2023-2024学年度高一暑假预习讲义第6讲：常用逻辑用语(讲义+课后测+课后巩固+答案）

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模块1：充分条件、必要条件、充分必要条件
模块2：充分、必要条件、充分必要条件判定方法
模块3：全称量词与全称量词命题
模块4：存在量词与存在量词命题
模块5：全称量词命题和存在量词命题的否定
【重要考点讲解】
模块1：充分条件、必要条件、充分必要条件
【知识精讲】
1．命题的概念：在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．充分条件、必要条件：
一般地，“若，”为真命题，是指由 通过推理可以得出，这时,我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件, 是的必要条件．
如果“若，”为假命题,那么由条件不能推出结论，记作.此时,就说不是的充分条件, 不是的必要条件．
【注意】是的充分条件只代表，与能否推出没有任何关系
3．充要条件：“若，”的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作．此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称为充要条件．显然如果是的充要条件，那么也是的充要条件．概括地说，如果，那么与互为充要条件．
【夯实基础】
题型1：对充分条件、必要条件、充分必要条件的理解
例题1．下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若，为无理数，则为无理数．
例题2．下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若为无理数，则，为无理数．
例题3．下列各题中，哪些是的充要条件？
（1）：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）：两个三角形相似，：两个三角形的三边对应成比例；
（3），，；
（4）是一元二次方程的一个根，．
【能力提升】
例题4．若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空：
（1）使，都为0的必要条件是 ；
（2）使，都不为0的充分条件是 ；
（3）使，至少有一个为0的充要条件是 ．
模块2：充分、必要条件、充分必要条件判定方法
【知识精讲】
1．定义法：
①是的充分不必要条件； ②是的必要不充分条件；
③是的充要条件； ④是的既不充分也不必要条件．
2．集合法：
如果把研究的范围看成集合，把研究的范围看成集合
①若，则是的充分不必要条件；
②若，则是的必要不充分条件；
③若，则是的充要条件（也是p的充要条件）；
④若且，则是的既不充分也不必要条件．
3．传递法：
①若，，则，即是的充分条件；
②若，，则，即是的必要条件；
③若，，则，即是充要条件．
【夯实基础】
题型2：定义法判定充分必要条件
例题5．判断下列各题中，是的什么条件．（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选择一种作答）
（1），；
（2）：三角形是锐角三角形，：三角形的内角中有锐角；
（3），；
（4），：直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于1．
题型3：集合法判定充分必要条件
例题6．（1）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
（2）已知，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（3）设集合，，或，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【能力提升】
例题7．已知集合，集合．若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
模块3：全称量词与全称量词命题
【知识精讲】
1．全称量词与全称量词命题
2．全称量词命题的真假判定
（1）要判定全称量词命题“，”是真命题，需要对集合中每个元素，证明成立；
（2）判定全称量词命题“，”是假命题，只需要举出一个反例，即如果在集合中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．
【夯实基础】
题型4：全称量词与全称量词命题
例题8．判断下列全称量词命题的真假：
（1）所有素数都是奇数；
（2），；
（3）对任意一个无理数，也是无理数．
例题9．（1）下列语句不是全称量词命题的是
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高一（1）班绝大多数同学是团员
D．每一个实数都有大小
（2）已知命题，．若为假命题，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
（3）命题“，”为真命题，则实数的范围为 ．
【能力提升】
例题10．已知，；，，若，一真一假，则实数的取值范围为
A．B．C．或D．
模块4：存在量词与存在量词命题
【知识精讲】
1．存在量词与存在量词命题
2．存在量词命题的真假判定
（1）要判定存在量词命题“，”是真命题，需要在集合中找到一个元素，使成立即可；
（2）判定存在量词命题“，”是假命题，只需要举出一个反例，需对集合中的每一个元素，证明不成立，那么这个存在量词命题就是假命题．
【夯实基础】
题型5：存在量词与存在量词命题
例题11．判断下列存在量词命题的真假：
（1）有一个实数，使；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形．
例题12．（1）下列命题中
①有些自然数是偶数；
②正方形是菱形；
③能被6整除的数也能被3整除；
④对于任意，总有．
存在量词命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
（2）（多选）已知集合，集合，则以下命题正确的有
A．，B．，C．都有D．都有
（3）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【能力提升】
例题13．知集合，，且．
（1）若“命题，”是真命题，求的取值范围．
（2）“命题，”是真命题，求的取值范围．
模块5：全称量词命题和存在量词命题的否定
【知识精讲】
1．命题的否定：
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这新命题称为原命题的否定．命题的否定可用“”来表示．
命题的否定与原命题的真假性相反，若为真,则为假；若为假,则为真．
2．全称量词命题和存在量词命题的否定
【夯实基础】
题型6：全称量词命题和存在量词命题的否定
例题14．写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假．
（1）有些四边形的四个顶点在同一个圆上；
（2），；
（3）所有能被3整除的数都是奇数；
（4），；
（5）不论取何实数，方程必有实数根．
例题15．（1）命题“，使”的否定是
A．，使B．不存在，使
C．，使D．，使
（2）已知命题，，，，则的否定是
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【能力提升】
例题16．已知命题，；命题，．
（1）若是真命题，求的取值范围；
（2）若，一真一假，求的取值范围．
【高考真题体验】
1．（2023•北京）若，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023•天津）“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022•天津）“为整数”是“为整数”的 条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
4．（2016•浙江）命题“，，使得”的否定形式是
A．，，使得B．，，使得
C．，，使得D．，，使得
5．（2015•新课标Ⅰ）设命题，，则为
A．，B．，C．，D．，
第6讲：常用逻辑用语课后巩固
模块1：充分条件、必要条件、充分必要条件课后演练
1．下列命题中，判断条件是条件的什么条件．
（Ⅰ）：四边形的对角线相等，：四边形是平行四边形；
（Ⅱ），；
（Ⅲ）时，，．
模块2：充分、必要条件、充分必要条件判定方法课后演练
2．已知，若集合，，，2，，则“”是“”
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．设，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ．
5．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值集合是 ．
6．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
模块3和模块4：全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题课后演练
7．下列结论中正确的个数是
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“，”是全称量词命题；
③命题“，”是真命题；
④命题“有一个偶数是素数”是真命题．
A．0B．1C．2D．3
8．命题“，”是假命题，则实数的取值范围为
A．B．或C．或D．
9．已知，．若为假命题，则的取值范围为
A．B．C．D．
模块5：全称量词命题和存在量词命题的否定课后演练
10．命题，，则命题的否定是
A．，B．，
C．，D．，
11．命题“，”的否定是
A．，B．，
C．，D．，
12．（2022秋•南宁二中期中）已知集合，集合，．
（1）求，；
（2）若是的必要条件，求的取值范围．
13．已知全集，，，．
在①，②，③，这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答．
问题：设p：_____，，是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若实数存在，求的取值范围；若实数不存在，说明理由．
【思维拓展训练】
1．设集合，，．
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明．
全称量词
定义
短语“所有的”“任意一个”在逻辑用语中通常叫做全称量词
符号表示
全称量词命题
定义
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题
一般形式
对中任意一个，成立
符号表示
，
存在量词
定义
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑用语中通常叫做存在量词
符号表示
存在量词命题
定义
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题
一般形式
存在中元素，成立
符号表示
，
命题类型
命题的符号表示
命题的否定的符号表示
命题的否定的类型
全称量词命题
存在量词命题
存在量词命题
全称量词命题