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2023-2024学年度高一暑假预习讲义第3讲:集合的概念及其表示(讲义+课后测+课后巩固+答案)
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模块1:元素与集合的概念与集合的性质
模块2:集合的表示法
【重要考点讲解】
模块1:元素与集合的概念与集合的性质
【知识精讲】
1.元素与集合的概念
(1)元素与集合:一般地,我们把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.
(2)元素与集合的符号表示
元素:通常用小写拉丁字母表示,如;
集合:通常用大写拉丁字母表示,如.
(3)不含任何元素的集合叫做空集,记作.
2.集合的性质
①确定性:集合中的元素是确定的,不能模棱两可.
②互异性:集合中的元素是互不相同的,相同的元素在集合中只能算作一个.
③无序性:集合中的元素是无次序关系的.
3.元素与集合的的关系
4.常用数集
【夯实基础】
题型1:集合概念的理解
例题1.下列各组对象中,能组成集合的有 (填序号).
①高中学生中的游泳能手;
②平面上到原点的距离等于2的点;
③正三角形;
④比较小的正整数;
⑤满足不等式的的取值;
⑥之间的所有奇数;
⑦南宁市2023-2024学年度高一新生;
⑧直线上的所有的点;
⑨方程的所有实数根;
⑩是平面的定点,在平面内与等距离的点.
【解答】解:①所有的好人,“好人”无确定的标准,故①不能构成集合,
②平面上到原点的距离等于2的点,对象是确定的,故②能构成集合,
③正三角形,对象是确定的,故③能构成集合,
④比较小的正整数,“比较小”无确定的标准,故④不能构成集合,
⑤足不等式的的取值,即,对象是确定的,故⑤能构成集合.
故答案为:②③⑤⑥⑦⑧⑨⑩.
题型2:集合的性质
例题2.(1)已知集合中的三个元素,,分别是的三边长,则一定不是
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
【解答】解:根基集合元素的互异性可知,,,互不相等,
故一定不是等腰三角形.
故选:.
(2)如果有一集合含有三个元素1,,,则实数的取值范围是 .
【解答】解:根据集合元素的互异性,需满足:
;
解得,且,且,且;
实数的取值范围为:.
故答案为:,且,且,且.
(3)由实数,,,,所构成的集合中最多含有 个元素.
【解答】解:由实数,,,,所构成的集合中,
由于至少与和中的一个相等,
故集合中至多有4个元素.
故答案为:4.
(4)已知集合是由0,,三个元素构成的集合,且,则实数为 .
【解答】解:由题意知,或,
解得或或,
经验证,当或时,不满足集合中元素的互异性,
当时,满足题意.
故答案为:3
声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2023/6/17 10:26:51;用户:高中数学;邮箱:18575989927;学号:40151830
题型3:元素与集合的关系
例题3.用符号“”或“”填空:
(1)设为所有亚洲国家组成的集合,则中国 ,美国 ,印度 ,英国 .
【解答】解:;;;.
(2)①___;②___;③__;④___;⑤___;⑥___; = 7 \* GB3 ⑦___R.
【答案】;;;;;;.
例题4.下列叙述中正确的个数是( )
①若,则;
②若,则;
③,若,则;
④,若,则.
A.0个B.1个C.2个D.3个
【解析】①正确;②错误,如;③正确;④错误,如
【答案】C.
【能力提升】
例题5.(1)已知,,为非零实数,代数式的值所组成的集合是,则下列判断正确的是
A.B.C.D.
【解答】解:根据题意,分4种情况讨论;
①、,,全部为负数时,则也为负数,则;
②、,,中有一个为负数时,则为负数,则;
③、,,中有两个为负数时,则为正数,则;
④、,,全部为正数时,则也正数,则;
则,0,;分析选项可得符合.
故选:.
(2)设是一个数集,且至少含有两个数,若对任意,,都有(除数,则称是一个数域,则下列集合为数域的是
A.B.C.D.,
【解答】解:1,,,故不是数域,选项错误,同理选项错误;
任意,,都有(除数,故是一个数域,选项正确;
对于集合,,,,故,不是数域,选项错误.
故选:.
模块2:集合的表示方法
【知识精讲】
1.列举法:把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表,其它元素用省略号表示,并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法.例如:,.
【注意】
①列举法既可以表示有限集(集合中元素个数是有限多个的),也可以表示元素呈现一定规律的无限集
②有了列举法,我们就很容易将一些语言翻译成集合语言,如方程的解集可以写成;直线与直线的交点集合可以写成.
③用列举法表示集合时应注意:
元素之间用“,”而不是“、”隔开;
元素不能重复,满足元素的互异性;
元素无顺序,满足元素的无序性;
2.描述法(又称特征性质描述法):
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,形如,称为集合的特征性质,称为集合的代表元素.为的范围,有时也写为.
例如:大于的所有整数用描述法表示为.
方程的实根用描述法表示为.
【注意】
①描述法给出了一个客观的标准,用表示,竖线前面表示集合描述的是谁,竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点.
②除了数集外,还有一类集合是点集,集合中的元素是点,竖线前面的代表元素为.
③描述法需要注意集合描述与字母选取无关,即与表示的是同一个集合.
【夯实基础】
题型4:列举法
例题6.(1)用列举法表示下列集合.
①不大于10的非负偶数组成的集合;
②方程的所有实数解组成的集合;
③直线与轴的交点所组成的集合;
④方程组的解.
【解答】解:①因为不大于10是小于或等于10,非负是大于或等于0,
所以不大于10的非负偶数集是,2,4,6,8,.
②方程的解是或,所以方程的解组成的集合为,.
③将代入,得,即交点是,
故两直线的交点组成的集合是.
④解方程组,得,
用列举法表示方程组的解集是.
(2),,,,,试用列举法表示集合 .
【解答】解:集合,,,,
,,,
则,3,,
故答案为:,3,.
例题7.用列举法表示下列集合:
(1); (2);
(3); (4)D=
【解析】(1)
【答案】(1);
(2)
(3)
(4);
题型5:描述法法
例题8.用描述法表示下列集合:
(1)小于7的正整数构成的集合;
(2),3,5,7,;
(3),4,6,8,;
(4)梯形的全体构成的集合;
(5)能被3整除的自然数构成的集合;
(6)被4除余数为1的自然数构成的集合.
【解答】解:(1),;
(2),;
(3),;
(4)是梯形;
(5),;
(6),.
例题9.(1)下列各组集合表示同一集合的是
A.,,B.,
C.,D.,,,
【解答】解:对于,集合为数集,集合为点集,故错误,
对于,,,故错误,
对于,,,集合,表示点的坐标不同,故错误,
对于,,,,,由集合的无序性可知,集合,相同,故正确.
故选:.
(2)对集合,5,9,13,用描述法来表示,其中正确的一个是
A.是小于18的正奇数B.,,且
C.,,且D.,,且
【解答】解析:中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,11,15;
中取负数,多了若干元素;
中时多了这个元素,
只有是正确的.
故选:.
(3)用描述法表示图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合为 .
【解答】解:图中的阴影部分的点设为则
,,或,
且,
故答案为:,且,.
【能力提升】
例题10.已知集合,其中.
(1)1是中的一个元素,用列举法表示;
(2)若中有且仅有一个元素,求实数的组成的集合;
(3)若中至多有一个元素,试求的取值范围.
【解答】解:(1)是的元素,是方程的一个根,
,即,
此时.
,,此时集合;
(2)若,方程化为,此时方程有且仅有一个根,
若,则当且仅当方程的判别式△,即时,
方程有两个相等的实根,此时集合中有且仅有一个元素,
所求集合,;
(3)集合中至多有一个元素包括有两种情况,
①中有且仅有一个元素,由(2)可知此时或,
②中一个元素也没有,即,此时,且△,解得,
综合①②知的取值范围为或
例题11.设数集由实数构成,且满足:若且,则.
(1)若,试证明中还有另外两个元素;
(2)集合是否为双元素集合,并说明理由;
(3)若中元素个数不超过8个,所有元素的和为,且中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合.
【解答】解:(1)证明:数集由实数构成,且满足:
若且,则.
,,
,,
集合中还有另外两个元素和;
(2)由题意若,则,
则,
若,则,
集合中应包含,,,
集合不是双元素集合.
(3)由(2)得集合中的元素个数应为3或6,
,且中有一个元素的平方等于所有元素的积,
中应有6个元素,且其中一个元素为,
,结合条件可得,,
,剩余的三个元素和为,
即,
解得,
,.
【高考真题体验】
1.(2015•湖北)已知集合,,,,,,,定义集合⊕,,,,,则⊕中元素的个数为
A.77B.49C.45D.30
【解答】解:法一:(最优解)因为集合,,,
所以集合中有5个元素,即图中圆中的整点,,,,,中有个元素,
即图中正方形中的整点,
⊕,,,,的元素可看作正方形中的整点(除去四个顶点),即个.
法二:,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
⊕,,,,,
⊕,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共45个元素.
故选:.
第3讲:集合的概念及其表示课后巩固
模块1:元素与集合的概念与集合的性质课后演练
1.下列所给的对象能构成集合的是 .
(1)高中数学必修第一册课本上所有的难题;
(2)高一(3)班的高个子;
(3)英文26个字母;
(4)中国古代四大发明;
(5)方程的实数根.
【解答】解:对于(1),高中数学必修第一册课本上所有的难题,
“所有的难题”不确定,不满足集合的确定性,故(1)不能构成集合;
对于(2),高一(3)班的高个子,“高个子”不确定,
不满足集合的确定性,故(2)不能构成集合;
对于(3),英文26个字母,是确定的且满足互异性,故(3)能构成集合;
对于(4),中国古代四大发明,是确定的且满足互异性,故(4)能构成集合;
对于(5),方程没有实数根,故能构成空集,
故能构成集合的是(3)(4)(5),
故答案为:(3)(4)(5).
2.以实数,,,,为元素所组成的集合最多含有 个元素.
A.0B.1C.2D.3
【解答】解:当时,,,此时集合共有2个元素;
当时,,此时集合共有1个元素;
当时,,,此时集合共有2个元素,
故由以实数,,,,为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个.
故选:.
3.设集合,,,若,则
A.或或2B.或C.或2D.或2
【解答】解:若,则,
,
,4,;
若,则或,
时,,
,,;
时,(舍,
故选:.
4.已知,,均不为0,则的所有可能的值组成的集合是 .
【解答】解:当,,全部为正数时,,
当,,为一正两负时,,
当,,为两正一负时,,
当,,为全负时,,
故的所有可能的值组成的集合是,1,.
故答案为:,1,.
5.用适当的符号填空①若, ;②若,则3 ;③若,,则8 ;④若,,则1.5 .
【解答】解:①由得,,,所以,
②由得,,,所以,
③由,,易判断;
④由,,为整数,而1.5不是整数,显然可得.
故答案为:,,;
模块2:集合的表示方法课后演练
6.设集合,,,则用列举法表示集合为 .
【解答】解:因为集合,,,
则当时,,当时,,
所以则用列举法表示集合,,
故答案为:,.
7.用列举法表示 .
【解答】解:且,
或 或或,解得或或或,
对应的值为6,3,2,1,
故,2,3,.
故答案为:,2,3,.
8.已知集合,2,,,,设集合,,.则用列举法表示集合为 .
【解答】解:时,或2,,或;
时,或2,,或0;
时,或2,,或1;
的元素为0,,1,2;
列举法表示集合,,1,.
9.集合,,,,用描述法可表示为
A.,B.,
C.,D.,
【解答】解:集合,,,,中的第项的分线为,分子为,
集合,,,,用描述法可表示为:,.
故选:.
10.下列各组中的、表示同一集合的是
①,,;
②,;
③,;
④,.
A.①B.②C.③D.④
【解答】解:在①中,,是数集,是点集,二者不是同一集合,故①错误;
在②中,,表示的不是同一个点,故②错误;
在③中,,,,,二者表示同一集合,故③正确;
在④中,表示数集,表示一条抛物线,故④错误.
故选:.
11.用描述法表示图中的阴影部分可以是 .
【解答】解:图中的阴影部分用描述法表示为:且,
故答案为:且.
12.已知集合中有且只有一个元素,那么实数的取值集合是
A.B.,C.D.,
【解答】解:集合中有且只有一个元素,
或,
解得或,
实数的取值集合是,.
故选:.
13.若给定集合,对,,有且,则称集合为“好集合”.
(1)判断,,0,2,,,,,,0,2,4,6,是否为“好集合”?(只需结果,不需过程)
(2)证明:,为“好集合”.
【解答】解:(1),,0,2,不是“好集合”,
,,,,0,2,4,6,是“好集合”;
(2)证明:对,,,
存在,,使,,
则,,
,,,,
,,
故集合为“好集合”;
【思维拓展训练】
1.已知是满足下列条件的集合:
①,;
②若,,则;
③若且,则.
(1)判断是否正确,说明理由;
(2)证明:若,,则;
(3)证明:若,,则.
【解答】(1)解:正确.
理由如下:由①知,,
由②可得,,,
由③得.
(2)证明:由①知,
由题知,由②可得,
又,即.
(3)证明:,,由②可得,再由③可得,
,
即,,
即,,
即当,,
由(2)可知,当,,,
,
当,,
,可得,
.
关系
定义
记法
读法
属于
是集合的元素
属于
不属于
不是集合的元素
不属于
集合
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
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