2023年上海市高中学业水平合格性考试考前模拟（四）数学试题（解析版）

这是一份2023年上海市高中学业水平合格性考试考前模拟（四）数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，，则_______
【答案】##########
【分析】求出集合，计算即可.
【详解】由得，
解得，
所以，
又，
所以，
故答案为：
2．已知复数，则z的虚部为________
【答案】##-0.5
【分析】由已知运用复数的四则运算化简，根据虚部的定义，即可求解.
【详解】，故虚部为.
故答案为：
3．已知角的终边经过点，则___________.
【答案】
【分析】根据正切函数定义计算
【详解】由题意．
故答案为：．
4．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则的值为________.
【答案】172
【分析】根据百分位数的意义求解.
【详解】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，
本题第90百分位数是173，所以，
故答案为:172
【点睛】本题考查样本数据的第多少百分位数的概念.
5．已知向量，，若，则实数_______.
【答案】5
【分析】利用向量的加法求得的坐标，再根据，利用数量积运算求解.
【详解】因为向量，，
所以，
因为，
所以，
解得，
故答案为：5
6．已知，，且，则的最大值为______．
【答案】
【分析】利用基本不等式即可得到答案.
【详解】因为，所以，解得，当且仅当，时，等号成立．
故答案为：.
7．函数，则__________．
【答案】1
【分析】根据分段函数的解析式，结合所求函数值对应自变量所在的定义域范围选取解析式求值即可.
【详解】∵，
∴，即，
∵，
∴，即．
故答案为：1．
8．的零点的个数为________．
【答案】1
【分析】的零点的个数即即且，从而得出答案.
【详解】的零点的个数即方程的解的个数，
即且；
解得，；
故的零点的个数为1；
故答案为：1．
【点睛】本题考查函数的零点个数的求法，属于基础题.
9．已知、是方程的两根，并且、，则的值是______．
【答案】
【分析】由题可得，，根据两角和的正切公式即可求出.
【详解】、是方程的两根，并且、，
∴，，．
∴、均大于零，故、，∴．
∵，∴，
故答案为：．
10．在中，已知，若，则的面积为______．
【答案】
【分析】先由求出，然后再利用三角形的面积公式可求得结果
【详解】解：因为，，
所以，得，
所以，
故答案为：
11．已知，，如果与的夹角是钝角，则的取值范围是___________
【答案】
【解析】与的夹角是钝角,则，根据向量夹角公式列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】设两个向量的夹角为，依题意可知为钝角，
则，即，且
由得或，
由于且，所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根据向量夹角求参数，注意利用时，要排除共线反向情况，属于中档题.
12．函数f（x）＝ax+1+2021（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点_________．
【答案】
【分析】令，结合即可求出结果．
【详解】解：令得，，此时，
所以函数的图象恒过定点，
故答案为：．
二、单选题
13．某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一人､高二人､高三人中，抽取人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是( )
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】B
【分析】结合已知条件首先求出三个年级的总人数，然后利用样本容量分别乘以各个年级的抽样比即可求解.
【详解】由题意可知，三个年级共有(人)，
则高一抽取的人数为，
高二抽取的人数为，
高三抽取的人数为.
故选：B.
14．下列说法正确的是（ ）
A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据波动的大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定
【答案】B
【分析】根据平均数，极差与方差的意义判断各选项即可.
【详解】对A，在两组数据中，平均数与极差没有必然联系，所以A错误；
对B，根据平均数与方差的性质可知B正确；
对C，根据方差的公式可得，求和后还需再求平均数；
对D，方差大的表示射击水平不稳定，
故选：B.
15．已知两个单位向量与的夹角为，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】用定义法，分充分性和必要性分别讨论即可.
【详解】充分性：若,则由、是单位向量可知，即充分性得证；
必要性：若,则由、是单位向量可知，因为,所以,必要性得证.
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：A
16．若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合不等式的性质确定正确选项.
【详解】由<0，得b∵a+b<0，ab>0，∴a+b故选：C
17．在同一个坐标系下，函数与函数的图象都正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性判断函数图象．
【详解】解：指数函数是增函数，
对数函数是减函数，
故选：A.
18．已知，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合已知条件，对两边同时平方求出，然后对平方求值，结合的范围即可求解.
【详解】∵，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即.
故选：B.
19．在中，，则一定是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】C
【分析】利用化简可得，即可判断.
【详解】，
，即，
，
，即，
所以一定是等腰三角形.
故选：C.
20．若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的最小正周期为，可得，令，分析即得解
【详解】由题意，函数的最小正周期为，
故
即
令
即
令，可得，故A正确；
BCD选项中，不存在与之对应，故错误
故选：A
21．对任意，，，下列结论不成立的是（ ）
A．当m，时，有
B．当，时，若，则且
C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且
D． 的必要不充分条件是
【答案】B
【分析】选项A运用复数乘法运算律即可得，选项B举反例即可说明；选项C共轭复数的模，利用必要不充分条件判断选项D即可.
【详解】由复数乘法的运算律知，A正确；
取，；，满足，但且，B错误；
令
则，C正确；
由能推出，但推不出，
例如,，但是
因此的必要不充分条件是，D正确.
故选：B.
22．已知，向量与的夹角为，则（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知先求出，然后根据，代值即可求解.
【详解】∵，向量与的夹角为
∴
∴
故选：D.
23．如图所示，在正方体中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【答案】B
【分析】连接，可得为异面直线与所成的角，利用正方体的性质结合条件即得.
【详解】连接，，分别是，的中点，
，又由正方体的性质可知，
故就是异面直线与所成的角或所成角的补角
连接，由题可知为正三角形，即
故与所成的角为60°．
故选：B.
24．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（ ）
A．梯形B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定
【答案】B
【分析】根据长方体的性质，结合面面平行的性质有，即知的形状.
【详解】由长方体的性质：各对面平行，易知，
∴为平行四边形.
故选：B
25．若函数是奇函数，且在上是增函数，又，则解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.
【详解】因为函数是奇函数，所以有，
因为奇函数在上是增函数，所以该函数在上也是增函数，
当时，由，
当时，由，
所以不等式的解集为
故选：C
26．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数型函数和一次函数的单调性，结合函数单调性的性质进行求解即可.
【详解】因为该函数为增函数，
所以，
故选：A
三、解答题
27．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表：
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数.
【答案】(1)，，频率分布直方图如下
(2)平均数为95，中位数为87.5
【分析】（1）可得空气质量指数在的频数和频率，即可求出，进而求得，则可得出频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图直接计算即可.
【详解】（1）由图可得空气质量指数在的有20天，频率为，所以，
所以，
则可得频率分布直方图如下：
（2）由频率分布直方图可得平均数为，
因为的频率，的频率，
所以中位数在内，设为，
则，解得.
28．已知是定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2)单调递减函数，证明见解析；(3).
【分析】(1)根据函数是上的奇函数，可知 ，把代入，即可得到结果；
(2)利用减函数的定义即可证明．
(3)根据奇函数的性质，可得成立，等价于成立，再根据在上是减函数，可得，由此即可求出结果．
【详解】(1)因为是奇函数，所以，解得，
(2)证明：由(1)可得： ．
设 ，∴，
则，
∴．
∴在上是减函数．
(3)∵函数是奇函数．
∴成立，等价于成立，
∵在上是减函数，∴，
所以.
【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，定义法证明函数的单调性，以及利用函数的单调性和奇偶性求参数的值，属于函数性质的应用；属于基础题．
空气质量指数（）
[0，50]
(50，100]
(100.150]
(150.200]
(200.250]
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
20
40
m
10
5