，2，3，第百分位数是第三个数据2，
故选：C
13. 函数曲线恒过定点（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数函数的性质可求解.
【详解】因为对数函数恒过点，
所以函数曲线恒过点.
故选：C
14. 的解集为（）
A. B. 或C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接求解一元二次不等式即可.
【详解】解：因为时，解得或，
所以的解集为或.
故选：B.
15. 函数的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据辅助角公式化简即可求解.
【详解】，故最大值为2
故选：B
16. 函数的零点所在的一个区间是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可.
【详解】因为为增函数,且,
根据零点存在性定理知的零点在区间内.
故选B
【点睛】本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.
17. 大西洋的鲑鱼每年会逆流而上，回原地产卵.鲑鱼研究者发现鲑鱼的速度为，其中表示氧气的消耗量.已知鲑鱼的速度，则氧气消耗量为（）
A. 个单位B. 个单位C. 个单位D. 个单位
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给函数关系式，代入求解即可.
【详解】根据所给函数关系，
当时，，即，
解得，
故选：B
18. 已知函数的图像如图所示，则下列说法错误的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象，判断函数的奇偶性、周期性、对称性等性质，逐项判断即可.
【详解】解：由函数的图象可得，函数为偶函数，函数关于对称，且最小正周期为2，最大值为1，最小值为0，
A项中，，故A项正确；
B项中，，故B项正确；
C项中，因为，则函数的最小正周期为1，而函数图象的最小正周期为2，故C项错误.
D项中，，则函数关于对称，故D项正确.
故选：C.
二､填空题（每小题4分，共16分）
19. ___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据指数幂的运算，直接计算求值即可.
【详解】解：.
故答案为：2.
20. 一支游泳队有男运动员人，女运动员人，按性别分层，用分层随机抽样从全体运动员抽取一个容量为的样本，那么抽取的女运动员人数为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据抽样比例,即可求解.
【详解】抽取的女运动员人数为
故答案为:3
21. 半径为的球的表面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用球的表面积公式即可求解.
【详解】解：球的半径为，所以球的表面积为.
故答案为：.
22. 在中，角所对的边分别为．已知，则的度数为____．
【答案】
【解析】
【详解】由正弦定理：可得：，
由可得，则： .
三､解答题（每小题10分，共30分）
23. 某人通过计步仪器，记录了自己100天每天走的步数（单位：千步）得到频率分布表，如图所示
（1）求频率分布表中的值，并补全频率分布直方图；
（2）估计此人每天步数不少于1万步的概率.
【答案】（1）；频率分布直方图见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布表可直接计算的值，根据的值补全频率分布直方图即可.
（2）根据频率分布表可得此人每天步数不少于1万步的天数，利用古典概型概率公式即可求解.
【小问1详解】
解：由频率分布表可得，，，
则频率分布直方图为：
【小问2详解】
解：根据频率分布表可得，每天步数不少于1万步的天数为天，
故此人每天步数不少于1万步的概率为.
24. 在直三棱柱中，，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由，根据线面垂直的判定定理得证；
（2）根据（1）可知棱锥高，利用体积公式求解可.
【小问1详解】
，为中点，
,
在直三棱锥中，平面, 平面.
，又,
平面
【小问2详解】
，为中点，
，
由（1）知，四棱锥的高即为，
又，所以，
.
25. 已知函数.
（1）写出的定义域并判断的奇偶性；
（2）证明：在是单调递减；
（3）讨论的实数根的情况.
【答案】（1），偶函数
（2）证明见解析（3）有2个实数根
【解析】
【分析】（1）根据题意可得分母不能为0，即，求解函数的定义域即可，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；
（2）利用定义法证明函数在是单调递减即可.
（3）构造函数，求解函数与函数在区间上的单调性，利用极限的思想可得函数与函数在区间上有一个交点，利用偶函数的性质可得函数与函数共有2个交点，即为方程的根.
【小问1详解】
解：由题可知，所以函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数.
【小问2详解】
解：当时，，
设为区间上的任意的两个值，且，
则，
因为，所以，
故，即，
所以函数在区间上单调递减.
【小问3详解】
解：由（2）得，当时，函数在区间上单调递减，且，当时，，
当时，，
设为区间上任意的两个值，且，
则，
因为，所以，
故，即，
所以函数在区间上单调递减.
且当时，，当时，，
设，则为偶函数，且恒成立，
当时，函数在区间单调递增，且，当时，.
所以函数与函数在区间必有一个交点，
又因为函数与函数均为偶函数，所以函数与函数在区间必有一个交点，
所以函数与函数有2个交点，即方程有2个实数根.
分组
频数
频率
[4，6）
5
0.05
[6，8）
15
0.15
[8，10）
20
0.20
[10，12）
[12，14）
20
0.20
[14，16]
10
0.10
合计
100
1