2023-2024学年度高一暑假预习讲义第14讲：对数函数(讲义+课后测+课后巩固+答案）

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模块1：对数函数的概念、图象与性质
模块2：对数函数与指数函数的关系
模块3：比较大小
模块4：综合应用
【重要考点讲解】
模块1：对数函数的概念、图象与性质
【知识精讲】
1．对数函数的定义：
一般地，函数（且）叫做对数函数，其中指数称为自变量，定义域为．
2．对数函数的图象与性质
2．对数函数的图象与性质
①设，，其中，（或，）
当时“底大图低”，即若，则；当时“底大图高”，即若，则；
这一性质可通过下图帮助理解，其中，，，分别是函数，，，，则必有．
②在同一坐标系中，（，）的图像与（，）的图像关于轴对称．
【夯实基础】
题型1：对数函数的概念
例题1．（1）函数为对数函数，则等于
A．3B．C．D．
【解答】解：函数为对数函数，
，解得，
，
．
故选：．
（2）下列函数表示式中，是对数函数的有
①；
②；
③；
④；
⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：由于形如的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有②、③，
其他的均不符合．
故选：．
题型2：对数函数的图象
例题2．（1）已知函数①，②，③，④的大致图象如图所示，则
A．B．C．D．
【解答】解：由已知可得，
则，，
即选项正确，选项错误；
又与的大小不确定，
即选项、错误，
故选：．
（2）已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是
A．B．
C．D．
【解答】解：，，且，，
函数与函数在同一坐标系中的图象可能是，
故选：．
题型3：对数函数所过定点
例题3．（1）函数且的图象恒过定点，则点的坐标为 ．
【解答】解：已知函数且，
令，
即，
则（1），
即函数且的图象恒过定点，
故答案为：．
（2）（多选）已知函数且的图象过定点，正数，满足，则
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得，函数的图象过定点，，，所以，所以不正确；
由重要不等式可得，
故，当且仅当时取等号，所以正确；
由基本不等式可得，，当且仅当，时取等号，故错误；
又，
当且仅当，即时取等号，所以正确．
故选：．
题型4：与对数函数有关的复合函数的值域和定义域
例题4．（1）函数的定义域为
A．，B．，，C．，，D．
【解答】解：由题意得：
，解得：且，
故函数的定义域是，，，
故选：．
（2）函数的定义域是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：由题意可得，
即有，
解得，
所以函数的定义为，．
故选：．
（3）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 （用区间表示）．
【解答】解：由题意得：恒成立，
故△，解得：，
故答案为：．
例题5．（1）函数在，上的值域为，，则实数的值是 ．
【解答】解：因为函数在，上的值域为，，
所以或，
解得或的值不存在，
所以实数的值是．
故答案为：．
（2）若函数的值域为，则的取值范围是 ．
【解答】解：函数的值域为，
要使得取到所有的正数，
令，
，解得，
的取值范围是．
故答案为：．
（3）设，若函数，，的值域为，，则的取值范围是 ．
【解答】解：画出函数的图象如图，由于函数，，的值域为，，
则，，于是，当时，可取，内任意的数，此时可取，内任意的数；当时，可取，内任意的数，此时可取，内任意的数，
综上，的取值范围是：，．
故答案为：，．
题型5：与对数函数有关的复合函数的单调区间
例题6．（1）（2021秋•南宁二中12月份月考）函数的单调递增区间是 ．
【解答】解：由，得或，
在内单调递增，
而是增函数，
由“同增异减”，知函数的单调递增区间是．
故答案为：．
（2）（2019秋•南宁三中月考）函数的单调递增区间是
A．B．C．D．
【解答】解：函数的定义域为：，，，设，函数的单调增区间即的单调减区间，
的单调减区间为．
故选：．
题型6：与对数函数有关的复合函数的奇偶性
例题7．（1）若函数为奇函数，则实数 ．
【解答】解：函数为奇函数，则，即：，解得：．
故答案为：．
（2）若函数是奇函数，则实数的值是 ．
【解答】解：是奇函数，
，
即，
即，
即，
即，
则，得或，
当时，，由得，定义域关于原点不对称，
则函数为非奇非偶函数，不满足条件．
当时，是奇函数，满足条件．
故答案为：
（3）（2015•新课标Ⅰ）若函数为偶函数，则 ．
【解答】解：为偶函数，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：1．
（4）设函数，则是
A．奇函数，且在上是增函数
B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数
D．偶函数，且在上是减函数
【解答】解：函数，；
，
是上的偶函数；
又，
当时，二次函数是减函数，
所以函数也是减函数．
故选：．
【能力提升】
例题8．（1）已知函数，，，函数的最大值为 ．
【解答】解：由的定义域为，可得的定义域为，，
又，
，．
当时，有最大值13．
故答案为：13
（2）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，，使在，上的值域是，，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是
A．B．C．，D．，
【解答】解：函数为“倍缩函数”，
且满足存在，，使在，上的值域是，，
在，上是增函数；
，
即，
，是方程的两个根，
设，则，此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；
，
解得：，
满足条件的范围是，
故选：．
模块2：对数函数与指数函数的关系
【知识精讲】
1．对数函数与指数函数的关系：一般地，指数函数（且）与对数函数（且）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
2．互为反函数的性质：函数的定义域与值域分别是它的反函数的值域与定义域；互为反函数的的两个函数的图象关于直线对称．
【夯实基础】
题型7：对数函数与指数函数的关系
例题9．（1）函数的反函数是
A．B．C．D．
【解答】解：，
则，
将，对调可得，，
故函数的反函数是．
故选：．
（2）已知函数的反函数为，且则（4）（4）的值为
A．8B．18C．20D．32
【解答】解：因为函数的反函数为，且，
所以，
所以（4），（4），（4）（4）．
故选：．
（3）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：函数，函数与函数图象关于对称，
则函数是的反函数，，
故，
，解得，
令，，
在单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，
故的单调减区间是，．
故选：．
【能力提升】
例题10．已知，方程与的根分别为，，若，则的取值范围为 ．
【解答】解：方程的根，即与图象交点的横坐标，
方程的根，即与图象交点的横坐标，
而，的图象关于直线对称，如图所示：
与交点为，，所以，
所以，
又，所以，即，
故的取值范围是．
故答案为：．
模块3：比较大小
【知识精讲】
【夯实基础】
题型8：比较大小
例题11．比较下列各组数的大小：
（1），； （2），；
（3），； （4），；
（5），．
【解答】解：（1）是增函数，；
（2）是减函数，；
（3），，；
（4），，；
（5），，．
例题12．（1）已知，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，，
所以．
故选：．
（2）若，，，则有
A．B．C．D．
【解答】解：因为指数函数为上的增函数，则，
对数函数为上的增函数，则，
对数函数为上的增函数，则，
因此．
故选：．
【能力提升】
例题13．（1）已知，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，，
，
故．
故选：．
（2）设，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，
．
故选：．
（3）已知，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：令，
所以
由于，
所以，
故（2）（3）（4），即．
故选：．
模块4：综合应用
【典例精讲】
题型9：与对数函数有关的复合函数的综合题型
例题14．（2022秋•南宁三中期末）已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若对任意，都有成立，求的取值范围；
（3）若存在，，且，使得函数在区间，上的值域为，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数为奇函数，所以，
即对定义域内任意恒成立，所以，即，
显然，又当时，的定义域关于原点对称．所以为满足题意的值；
（2）由（1）知，其定义域为，，，，
可以判断出在上为增函数．所以在上为增函数，
对任意，都有成立，则有，所以，所以，
所以求的取值范围为；
（3）由（2）知在上为增函数，又因为函数在，上的值域为，
所以，且，所以，即，是方程的两实根，
问题等价于方程在上有两个不等实根，令，对称轴，
则，即，解得．
实数的取值范围为．
【高考真题体验】
1．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则
A．B．0C．D．1
【解答】解：由，得或，
由是偶函数，
，
得，
即，
，得，
得．
故选：．
2．（2022•乙卷）若是奇函数，则 ， ．
【解答】解：，
若，则函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，
，
由函数解析式有意义可得，且，
且，
函数为奇函数，定义域必须关于原点对称，
，解得，
，定义域为且，
由得，，
，
故答案为：；．
3．（2020•新课标Ⅲ）已知，．设，，，则
A．B．C．D．
【解答】解法一：由，
，而
，
即；
，，，；
，，，，
综上，．
解法二：，，，
，
，
，，，
，，，
．
故选：．
4．（2018•新课标Ⅲ）设，，则
A．B．C．D．
【解答】解：法一、
，
且，，
，可得，结合，
可得．
故选：．
法二、，，
，
，
，，
．
故选：．
5．（2014•重庆）函数的最小值为 ．
【解答】解：
，
当
即时，函数的最小值是．
故答案为：
第14讲：对数函数课后巩固
模块1：对数函数的概念、图象与性质课后演练
1．下列函数是对数函数的是
A．B．，且
C．D．
【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有为对数函数．
故选：．
2．（2022秋•南宁二中12月份月考）已知定义在，上的函数，的值域是，．若函的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：当时，在，上单调递减，
由题意得，此时不存在，
当时，在，上单调递增，
由题意得，解得，
所以的图象不经过第一象限，
所以，
解得．
故答案为：．
3．（多选）已知函数，为常数，其中，的图象如图，则下列结论成立的是
A．B．C．D．
【解答】解：由题图可知，函数在定义域内为减函数，
所以，
又当时，，即，
故．
故选：．
4．函数的定义域是 ．
【解答】解：函数，则，
解得或，
即函数的定义域为，，，
故答案为：，，．
5．函数的定义域是
A．， B．，C．， D．，
【解答】解：由题意得：
，解得：，
故选：．
6．已知函数的定义域为，，值域为，，则的取值范围为 ．
【解答】解：当时，，
函数的定义域为，，值域为，，
，
解得，，
故答案为：，．
7．若函数，，在区间上的最大值为6，则的值为 ．
【解答】解：时，函数在区间，上单调递增，最大值为（4），解得；
时，函数在区间，上单调递减，最大值为，解得；
综上知，的值为2或．
故答案为：2或．
8．设函数，且．则函数的最大值为 ．
【解答】解：令，则，且，
令，
当时，函数取得最大值为12，
9．（2020秋•南宁三中期中）函数的单调递增区间是
A．B．C．D．
【解答】解：令，该函数在单调递减，
而外层函数为减函数，
函数的单调递增区间是．
故选：．
10．（2018•新课标Ⅲ）已知函数，（a），则 ．
【解答】解：函数
满足，
所以是奇函数．
函数，（a），
可得（a），可得，
则．
故答案为：．
11．（多选）已知函数，则
A．的定义域为B．的值域为
C．为减函数D．为奇函数
【解答】解：解得，，的定义域为，正确；
，，，的值域为，正确；
，增大时，增大，减小，即减小，是减函数，正确；
的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数，错误．
故选：．
模块3：比较大小课后演练
12．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由是定义域为的偶函数得，
，，，
，，
又在单调递增．
，即．
故选：．
13．设，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解答】解：，，，
故．
故选：．
14．设，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，
令，则，
再令，则，所以当时，即在上单调递增，
所以当时，所以，所以，
即在上单调递增，
所以（5）（3），即，即，即，
因为，所以，所以，
所以，即，
所以．
故选：．
15．已知，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【解答】解：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
模块4：综合应用课后演练
16．（2022秋•南宁二中12月份月考）已知函数．
（1）求函数的定义域及值域；
（2）设函数，若对任意的，，恒成立，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数，
由，得，所以函数的定义域为；
又因为时，，
所以，，，
所以的值域为，；
（2）函数，若对任意的，，恒成立，不等式恒成立，
即，时，，
当，时，的最大值为1，
所以，时，的最小值为1，当时，，，不满足题意；
当时，，单调递增，的最小值为1，得出，解得；
当时，，单调递减，的最小值为1，得出，解得，不满足题意；
综上知，实数的取值范围是，．
【思维拓展训练】
1．函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质．
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质（1），并说明理由．
①；
②；
（Ⅱ）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质．求证：是偶函数；
（Ⅲ）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围．
【解答】（Ⅰ）解：对于①，对于任意实数，可得，
所以具有性质（1）；
对于②，对于任意实，可得．
易知，只需取，则可得（1），所以不具有性质（1）．
（Ⅱ）证明：设二次函数满足性质．
则对于任意实数，满足．
若，则可取，有，矛盾．
所以，此时即为偶函数．
（Ⅲ）解：由于，函数的定义域为．
易知．
若函数具有性质，
则对于任意实数，有．
即，
即．
由于函数在上单调递增，
可得，
即．
当时，得，对任意实数恒成立．
当时，易知，
由，得，得，
得．
依题意，对任意实数恒成立，
所以即．
当时，易知，
由，得，得，
得．
依题意，对任意实数恒成立，
所以，即．
综上所述，的取值范围为，．
图像
性质
定义域
值域
过定点
单调性
在上是减函数
在上是增函数
函数值变化范围
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
类型
方法
底数相同，真数不同
利用对数函数的单调性
底数不同，真数相同
①化为同底数对数；②利用对数函数的图象
底数不同，真数不同
利用中间值
指数值与对数值的比较
利用中间值