2023年1月广东省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟（三）数学试题（解析版）

这是一份2023年1月广东省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟（三）数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知， 设集合， ，则（ ）
A．​B．​
C． ​D．​
【答案】D
【分析】先求出全集，从而判断四个选项的正误，可得答案.
【详解】由题意，,
得,
故，A错误；,故B错误，
，故属于集合间符号使用不正确， C错误，
,D正确，
故选：D
2．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对A，B，C，D选项作差与0比较即可得出答案.
【详解】对于A，因为，故，即，故A错误；
对于B，，无法判断，故B错误；
对于C，因为，，故C正确；
对于D，因为，故，即，故D错误．
故选：C．
3．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题从存在量词的否定为全称量词出发即可得出答案.
【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“"改成量词“”,再将结论否定，该命题的否定是“”.
故选：B.
4．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【分析】当两函数的定义域相同，对应关系相同时，两个函数是同一个函数，由此分析判断即可
【详解】对于A，因为的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以A错误，
对于B，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以B错误，
对于C，两个函数的定义域为，因为 ，所以对应关系也相同，所以这两个函数是同一个函数，所以C正确，
对于D，两个函数的对应关系不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以D错误，
故选：C
5．设a＞0，b＞0，若，则（ ）
A．a＜bB．a＞bC．2a＞3bD．3a＞4b
【答案】B
【分析】由题可得，构造函数，利用函数的单调性即可求解.
【详解】解：因为a＞0，所以，所以，
令函数，因为函数在上单调递增且b＞0，a>0，所以a＞b．
故选：B．
6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A．－12B．12C．9D．－9
【答案】B
【分析】先计算出，然后利用函数的奇偶性即可完成.
【详解】，因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
故选：B.
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算以及根式的含义，直接可求得答案.
【详解】因为，故，
故选：D
8．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用排除法，代入特殊点计算判断.
【详解】当时，，，
所以，排除C，D，
当时，，，
所以，排除B.
故选：A
9．已知角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】由题意有，解得或，
由于，则，所以满足题意.
故选：A
10．下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性的定义判断各选项中函数的奇偶性即可.
【详解】由各选项中的函数解析式知：它们的定义域为，
A，，非奇非偶函数，不合要求；
B，，偶函数，不合要求；
C，，偶函数，不合要求；
D，，奇函数.
故选：D.
11．（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解.
【详解】；
；
原式
.
故选：C
12．在△ABC中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算即可得出答案.
【详解】解：.
故选：D.
13．若复数满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
【答案】B
【分析】根据复数模的计算公式，可直接求得答案.
【详解】因为复数满足，故，
故选：B
14．在三棱锥中，点E，F分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．平面D．不能确定
【答案】A
【分析】由线面平行的判定定理判断
【详解】因为，所以．
又平面平面，所以平面．
故选：A
15．已知样本的平均数是9，方差是2，则（ ）
A．41B．71C．55D．45
【答案】B
【分析】根据平均数与方差的定义，列出方程，求出与的值，即可得出的值.
【详解】的平均数是9，
，
即①；
又方差是2，
，
即②；
由①②联立，
解得：或；
故选：B.
二、填空题
16．已知向量，满足，，则___________.
【答案】
【分析】先根据求出，故求出，求出
【详解】，所以，
因为，所以，所以，
，所以
故答案为：
17．在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则异面直线BN与AM所成角的余弦值为______.
【答案】
【分析】根据异面直线夹角得概念结合图形分析可得或其补角为异面直线BN与AM所成的角，利用勾股定理可得，，结合余弦定理运算求解．
【详解】设正方体的棱长为a，如图，连接，，
易知，所以或其补角为异面直线BN与AM所成的角.
则，，，
所以.
故答案为：．
18．在中，若，，，则___________．
【答案】
【分析】已知三角形三边可利用余弦定理求夹角.
【详解】由余弦定理得，所以.
故答案为：.
19．某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x(x∈N，x≤40)本，则总费用与x的函数关系式为____(代金券相当于等价金额).
【答案】，
【分析】由题意，将购买x本书，按0＜x＜10、10≤x＜20、20≤x≤40有三种不同的购书方案写出对应的函数模型，最后将它们整合为分段函数的形式即可
【详解】当0＜x＜10时，＝40x
当10≤x＜20时，＝35x－10
当20≤x≤40时，＝30x－20
综上，有，
故答案为：，
【点睛】本题考查了函数的应用，根据实际问题由不同的购买方案得到不同的函数模型，最后整合为分段函数形式
三、解答题
20．如图，在平面四边形中，，，，.
(1)求的值；
(2)求边的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）△中应用正弦定理求出，根据三角形内角性质即可得结果.
（2）△中应用余弦定理求即可.
【详解】（1）由题设，，故，
又，则.
（2）由，，故，
所以，故.
21．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？
【答案】
【分析】由即可解出．
【详解】令，所以，即燃料质量是火箭质量的倍．
22．在三棱柱中，，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若侧面为菱形，求证：.
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析
【分析】（1）连接，交于点，连接，由三角形中位线定理可得,再由线面平行的判定定理可得结论；
（2）连接，则可得，由已知条件可得平面，则有，由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质可得结论
【详解】（1）证明：连接，交于点，连接，
因为四边形为矩形，所以为，的中点，
因为点是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）证明：连接，
因为四边形为菱形，所以，
因为，，,
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以