2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题（解析版）

这是一份2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，2，3，，，，，，则（ ）
A．，B．C．D．，2，3，
【答案】B
【解析】先计算得到，再计算得到答案.
【详解】集合，2，3，，，，，，则，
故选：
【点睛】本题考查了交集和补集的运算，属于简单题.
2．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出大小关系.
【详解】，.
故选：B.
3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有1个白球；都是红球
【答案】C
【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念以及二者之间关系，一一判断各选项，可得答案.
【详解】A：“至少有1个白球”和“都是白球”，可同时发生，故它们不是互斥事件,A错误；
B：“至少有1个白球”和“至少有1个红球”，因为1个白球1个红球时两种情况同时发生，故它们不是互斥事件，B错误；
C：“恰有1个白球”和“恰有2个白球”，不可能同时发生，所以它们是互斥事件；
当2个球都是红球时它们都不发生，所以它们不是对立事件，C正确；
D：“至少有1个白球”和“都是红球”，不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件，D错误，
故选：C
4．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】A
【解析】根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.
【详解】选项：由线面垂直的性质定理可知正确；
选项：由线面垂直判定定理知，需垂直于内两条相交直线才能说明，错误；
选项：若，则平行关系不成立，错误；
选项：的位置关系可能是平行或异面，错误.
故选：
【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.
5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】方法一：不妨设，解即可得出答案.
方法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.
方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.
【详解】［方法一］：特殊函数法
由题意，不妨设，因为，
所以，化简得．
故选：D.
［方法二］：【最优解】特殊值法
假设可取，则有，
又因为，所以与矛盾，
故不是不等式的解，于是排除A、B、C．
故选：D.
［方法三］：直接法
根据题意，为奇函数，若，则，
因为在单调递减，且，
所以，即有：，
解可得：.
故选：D.
【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；
方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；
方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法．
6．如果不等式成立的充分不必要条件是；则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解绝对值不等式，得到，结合题干条件得到是的真子集，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】，解得：，
所以成立的充分不必要条件是，
故是的真子集，
所以或，
解得：，
故实数的取值范围是.
故选：B
7．函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.
【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，
故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
8．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，那么下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称
C．函数为奇函数D．函数的图象关于直线对称
【答案】C
【分析】根据三角函数平移变换和诱导公式可化简得到；由正弦型函数最小正周期、对称轴和对称中心、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.
【详解】由题意得：；
对于A，的最小正周期，A错误；
对于B，当时，，不是的对称中心，B错误；
对于C，，为奇函数，C正确；
对于D，当时，，不是的对称轴，D错误.
故选：C.
9．已知平面内一点P及△ABC，若，则P与△ABC的位置关系是（ ）
A．P在△ABC外部B．P在线段AB上
C．P在线段AC上D．P在线段BC上
【答案】B
【分析】运用向量的加减法运算进行化简，再结合共线定理判定出点位置.
【详解】因为，
所以
所以点P在线段AB上
故选：B
10．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，找去过与平面平行的平面，则可得到所在的平面，进而得到答案.
【详解】由题意，取的中点，的中点，连接，，，，，
作图如下：
在正方体中，易知，，，
则共面，平面，平面，
平面，同理可得：平面，
，平面平面，
当平面时，平面，
正方体的棱长为，
在中，，解得，同理，
在中，，解得，
则中边上的高，
即，
故选：D.
二、填空题
11．已知是虚数单位，复数______.
【答案】
【分析】根据复数的四则运算法则，直接计算即可.
【详解】
故答案为：
12．已知，且，则______.
【答案】##
【分析】利用二倍角余弦公式和同角三角函数平方关系可将所求式子化为，由正余弦齐次式的求法可求得结果.
【详解】.
故答案为：.
13．甲､乙､丙三位同学站成一排照相，则甲丙相邻的概率为______.
【答案】
【分析】分别计算出甲､乙､丙三位同学站成一排照相的基本事件和甲丙相邻包含的基本事件，即可求出所求概率
【详解】甲､乙､丙三位同学站成一排照相，基本事件总数为：，
甲丙相邻包含的基本事件总数为：
则所求概率为：
故答案为：
14．已知，则的最小值为___________
【答案】
【分析】根据基本不等式，结合代数式的恒等变形进行求解即可.
【详解】解：因为a>0，b>0，且4a+b=2，所以有：
，当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：.
15．已知函数，若，则________．
【答案】-7
【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.
详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
16．若不等式对一切恒成立，则的最小值是__________．
【答案】.
【分析】分离参数，将问题转化为求函数最大值的问题，则问题得解.
【详解】不等式对一切成立，
等价于对于一切成立．
设，则．
因为函数在区间上是增函数，
所以，所以，所以的最小值为．
故答案为：.
【点睛】本题考查由一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.
17．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_________
【答案】
【详解】由题可得，因为半径为的半圆卷成一个圆锥，
所以该圆锥的底面半径满足，解得.
所以圆锥的高为.
所以该圆锥的体积为=.
故答案为：
18．如图是甲､乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，下列说法正确的是______.
①若甲､乙射击成绩的平均数分别为，则
②若甲､乙射击成绩的方差分别为，则
③乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数
④乙比甲的射击成绩稳定
【答案】③④
【分析】从图中得到甲、乙的射击成绩进而求出其平均数、中位数，可以判断①错误，③正确；
甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，可以判断②错误、④正确.
【详解】由图可知甲的射击成绩为9、10、6、7、9、8，乙的射击成绩为6、7、5、5、7、7.
甲､乙射击成绩的平均数分别，
则，
，
所以，所以①错误；
从甲、乙射击成绩看，甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，
即，所以②错误；
甲的射击成绩从小到大排序为6、7、8、9、9、10，则中位数为8.5，乙的射击成绩从小到大排序为5、5、6、7、7、7，则中位数为6.5，所以乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数，所以③正确；
因为乙的成绩比较集中，所以乙比甲的射击成绩稳定，所以④正确.
故答案为：③④
三、解答题
19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；
（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.
【答案】（1）77.5；（2）(人).
【分析】（1）根据分位数的概念，结合题给频率分布直方图计算得出结果即可；
（2）根据频率分布直方图计算出样本中分数不小于70的人数，进而计算出样本中男生及女生的人数，最后求出总体中女生的人数.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，
从而有：样本中分数小于70的频率为，
又由频率分布直方图可得：样本中分数小于80的频率为0.8，
所以样本数据的70%分位数必定位于之间.
计算为：
所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.
（2）由题知，样本中分数不小于70的学生人数为，
从而有，样本中分数不小于70的男生人数为，
进而得，样本中的男生人数为，女生人数为，
所以总体中女生人数为(人).
20．在中，内角的对面分别为，且满足.
（1）求；
（2）若，求及的面积.
【答案】（1）；（2）8，.
【分析】（1）首先利用正弦定理得到，从而得到，即可得到答案.
（2）首先利用余弦定理得到，再利用正弦定理求解面积即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
因为，所以，且易知
所以，又，
所以.
（2）由（1）知，所以在中，由余弦定理得，
，
即，
因为，解得，
所以.
21．已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期：
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2，．
【详解】（Ⅰ）因为
，
故最小正周期为
（Ⅱ）因为，所以．
于是，当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.
22．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【分析】（1）设与交于点，接，可得，即可证明平面；
（2）由底面是菱形，得，又底面，可得，证明平面，利用线面垂直的性质可证．
【详解】证明：（1）设与交于点，接，
底面是菱形，
为中点，
又因为是的中点，
，
面，平面
平面．
（2）底面是菱形，
，
底面，底面，
，且，平面．
平面．
平面，
．
23．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）
(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)；
(2)2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元．
【分析】（1）根据给定条件，分段求出的表达式即可作答.
（2）利用（1）的结论，结合二次函数、均值不等式分段求出最大值，再比较作答.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以.
（2）当时，，当时，，
当时，，
当且仅当，即时取“”，显然，
所以，当，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元．