2022届福建省高三1月学业水平合格性考试数学试题（解析版）

这是一份2022届福建省高三1月学业水平合格性考试数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据并集直接计算即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：D
2．下列几何体中，其俯视图可以为圆的是（ ）
A．长方体B．圆柱C．三棱锥D．正方体
【答案】B
【分析】根据各选项几何体的结构特征，判断俯视图的形状即可.
【详解】A：长方体的俯视图为矩形，不合题设；
B：圆柱的俯视图是圆，符合题设；
C：三棱锥的俯视图为三角形，不合题设；
D：正方体的俯视图为正方形，不合题设.
故选：B.
3．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值求解.
【详解】由特殊角的三角函数值知，
故选：D
4．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量坐标的线性运算求的坐标.
【详解】由题设，.
故选：C.
5．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数定义域的求法，求得的定义域.
【详解】，
所以的定义域为.
故选：B
6．根据防疫要求，需从名男医生和名女医生中任选名参加社区防控服务，则选中的名都是男医生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用列举法即可求解.
【详解】解：将名男医生记为，，名女医生记为
从名男医生和名女医生中任选名参加社区防控服务，所有可能情况有：
，，共种
选中的名都是男医生的情况为：，共种
所以选中的名都是男医生的概率为：.
故选：B.
7．设，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】作出可行域，利用直线截距的几何意义，数形结合求解.
【详解】如图，作出可行域，
由可得，
由图可知当直线过点A时，有最大值，
由得,
所以，
故选：C
8．如图，在边长为2的正方形中随机撒1000粒豆子，有250粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据几何槪型的概率公式即可得到结论．
【详解】解：正方形的面积，设阴影部分的面积为S，
随机撒1000粒豆子，有250粒落到阴影部分，
由几何槪型的概率公式进行估计得，解得，
故选：B．
9．已知直线 ， ，若，则实数 （ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据两条直线的斜率相等可得结果.
【详解】因为直线 ， ，且，
所以，
故选：D.
10．不等式 的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】，
解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
11．已知， ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由同角三角函数的平方关系计算即可得出结果.
【详解】因为， ，,,
所以.
故选：D
12．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象.
【详解】由，排除B、D，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C.
故选：A.
13．函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用辅助角公式化简整理，再利用三角函数的值域求解最小值即可.
【详解】解：由，
又函数的值域为，
则函数的最小值为.
故选：A.
14．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性判断指数式的大小关系.
【详解】由题设，，，，又在定义域上递增，
∴.
故选：C.
15．关于函数有下列四个结论：
①的图象关于原点对称；
②在区间上单调递增；
③的一个周期为；
④在是有四个零点
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】A
【分析】对于①，由函数的定义域和，可得函数是奇函数，再由奇函数的图象性质可判断；
对于②，当时，，化简，根据正弦函数的性质可判断；
对于③，由，以及函数的周期性的定义可判断；
对于④，令，解得，由此可判断.
【详解】解：对于①，函数的定义域为R，且，
所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故①正确；
对于②，当时，，，所以，
又因为在上单调递增，所以在上单调递增，故②正确；
对于③，因为，所以不是函数的周期，故③不正确；
对于④，在时，令，即，解得，共3个零点，故④不正确；
综上得正确命题的编号为：①②，
故选：A.
二、填空题
16．若，则___________.
【答案】4
【分析】根据解析式，令求解即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：4
17．已知，满足，，，则与的夹角的余弦值为__________.
【答案】
【分析】直接利用平面向量的夹角公式求解即可.
【详解】解：设与的夹角为，因为，，，所以，
所以与的夹角的余弦值为．
故答案为：.
18．在等差数列中，，则_________.
【答案】2
【分析】由等差数列性质，得，问题得解.
【详解】是等差数列，，
，
解得.
故答案为：2.
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则___________.
【答案】
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】由可得,
由正弦定理可得，
解得，
故答案为：
20．要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器，已知该容器的底面每平方米的造价是元，侧面每平方米的造价是元，则该容器的最低总造价为___________元.
【答案】
【分析】先设容器底面长为，再将总造价用表示出来，最后结合基本不等式即可求解.
【详解】解：由题知，长方体容器的容积为，高为
所以长方体容器的底面积为
设该容器底面长为，则宽为
该容器的个侧面面积为：，，，
设总造价为元，则
即元，当且仅当，即时，取等号.
所以该容器的最低总造价为元.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题首先要设出长方体底面的长宽，然后将长方体除上底面外其他面的面积表示出来，再由总造价等于总面积乘以每平方米的造价将总造价表示出来，最后结合基本不等式进行求解.
三、解答题
21．已知等比数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得首项和公比，由此求得的通项公式.
（2）利用列方程，化简求得的值.
(1)
设等比数列首项为，公比为，
，
所以.
(2)
.
22．已知圆C：．
(1)求圆心C的坐标及半径长；
(2)求直线：被圆C所截得的弦AB的长．
【答案】(1)圆心，半径.
(2)
【分析】（1）根据圆的标准方程可求得圆心与半径；
（2）由点到直线的距离公式可求得圆心到直线l的距离，再由勾股定理可得弦长.
(1)
解：因为圆C：，所以圆心，半径；
(2)
解：圆心到直线：的距离为，
所以直线：被圆C所截得的弦AB的长为，
所以直线：被圆C所截得的弦AB的长为.
23．如图，在三棱锥中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】(1)
因为△ABC和△PBC为正三角形，D为BC的中点，
所以,
又,
所以平面
(2)
因为△ABC和△PBC为正三角形，且，
所以,
又，
所以正三角形的面积为，
所以.
24．有人收集了5年中某城市的居民年收入（即此城市有居民在一年内的收入总和）与某种商品的销售额的有关数据：
(1)求，；
(2)求y关于x的回归方程；
(3)如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少?
附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)万元.
【分析】（1）根据表格数据及平均值的求法求，；
（2）由题设最小二乘估计公式求出参数，即可写出回归方程.
（3）由（2）所得回归方程估计时的值即可.
(1)
由表格数据，，.
(2)
由题设，，，故，
由（1）知：，
∴y关于x的回归方程为.
(3)
由（2）知：时，万元.
25．已知四个函数：， ，，.
(1)从上四个数选择一个函数，判断其奇偶性，并加以证明；
(2)以上四个中，是否满足其图象与直线有且仅有一个公共点的函数?若存在，写出满足条件的一个函数，并证明；若不存在，说明理由.
【答案】(1)答案见解析；
(2)存在满足条件，理由见解析.
【分析】（1）由函数奇偶性的定义判断所选函数的奇偶性即可.
（2）根据各函数的解析式，结合单调性、值域判断它们与的交点情况即可判断是否存在满足条件的函数.
(1)
且定义域为，为奇函数；
且定义域为R，为奇函数；
且定义域为R，为奇函数；
且定义域为R，为偶函数.
(2)
对于：当时，在上递减，上递增且最小值，而当x < 0时函数值恒为负数，故其与有两个公共点，不合题设；
对于：，易知在R上递增且值域为，故其与没有公共点，不合题设；
对于：根据对数型复合函数的单调性知：在R上递增且值域为，故其与有且仅有一个公共点，符合题设；
对于：，故其与没有公共点，不合题设；
综上，存在符合要求的函数.
第年
1
2
3
4
5
年收入/亿元
32
33
34
35
36
商品销售额/万元
25
30
34
37
39