2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（七）数学试题（解析版）

这是一份2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（七）数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，那么集合等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题首先可根据题意确定集合以及集合，然后通过并集的相关运算即可得出结果.
【详解】因为，即，所以集合，
因为，即，所以集合，
则，
故选：B.
【点睛】本题考查集合的相关运算，主要考查并集的相关运算，能否明确集合中包含的元素是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.
2．函数的最小正周期为（ ）
A．B．πC．2πD．4π
【答案】D
【分析】利用余弦型函数的周期公式进行求解.
【详解】∵，
∴最小正周期．故A，B，C错误.
故选：D.
3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B．C．y=|x|D．
【答案】D
【分析】判断每个函数的奇偶性与单调性得答案.
【详解】，都是奇函数，排除A，B.
，都是偶函数，在上递增，在递减，
故选：D．
4．已知是实数，设是虚数单位，若，则复数是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】化简已知得到，解方程组即得解.
【详解】因为,所以,所以，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．已知函数，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据分段函数的定义计算．
【详解】∵，∴．
故选：C．
6．某工厂抽取件产品测其重量（单位：）．其中每件产品的重量范围是．数据的分组依次为、、、，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用频率分布直方图可计算得出重量在内的产品件数.
【详解】由图可知，重量在内的产品件数为.
故选：B.
7．（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式以及两角差的正弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】因为，
所以，
.
故选：C.
8．在平行四边形ABCD中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的加减法法则可求出结果.
【详解】在平行四边形中，
．
故选：B．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若则 B．若 ，则
C．若则 D．若，则
【答案】A
【分析】利用函数的单调性判断每个不等式是否正确.
【详解】由可得，因此A正确；
由可得 ，因此B不正确；
，与大小关系不确定，因此C不正确；
因不知的正负，由无法得出，因此D不正确．
故选：A.
10．已知实数，满足，其中，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】A
【分析】利用基本不等式中“1的代换”即可求出最小值.
【详解】实数，满足，其中，
∴，
当且仅当，即时取等号.
∴的最小值是4.所以A选项是正确的.
故选：A
11．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
【答案】C
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断.
【详解】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，
在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；
在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．
故选：C．
12．甲乙两人进行射击比赛，每人射击5次，射击成绩如下表：
根据上述数据，下列判断正确的是（ ）A．甲、乙的平均成绩相同，甲的成绩更稳定
B．甲、乙的平均成绩相同，乙的成绩更稳定
C．甲、乙的平均成绩不同，甲的成绩更稳定
D．甲、乙的平均成绩不同，乙的成绩更稳定
【答案】A
【分析】根据平均数和数据波动情况进行判断.
【详解】解析：甲的平均成绩和乙的平均成绩相同都为8，从数据看甲的成绩更稳定．
13．3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．
【详解】位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有种情况
周六、周日都有同学参加公益活动，共有种情况
所求概率为
本题正确选项：
【点睛】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.
14．如图，在正方体中，下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用异面直线所成角的定义可判断ABD选项，利用线面垂直的性质定理可判断D选项.
【详解】对于A选项，，而，则与所成的角为，
故与不垂直，A错；
对于B选项，连接，因为平面，平面，，
所以，为锐角，因为，故与所成角不是直角，B错；
对于C选项，连接、，
因为且，故四边形为平行四边形，
故、所成角为或其补角，
设正方体的棱长为，则，
即是等边三角形，故，C错；
对于D选项，四边形为正方形，则，
平面，平面，，
，、平面，平面，
平面，，D对.
故选：D.
15．已知向量，不共线，若，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算、向量的共线的充要条件进行求解判断.
【详解】对于A，因为，，
若A，B，C三点共线，则存在实数使得，
则，无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；
对于B，∵，
∴，又∵A是公共点，∴A，B，D三点共线，
故B正确；
对于C，因为，，所以，
若A，C，D三点共线，则存在实数使得，又，
所以，无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；
对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数使得，
又，，所以，无解，
所以B，C，D三点不共线，故D错误；
故选：B.
二、填空题
16．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为__________．
【答案】8
【详解】由分层抽样的概念可得：抽到的女运动员人数为人.
17．已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____．
【答案】
【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．
【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,
∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．
故答案为2π．
【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.
18．已知函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是__________
【答案】
【解析】由题意可得函数在区间上单调递增，再根据函数在上有零点，可得，由此求得a的范围．
【详解】函数的图象的对称轴方程为，故函数在区间上单调递增，
再根据函数在上有零点，可得，解得−2故答案为:.
【点睛】本题主要求函数的零点的判定定理，二次函数的性质，属于基础题．
19．已知、、为圆上的三点，若，则与夹角的大小为________.
【答案】
【分析】作出图形，连接、，分析四边形以及的形状，可得出结果.
【详解】连接、，如下图所示：
因为，则四边形为平行四边形，
因为，则平行四边形为菱形，
因为，故为等边三角形，所以，，
故，即与夹角的大小为.
故答案为：.
三、解答题
20．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，、分别是、的中点．证明：平面．
【答案】证明见解析
【分析】取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立.
【详解】证明：取的中点，连接、，
因为、分别是、的中点，所以且．
因为四边形为平行四边形，则且，
为的中点，则且，且，
所以，四边形为平行四边形，故，
平面，平面，平面.
21．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝6，csB＝ ．
（1）若sinA＝，求b的值；
（2）若c＝2，求b的值及△ABC的面积S．
【答案】（1） ；（2）b＝4，4.
【解析】（1）由csB＝利用同角平方关系求出sinB，然后结合正弦定理求解.
（2）由a＝6，csB＝， c＝2，利用余弦定理及三角形的面积公式求解．
【详解】（1）因为csB＝，所以sinB＝，
由正弦定理得：，
所以，
（2）由余弦定理得：csB＝＝，
解得b＝4
所以．
【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
22．已知函数为偶函数．
(1)求的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义化简可得实数的值；
（2）由基本不等式结合对数函数的单调性可求得函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数为偶函数，则，
即，
所以，
，
.
（2）解：，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故.
甲命中的环数
8
8
9
8
7
乙命中的环数
7
9
10
8
6