甘肃省2021年高中学业水平考试模拟考试数学试题4 解析版

这是一份甘肃省2021年高中学业水平考试模拟考试数学试题4 解析版，共12页。试卷主要包含了函数y＝1＋eq \f的零点是，直线x－y＝0的倾斜角为等内容，欢迎下载使用。

单项选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分。
1．函数y＝1＋eq \f(1,x)的零点是( )
A．(－1,0) B．－1
C．1 D．0
2．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若f(f(eq \f(5,6)))＝4，则b＝( )
A．1 B.eq \f(7,8)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,2)
3．直线x－y＝0的倾斜角为( )
A．45° B．60° C．90° D．135°
4．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )
A．球体
B．圆柱
C．圆台
D．两个共底面的圆锥组成的组合体
5．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于( )
A． eq \r(13) B． eq \r(14) C．2 eq \r(3) D．－ eq \r(13)
6.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为 ( )
A.=1.23x+0.08B.=1.23x+5
C.=1.23x+4D.=0.08x+1.23
7．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．定义“符号函数”sgn(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0,0，x＝0,－1，x<0))，则不等式(x＋1)sgn(x)>2的解集为( )
A．{x|－3C．{x|x<－3或x>1} D．{x|x<－1或x>2}
9．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，满足AB，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
10．函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
11．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
12．已知圆M：x2＋y2＝2与圆N(x－1)2＋(y－2)2＝3，那么两圆的位置关系是( )
A.内切 B．相交 C．外切 D．外离
13．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为 eq \f(1,3)，则m，n的值分别为( )
A．4和3 B．－4和3
C．－4和－3 D．4和－3
14．已知等边△ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是( )
A．y＝－ eq \r(3)x B．y＝－ eq \r(3)(x－4)
C．y＝ eq \r(3)(x－4) D．y＝ eq \r(3)(x＋4)
15．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一个平面
16．棱锥被平行于底面的平面所截， 若截面面积与底面面积之比为1∶2, 则此棱锥的高被分成的两段之比为( )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶( eq \r(2)＋1) D．1∶( eq \r(2)－1)
17．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为( )
18．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC 上的高为( )
A．1 B．2 C． eq \r(2) D．2 eq \r(2)
19．已知三棱锥S­ABC的三条侧棱两两垂直， 且SA＝2, SB＝SC＝4, 则该三棱锥的外接球的半径为( )
A．3 B．6 C．36 D．9
20．实数x，y满足x2＋y2－6x－6y＋12＝0，则 eq \f(y,x)的最大值为( )
A. 3 eq \r(2) B. 3＋2 eq \r(2)
C. 2＋ eq \r(2) D. eq \r(6)
填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
21．已知函数f(x)＝3mx－4，若在区间[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是__________．
22．底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面面积为________ cm2.
23．直线l1∥l2，在l1上取2个点，l2上取2个点，由这4个点能确定平面的个数是________.
24．已知函数y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集为__________．
解答题（共3小题，共28分）
25．(本小题满分8分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm，求圆锥的母线长 .
26．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥B1C；
(2)求证：AC1∥平面CDB1.
27．(本小题满分10分)已知直线l经过点P(－2，5)且斜率为－ eq \f(3,4).
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
2021年甘肃省学业水平考试模拟试卷（4）
高中数学 解析版
单项选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分。
1．函数y＝1＋eq \f(1,x)的零点是( )
A．(－1,0) B．－1
C．1 D．0
解析：由1＋eq \f(1,x)＝0，得eq \f(1,x)＝－1，∴x＝－1.
答案：B
2．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若f(f(eq \f(5,6)))＝4，则b＝( )
A．1 B.eq \f(7,8)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,2)
解析：f(f(eq \f(5,6)))＝f(3×eq \f(5,6)－b)＝f(eq \f(5,2)－b)．当eq \f(5,2)－b<1，即b>eq \f(3,2)时，3×(eq \f(5,2)－b)－b＝4，解得b＝eq \f(7,8)(舍)．当eq \f(5,2)－b≥1，即b≤eq \f(3,2)时，2×(eq \f(5,2)－b)＝4，解得b＝eq \f(1,2).故选D.
3．直线x－y＝0的倾斜角为( )
A．45° B．60° C．90° D．135°
A [因为直线的斜率为1，所以tan α＝1，即倾斜角为45°.故选A.]
4．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )
A．球体
B．圆柱
C．圆台
D．两个共底面的圆锥组成的组合体
D [直角三角形的斜边为旋转轴，所得几何体是两个圆锥．]
5．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于( )
A． eq \r(13) B． eq \r(14) C．2 eq \r(3) D．－ eq \r(13)
A [因为点B是A(1，2，3)在yOz坐标平面内的射影，所以B点的坐标是(0，2，3)，所以|OB|＝ eq \r(13).]
6.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为 ( )
A.=1.23x+0.08B.=1.23x+5
C.=1.23x+4D.=0.08x+1.23
【解析】选A.设回归直线方程为=x+，则=1.23，因为回归直线必过样本点的中心，
代入点(4，5)得=0.08.
所以回归直线方程为=1.23x+0.08.
7．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
D [由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.]
8．定义“符号函数”sgn(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0,0，x＝0,－1，x<0))，则不等式(x＋1)sgn(x)>2的解集为( C )
A．{x|－3C．{x|x<－3或x>1} D．{x|x<－1或x>2}
解析：①当x>0时，sgn(x)＝1，则不等式的解集为{x|x>1}；②当x＝0时，sgn(x)＝0，则不等式无解；③当x<0时，sgn(x)＝－1，则不等式的解集为{x|x<－3}．综上，不等式(x＋1)sgn(x)>2的解集为{x|x<－3或x>1}．故选C.
9．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，满足AB，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
解析：如图：
答案：A
10．函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：在同一直角坐标系下作出函数f(x)＝ln x与g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2的图象，如图所示．
由图知f(x)与g(x)的图象的交点个数为2，故选C.
答案：C
11．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：∵x≤0时，f(x)＝2x2－x
∴f(－1)＝2－(－1)＝3.
又f(x)为R上的奇函数，
故f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝－3.
答案：A
12．已知圆M：x2＋y2＝2与圆N(x－1)2＋(y－2)2＝3，那么两圆的位置关系是( )
A.内切 B．相交 C．外切 D．外离
B [∵圆M：x2＋y2＝2的圆心为M(0，0)，半径为r1＝ eq \r(2) ；圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3的圆心为N(1，2)，半径为r2＝ eq \r(3) .
∵MN＝ eq \r(12＋22) ＝ eq \r(5) ，且 eq \r(3) － eq \r(2) < eq \r(5) < eq \r(3) ＋ eq \r(2) ，
∴两圆的位置关系是相交．]
13．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为 eq \f(1,3)，则m，n的值分别为( )
A．4和3 B．－4和3
C．－4和－3 D．4和－3
C [由题意知：－ eq \f(m,n)＝－ eq \f(4,3)，即3m＝4n，且有－ eq \f(1,n)＝ eq \f(1,3)，∴n＝－3，m＝－4.]
14．已知等边△ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是( )
A．y＝－ eq \r(3)x B．y＝－ eq \r(3)(x－4)
C．y＝ eq \r(3)(x－4) D．y＝ eq \r(3)(x＋4)
C [由题意知∠A＝∠B＝60°，故直线BC的倾斜角为60°，∴kBC＝tan 60°＝ eq \r(3)，则BC边所在的直线方程为y＝ eq \r(3)(x－4).]
15．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一个平面
B [若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.]
16．棱锥被平行于底面的平面所截， 若截面面积与底面面积之比为1∶2, 则此棱锥的高被分成的两段之比为( )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶( eq \r(2)＋1) D．1∶( eq \r(2)－1)
D [借助轴截面， 利用相似的性质， 若截面面积与底面面积之比为1∶2, 则对应小棱锥与原棱锥高之比为1∶ eq \r(2)，被截面分成两段之比为1∶( eq \r(2)－1).]
17．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为( )
解析：由题意h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.
答案：B
18．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC 上的高为( )
A．1 B．2 C． eq \r(2) D．2 eq \r(2)
D [∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝ eq \r(2).根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的高为AC＝2A′C′＝2 eq \r(2).故选D.]
19．已知三棱锥S­ABC的三条侧棱两两垂直， 且SA＝2, SB＝SC＝4, 则该三棱锥的外接球的半径为( )
A．3 B．6 C．36 D．9
A [因为三棱锥S­ABC的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S­ABC的三条侧棱为棱的长方体的外接球，长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线，所以外接球的半径为 eq \f(1,2) eq \r(22＋42＋42)＝3.]
20．实数x，y满足x2＋y2－6x－6y＋12＝0，则 eq \f(y,x)的最大值为( )
A. 3 eq \r(2) B. 3＋2 eq \r(2)
C. 2＋ eq \r(2) D. eq \r(6)
B [设 eq \f(y,x)＝k，则y＝kx，代入x2＋y2－6x－6y＋12＝0得(1＋k2)x2－6x－6kx＋12＝0，即(1＋k2)x2－(6＋6k)x＋12＝0. ∴Δ＝[－(6＋6k)]2－4×12×(1＋k2)≥0，∴3－2 eq \r(2)≤k≤3＋2 eq \r(2)，∴ eq \f(y,x)的最大值为3＋2 eq \r(2).]
填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
21．已知函数f(x)＝3mx－4，若在区间[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是__________．
解析：因为函数f(x)在[－2,0]上存在零点x0使f(x0)＝0，且f(x)单调，所以f(－2)·f(0)≤0，所以(－6m－4)×(－4)≤0，解得m≤－eq \f(2,3).所以，实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3))).
答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3)))
22．底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面面积为________ cm2.
16π [圆柱的底面半径为r＝ eq \f(1,2)×4＝2，故S侧＝2π×2×4＝16π.]
23．直线l1∥l2，在l1上取2个点，l2上取2个点，由这4个点能确定平面的个数是________.
1 [因为l1∥l2，所以经过l1，l2有且只有一个平面．]
24．已知函数y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集为__________．
解析：
根据题意画出f(x)大致图象，由图象可知－2＜x＜0或0＜x＜2时，x·f(x)＜0.
答案：(－2,0)∪(0,2)
解答题（共3小题，共28分）
25．(本小题满分8分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm，求圆锥的母线长 .
[解] 如图，设圆锥的母线长为l，圆台上、下底面的半径分别为r、R.
因为 eq \f(l－10,l)＝ eq \f(r,R)，所以 eq \f(l－10,l)＝ eq \f(1,4)，所以l＝ eq \f(40,3) cm.
即圆锥的母线长为 eq \f(40,3) cm.
26．(本小题满分10分)如图，三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥B1C；
(2)求证：AC1∥平面CDB1.
[证明] (1)∵C1C⊥平面ABC，
∴C1C⊥AC.
∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，
∴AC⊥BC.
又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，
而B1C⊂平面BCC1B1，
∴AC⊥B1C.
(2)连接BC1交B1C于点O，连接OD.如图，
∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.
27．(本小题满分10分)已知直线l经过点P(－2，5)且斜率为－ eq \f(3,4).
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
[解] (1)直线l的方程为：y－5＝－ eq \f(3,4)(x＋2)，整理得3x＋4y－14＝0.
(2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，
d＝ eq \f(|3×（－2）＋4×5＋n|,\r(32＋42))＝3，
解得n＝1或－29.
∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.