2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题（解析版）

这是一份2021年吉林省普通高中学业水平考试数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用集合的交运算即可求解.
【详解】集合，，
则.
故选：C
2．函数的定义域是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数的真数部分大于，列出不等式解出即可.
【详解】要使函数有意义需满足，解得，
即函数的定义域为，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域，属于基础题.
3．函数则（ ）
A．0B．-2C．2D．6
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解.
【详解】由，
则.
故选：A
4．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】试题分析：抛一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，正面向上的点数为6的情况只有一种，即可求．解：抛掷一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“正面向上的点数为6”的情况只有一种，故所求概率为,故选D.
【解析】古典概率
点评：本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m:n．属基础题
5．的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式求解即可.
【详解】；
故选：A.
6．已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线平行的斜率关系可得直线的斜率，再结合点斜式即可得解.
【详解】因为与直线平行，所以斜率相等，即；
过点，则由点斜式可知直线方程为，
即直线的方程为，
故选：D.
【点睛】本题考查了直线位置关系与斜率关系，点斜式求直线方程，属于基础题.
7．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【答案】B
【分析】根据向量垂直的坐标表示计算可得结果.
【详解】因为，所以，
所以，即.
故选：B
8．已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
在下列区间中，函数必有零点的区间为（ ）.
A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）
【答案】B
【解析】解：根据零点的概念可知，当x=2,x=3时，函数值出现异号，因此零点在该区间，选B
9．已知直线和圆，则直线和圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小，即可判断.
【详解】圆的圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以直线和圆的位置关系为相交，
故选：A
10．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论．解：由题意，A的底数大于0小于1、C是图象在一、三象限的单调减函数、D是余弦函数，，在（0，+∞）上不单调，B的底数大于1，在（0，+∞）上单调增，故在区间（0，1）上是增函数,故选B
【解析】函数的单调性
点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键．
11．下列命题正确的是( )
A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行
【答案】D
【解析】A错误；平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面；
B错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面；
C错误；与两个相交平面的交线平行的直线也可能在其中一个平面内；
D正确；设故做一平面，则，
又故选D
12．已知一组数据如图所示，则这组数据的中位数是（ ）
A．27.5B．28.5C．27D．28
【答案】A
【分析】将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义计算可得.
【详解】将茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列为：，
所以这组数据的中位数是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：理解茎叶图，掌握中位数的定义是本题的解题关键.
13．若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二次函数的单调性求最值即可.
【详解】由题意得：
令，
则函数的对称轴为：，
又，
所以函数先减后增，
当时，函数取最小值，
则，
所以的最小值是；
故选：C.
14．偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（ ）
A．单调递增，且有最小值B．单调递增，且有最大值
C．单调递减，且有最小值D．单调递减，且有最大值
【答案】A
【分析】根据偶函数图象的特点可知在区间上单调递增，即可得出最值.
【详解】因为是偶函数，在区间上单调递减，
所以函数在区间上单调递增，
所以在区间上最小值为，最大值为，
故选：A
15．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的1/3，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的1/3，横坐标不变
【答案】A
【分析】根据三角函数的伸缩变换可得到答案.
【详解】将图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，即可得
的图象，
故选：A.
二、填空题
16．函数的最小正周期为________．
【答案】
【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可
【详解】解：函数的最小正周期为
故答案为：
【点睛】此题考查余弦型函数的周期，属于基础题.
17．在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的有12人，则该班学生人数是____________
【答案】
【分析】先利用频率分布直方图得到低于60分的学生的频率，再利用即可得出答案.
【详解】由频率分布直方图可得低于60分的学生的频率为：，
则该班学生人数是.
故答案为：.
18．已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为 _________
【答案】
【分析】由扇形的弧长和圆心角可得半径，再由S扇形=计算即可得解.
【详解】由扇形的圆心角为，弧长为，可得扇形半径为.
从而有扇形面积为：.
故答案为.
【点睛】(1)本题主要考查扇形的弧长、圆心角和面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) S扇形=，其中代表弧长, 代表圆的半径，属于基础题.
三、双空题
19．.已知等差数列中，，，则公差________，________.
【答案】2 9
【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】等差数列中，，，
则公差，
所以.
故答案为：2；9
四、解答题
20．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求角的大小.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据余弦定理计算可得结果；
（2）根据正弦定理计算可得结果.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
∵是的内角，∴.
（2）∵，
∴，∴，
∵，∴，
又因为，所以.
【点睛】关键点点睛：在三角形中，根据正弦值求角时，由边的大小关系确定角是解题关键.
21．如图，在正方体中，、分别为､的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）连结，证出，，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得.
（2）连结，证出，再利用线面平行的判定定理即可证明.
【详解】证明：（1）连结，由正方体得，
平面.又平面，
又四边形是正方形，∴，
而，∴平面，
又平面，∴.
（2）连结，由､分别为､
的中点得，且
∴四边形是平行四边形，∴
又平面，平面，∴平面.
22．已知数列满足，且．
（1）求及．
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）2，；（2）.
【分析】（1）根据题意知数列是等比数列，代入公式得到答案.
（2）先把表示出来，利用分组求和法得到答案.
【详解】解：（1）因为，所以数列是以首项为2，公比为3的等比数列，所以数列；
（2）
=
=.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和分组求和法，是数列的常考题型.
23．已知圆，直线.
（1）当为何值时，直线与圆相切.
（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）将圆的方程化为标准形式，得出圆的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数的值；
（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数的值，进而可得出直线的方程.
【详解】（1）圆的标准方程为，圆心的坐标为，半径长为，
当直线与圆相切时，则，解得；
（2）由题意知，圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，整理得，解得或.
因此，直线的方程为或.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题.
24．已知函数满足：① ；② .
（1）求，的值；
（2）若对任意的实数，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）把条件①；②，代入到中求出即可；
（2）不等式恒成立，设
则分，两种情况讨论，只需即可.
【详解】（1）∵ ，
满足，
可得，
即，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴ ，；
（2）由（1）得，
设，
①当，
即时，
，
故只需，
解得，与不合，舍去；
②当，
即时，，
故只需，
解得，又，
故
综上，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.
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