山东省2018年冬季普通高中学业水平学业水平试数学试题(解析版)

这是一份山东省2018年冬季普通高中学业水平学业水平试数学试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
参考公式：锥体的体积公式：，其中为锥体的底面积，为锥体的高，
球的表面积公式：，其中为球的半径.
一、选择题：本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据并集定义可直接求解得到结果.
【详解】由并集定义得：
故选：
【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
2.函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余弦型函数最小正周期的求法即可求得结果.
【详解】最小正周期
故选：
【点睛】本题考查余弦型函数最小正周期的求解，属于基础题.
3.下列函数中，定义域为的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据初等函数定义域依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】定义域为，错误；定义域为，错误；
定义域为，错误；定义域为，正确.
故选：
【点睛】本题考查初等函数定义域的判断，属于基础题.
4.已知一正方体的棱长为2，则该正方体内切球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体内切球半径为棱长的一半可得球的半径，代入球的表面积公式即可.
【详解】正方体内切球半径为棱长的一半，即
所求内切球的表面积
故选：
【点睛】本题考查正方体内切球表面积的求解，关键是明确正方体内切球半径为棱长的一半，属于基础题.
5.抛掷一颗骰子，观察向上的点数，下列每对事件相互对立的是（ ）
A. “点数为2”与“点数为3”B. “点数小于4”与“点数大于4”
C. “点数为奇数”与“点数为偶数”D. “点数小于4”与“点数大于2”
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对立事件的定义依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】若事件为对立事件，则必有一个且仅有一个发生
中，“点数为”和“点数为”不是必有一个发生的事件，错误；
中，“点数小于”与“点数大于”不是必有一个发生的事件，存在“点数等于”，错误；
中，“点数为奇数”与“点数为偶数”必有一个且仅有一个发生，符合对立事件定义，正确；
中，“点数小于”与“点数大于”可同时发生，即“点数等于”，错误.
故选：
【点睛】本题考查对立事件的判断，关键是明确对立事件的定义，即事件为对立事件，则必有一个且仅有一个发生.
6.如图所示，在正方体中，下列直线与垂直的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
由平行关系可确定的垂线即为的垂线，由此可确定结果.
【详解】四边形为正方形

故选：
【点睛】本题考查异面直线垂直的判断，关键是明确通过平行关系将异面直线所成角的问题转化为相交直线所成角的问题.
7.（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式将原式化简为，根据特殊角三角函数值求得结果.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值的问题，属于基础题.
8.在中，是的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量线性运算法则即可得到结果.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
9.下列数值大于1的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数单调性依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】，正确；，错误；
，错误；，错误.
故选：
【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，属于基础题.
10.袋中装有质地、形状和大小完全相同五个小球，其中黑球、红球、黄球各一个，白球两个.从中任取一个球，则“取出的球是白球或黑球”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先确定基本事件总数和满足题意的基本事件个数，进而根据古典概型概率公式求得结果.
【详解】从袋中任取一个球共有种结果，取出的球是白球或黑球共有种结果
所求概率
故选：
【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.
11.函数图象的一条对称轴为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令可求得函数的对称轴方程，进而验证得到选项.
【详解】令，，解得：，
的对称轴方程为，
当时，
故选：
【点睛】本题考查正弦型函数对称轴的求解问题，关键是熟练掌握整体对应的方式，结合正弦函数的性质求得对称轴方程.
12.已知向量，，若向量与垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量垂直关系得到，根据平面向量的坐标运算可构造方程求得结果.
【详解】与垂直
又 ，解得：
故选：
【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，关键是明确两向量垂直，则数量积为零.
13.某学校随机抽取100名学生，调查其平均一周使用互联网的时间（单位：小时），根据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中使用时间的范围是，样本数据分组区间为.根据直方图，这100名学生中平均一周使用互联网的时间不少于12小时的人数为（ ）
A. 5B. 10C. 20D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】
利用频率分布直方图可求得平均一周使用互联网的时间不少于小时的频率，根据频率和频数、总数之间的关系可求得结果.
【详解】由频率分布直方图知：平均一周使用互联网的时间不少于小时的频率为
平均一周使用互联网的时间不少于小时的人数为人
故选：
【点睛】本题考查利用频率分布直方图求解频率、频数的问题，关键是明确在频率分布直方图中，每组数据对应的频率即为对应矩形的面积.
14.函数零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
依次判断各个区间端点处函数值的符号，根据零点存在定理可判断得到结果.
【详解】由题意得：定义域为,且在定义域上为增函数,
故至多一个零点,
；；
零点所在区间为
故选：
【点睛】本题考查利用零点存在定理判断零点所在区间的问题，属于基础题.
15.在中，角的对边分别为.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
李用正弦定理边化角可求得，结合可求得结果.
【详解】由正弦定理得：

故选：
【点睛】本题考查正弦定理边化角的应用问题，属于基础题.
16.若样本数据的平均数为2，则数据的平均数为（ ）
A. B. C. 2D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平均数的性质直接运算可得结果.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查平均数的运算性质，属于基础题.
17.函数（且）的图象如图所示，其中为常数.下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数单调性和在轴截距可判断出的范围.
【详解】函数图象单调递增
又函数在轴截距在之间
故选：
【点睛】本题考查根据指数型函数的图象判断参数范围的问题，关键是能够熟练应用函数的单调性和截距来得到参数所满足的不等关系.
18.在空间中，设是一条直线，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】
在正方体中可依次找到的反例，排除掉；根据平行与垂直关系相关定理可确定正确.
【详解】
在如图所示的正方体中：
平面，平面，此时平面平面，可知错误；
平面，平面平面，此时平面，可知错误；
平面，平面平面，此时平面，可知错误；
垂直于同一直线的两平面互相平行，可知正确.
故选：
【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题辨析，关键是熟练掌握空间中的平行与垂直关系相关定理.
19.下列函数中，使得函数在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简中的，利用代入检验的方法可知正确、错误；根据正弦函数的单调性可确定错误.
【详解】中，
当时，，此时单调递增，正确；
中，
当时，，此时不单调，错误；
中，，当时，不单调，错误；
中，，当时，不单调，错误.
故选：
【点睛】本题考查正弦型函数单调性的求解问题，涉及到辅助角公式化简三角函数的问题；关键是能够熟练掌握代入检验的方法，根据整体对应的情况，结合正弦函数性质求得结果.
20.已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减.若，则使成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇偶性和上的单调性得到在上的单调性，同时得到；利用单调性可将所求不等式转化为或，由对数函数单调性可解得结果.
【详解】在上单调递减且为奇函数 在上单调递减
又定义域为

由得：或，解得：或
的解集为
故选：
【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，涉及到对数不等式的求解；关键是能够通过奇偶性得到对称区间的单调性，进而利用单调性将函数值的大小关系转变为自变量的大小关系.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，满分15分，将答案填在答题纸上
21.已知向量和满足，与的夹角为，则的值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据数量积的定义运算即可得到结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题.
22.若为钝角，且，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据同角三角函数平方关系可求得，利用二倍角公式可求得结果.
【详解】为钝角
故答案为：
【点睛】本题考查利用二倍角公式求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用，易错点是忽略角所处的范围，造成三角函数值符号求解错误.
23.已知函数，则的值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据解析式可分别求得和，从而得到结果.
【详解】，
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数的函数值的求解问题，属于基础题.
24.《九章算术》中有文：今有鳖臑，下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺，问积几何？文中所述鳖臑是指四个面皆为直角三角形的三棱锥.在如图所示的鳖臑中，若，则该鳖臑的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据垂直关系可确定为鳖臑的高，根据棱锥体积公式可求得结果.
【详解】四个面均为直角三角形且 平面且
为鳖臑的高
故答案为：
【点睛】本题考查三棱锥体积的求解问题，关键是能够根据垂直关系确定三棱锥的高，属于基础题.
25.在中，角的对边分别为.若，则的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知等式和余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查解三角形的相关问题的求解，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用；关键是能够将通过已知等式配凑出余弦定理的形式，从而构造方程求得两边之积.
三、解答题：本大题共3小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
26.如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，为棱的中点.求证：平面.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
连接交于点，连接，根据三角形中位线性质可得，根据线面平行判定定理可证得结论.
【详解】连接交于点，连接
四边形为平行四边形 为的中点，又为的中点
为的中位线
平面，平面 平面
【点睛】本题考查线面平行关系的证明，涉及到三角形中位线的性质，关键是熟练掌握线面平行的判定定理.
27.某班有男生27名，女生18名，用分层抽样的方法从该班中抽取5名学生去敬老院参加献爱心活动.
（1）求从该班男生、女生中分别抽取的人数；
（2）为协助敬老院做好卫生清扫工作，从参加活动的5名学生中随机抽取2名，求这2名学生均为女生的概率.
【答案】（1）从该班男生、女生中抽取的人数分别为3，2（2）
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样的基本原则可计算求得结果；
（2）列举出随机抽取名学生的所有基本事件，从中找到名学生均为女生的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】（1）设从该班男生、女生中抽取的人数分别为，则，
从该班男生、女生中抽取的人数分别为，
（2）记参加活动的名男生分别为，名女生分别为
则随机抽取名学生的所有基本事件为：
，共个
记“名学生均为女生”为事件，则事件包含的基本事件只有个：
【点睛】本题考查分层抽样、古典概型概率问题的求解；解决古典概型的常用方法为列举法，通过列举得到所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，进而根据古典概型概率公式求得结果.
28.已知函数.
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若函数的最小值为8，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数定义可得，由此构造方程可求得结果；
（2）分类讨论可得分段函数的解析式；当和时，易知不满足题意；当、时，根据函数单调性可确定，由此构造方程求得.
【详解】（1）是偶函数
，即
，化简得：

（2）
①当时，则，不合题意；
②当时，则无最小值，不合题意；
③当时
当时，在上单调递增，；
当时，在上单调递减，
的最小值为 ，舍去；
④当时
当时，在上单调递增，；
当时，在上单调递减，在内单调递增
的最小值为
（舍去）或
综上所述：
【点睛】本题考查根据函数奇偶性求解参数值、根据函数的最值求解参数值的问题；利用最值求解参数值的关键是能够通过分类讨论的方式得到函数的单调性，确定最值点，进而利用最值构造方程求得结果.