福建省厦门市第九中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份福建省厦门市第九中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】关于原点的对称点的坐标特点：横、纵坐标都互为相反数，据此进行求解即可得到答案．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标系中关于原点对称的点的坐标关系，熟练掌握“关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数”是解题关键．
3. 如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663
A. B.
C. D. 到、的距离相等
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【详解】在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确，
∵，AO=DO=BO=CO
∴（SSS）
可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确；
而由题意不能推出，故A项结论错误．
故选：A
【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．
4. 如图，是由绕A点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得旋转角为，即可求解．
【详解】解∶∵是由绕A点旋转得到的，
∴旋转角为，
∵，，
∴，
即旋转角的度数为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．
5. 关于x的一元二次方程的两个根分别是和，其中，则的值为（ ）
A. B. C. mD.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也叫做韦达定理，熟记，是本题的关键．利用，建立方程求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴x，
故选：B．
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为（ ）．
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ=42-4×1×c＞0，解之可得答案．
【详解】解：根据题意，得：Δ=42-4×1×c＞0，
解得c＜4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
7. 在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为5的圆，则以下四个点在圆上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理求出下列各点与原点的距离，再与圆的半径比较，即可求解．
【详解】解：A项，，此点不在圆上，故本项不符合题意；
B项，，此点不在圆上，故本项不符合题意；
C项，，此点不在圆上，故本项不符合题意；
D项，，此点在圆上，故本项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，利用勾股定理求解坐标系中两点之间距离等知识，当某点到一个圆的圆心的距离等于该圆半径的长度时，则该点在圆上，否则就不在圆上．
8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A. 1米B. 2米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用．连结交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
【详解】解：连接交于D，
由题意得：米，，
∴（米），，
由勾股定理得，（米），
∴米，
即点C到弦所在直线的距离是米，
故选：C．
9. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，D的对应点分别为C，E，将线段绕着点B顺时针旋转得到线段，点D的对应点是F，连接，．当的度数从逐渐增大到的过程中．四边形的形状依次是：平行四边形→______→平行四边形．画线处应填入（ ）
A. 菱形→矩形→正方形
B. 矩形→菱形→正方形
C. 菱形→平行四边形→矩形
D. 矩形→平行四边形→菱形
【答案】D
【解析】
【分析】分逐渐变大，B、D、E三点共线之前；B、D、E三点共线时；B、D、E三点共线后，之前；时；后，讨论即可．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，线段绕着点B顺时针旋转得到线段，
，，，
，，
①当逐渐变大，B、D、E三点共线之前时，
，
，
又，
，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
②当B、D、E三点共线且D在B、E之间，
，，
，
，
，
又，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是矩形；
③当逐渐变大，B、D、E三点共线之后，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
④当时，
，
又，
，
，
由③同理可证，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形；
当后时，
由③同理可证，
，
又，
∴四边形是平行四边形．
当的度数从逐渐增大到的过程中，四边形的形状依次是：平行四边形→矩形一平行四边形一菱形一平行四边形．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定等知识，明确题意，合理分类讨论，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
10. 已知点均在抛物线上，其中．若，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证得点M(m，y3 )是该抛物线的顶点，根据点P(-2，y1)，Q(4，y2 )均在抛物线上，可知该抛物线开口向下对称轴是直线x =m，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决
【详解】∵
∴
∴点M(m， y3 )是该抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为x=m，
∵点P(-2， y1)， Q(4， y2)均在抛物线上，且
∴
解得m> 1，
故选： B．
【点睛】本题考查抛物线的图像性质，对称轴，熟练掌握抛物线的性质是关键
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11. 抛物线的对称轴是 ___________．
【答案】直线．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质：二次函数的对称轴为直线．根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出对称轴为直线．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的对称轴是直线，
故答案为：直线．
12. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为 ________．
【答案】##35度
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理：“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
13. 如图，四边形为的内接四边形， ，则的度数为________．
【答案】##70度
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．直接利用圆内接四边形对角互补与邻补角的性质推导可得出答案．
【详解】解：∵四边形为的内接四边形，
，即，
，
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点O（0，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为_____．
【答案】（2，3）．
【解析】
【分析】根据旋转中心为点O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，作出点P的对称图形P′，可得所求点的坐标．
【详解】如图所示，由图中可以看出点P′的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．
15. 已知二次函数的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上．二次函数中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
下列结论：①点B的坐标是；②这个函数的最大值大于5；③有一个根在4与5之间；④当，时，．其中正确的为______（将所有正确结论的序号都填入）．
【答案】②③④
【解析】
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数函数的性质求解．
【详解】解：将，代入得，
解得，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴这个函数的最大值大于5，
②正确．
当时，，
∴点坐标为，
∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
点坐标为，①错误．
对于，
∵当时，，当时，，
∴与x轴有一个交点在4与5之间，
∴方程有一个根在4与5之间，故③正确；
，，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
．故④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16. 已知：如图是的直径，，点C为弧的三等分点（更靠近A点），点P是上的一个动点，取弦的中点D，求线段的最大值为_________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理等知识点，能够正确画出辅助线是解题关键．连接，以为直径作圆G，过G作于F，求出，求出、长，根据勾股定理求出，再根据两点之间线段最短得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵直径，
∴，
连接，以为直径作圆G，过G作于F，
∵D为的中点，过O，
∴，
即点D在上，，
∴，
∵点C为弧的三等分点（更靠近A点），
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴的最大值是，
故答案为：．
三、解答题（共9题，86分；其中17-21题每题8分，22-23题每题10分，第24题12分，第25题14分）
17. 解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或求解；
（2）利用配方法得到，然后利用开平方求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
或，
所以，；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
所以，．
18. 如图，是上四点，且，求证：．
【答案】证明过程见详解
【解析】
【分析】根据同弧等弧所对的圆周角相等，即可证明三角形全等由此即可求解．
【详解】证明：如图所示，
是上四点，与交于点
∵与对应的弧是，与对应的弧是，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，即．
故证明得：．
【点睛】本题主要考查圆上同弧等弧所对圆心角相等，掌握同弧等弧所对圆周角相等是解题的关键．
19. 如图，已知抛物线经过点．
（1）求m值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当时，直接写出y的取值范围．
【答案】（1），顶点坐标；
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）根据抛物线的顶点坐标，对称轴为直线，可知时，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出y的取值范围．
【小问1详解】
解：将代入，得：
解得：

此抛物线的顶点坐标为．
【小问2详解】
解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
当时，y的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，懂得把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
20. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在年春节长假期间，预计在年春节长假期间将接待游客达万人次．
（1）求东部华侨城景区至年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为元，根据销售经验，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，则平均每天可多销售杯，年春节期间，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠
【答案】（1）年平均增长率为
（2）当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠
【解析】
【分析】（1）设年平均增长率为，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可；
（2）设当每杯售价定为元，根据利润的数量关系列式求解即可；
本题主要考查一元二次方程与实际问题的综合，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
【小问1详解】
解：设年平均增长率为，
∴，解得，，（舍），
∴年平均增长率为．
【小问2详解】
解：设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额，
∴，整理得，，
解得：，，
∵让顾客获得最大优惠，
∴，
当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠．
21. 如图，在中，，．
（1）尺规作图：将绕点A顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—画三角形，勾股定理，旋转性质：
（1）以点为圆心，以为半径，画弧交于一点，即为点，再以点为圆心，以为半径，画弧，以点为圆心，取以与相等的长度为半径，画弧，这两弧交于一点，即为点，依次连接即可；
（2）运用勾股定理解出，结合旋转图形的对应边相等，即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：
∵在中，，，
∴，
∵绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
．
22. 如图，在中，，与边相切于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，圆周角定理和相等的圆心角所对的弧线段，所对的弦线段的性质解答即可；
（2）设的半径为r,利用圆的性质定理，含角的直角三角形的性质，求得圆的半径，再利用等边三角形的判定与性质解答即可．
【小问1详解】
连接，如图，
∵为半圆的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
设的半径为r，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴
23. 根据以下思考，探索完成任务．
【答案】任务1：或；任务2：ABE；任务3：
【解析】
【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义进行求解即可；
（2）分别算出五个点作为D点时的值即可得到答案；
（3）先求出直线的解析式为，设，则，再分当时， 当时，两种情况求出的最值情况即可得到答案.
【详解】解：任务1：∵，
∴，
∴，
∴，
∴消防站的位置为或；
任务2：当选作为D点时，
∵，，
∴，，
∴；
同理当作为D点时，；
当作为D点时，；
当作为D点时，；
当作为D点时，；
∴当选则或或时最小，
故答案为：ABE；
任务3：设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
当时，，
∴此时当时，有最小值；
当时，，
∴此时，
综上所述，得到最小值．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，正确理解题意是解题的关键．
24. 内接于，，点P是射上动点．射线绕点O逆时针旋转得到射线，点Q与点O不重合，连接，.

（1）求的半径；
（2）当时，在点P运动的过程中，点Q的位置会随之变化是其中任意两个位置，探究直线与的位置关系．
【答案】（1）
（2）直线与相切，见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形的外接圆，弧长公式，切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，学会添加常用辅助线，同弧所对的圆周角相等.
（1）连接，设的半径为r，利用弧长公式构建方程求解；
（2）连接，过点O作于E，过点Q作于F．证明，可得结论．
【小问1详解】
连接，设的半径为r,

∵，
∴．
∴．
∵与同对，
∴．
∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
结论直线与相切．
理由：连接，过点O作于E，过点Q作于F．

由（1）得，，
∴．
∵于E，
∴．
∵
∴．
∵在中，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
在与中，，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴中，．
即点Q在过点C，且与射线夹角为的射线上．
∵是点Q的任意两个位置，
∴直线即为直线．
∵在中，，
∴．
∴，即．
∵点C在上，
∴直线与相切．
∴直线与相切．
25. 已知抛物线关于直线对称，且过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过的直线和直线均与抛物线有且只有一个交点．
①求的值；
②平移直线，，使平移后的两条直线都经过点，且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为，的中点，证明直线经过定点
【答案】（1）
（2）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴得出，求出b的值，再将点代入求出c的值，即可得出抛物线解析式；
（2）①把分别代入两个解析式，得出，则直线和直线，根据直线和直线均与抛物线有且只有一个交点，得出方程有两个相等实数根，求出，，即可推出是方程的两根，根据一元二次方程根于系数的关系即可求解；
②根据，且都经过，可以设直线的解析式为，直线的解析式为，结合，推出直线的解析式为，联立方程，得出P、Q、G、H的横坐标，再根据中点坐标公式得出点M和点N的横坐标，进而得出点M和点N的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式，即可求证．
【小问1详解】
解：∵抛物线关于直线对称，
∴，
∴，
将点代入得：
∴，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
①解：∵直线和直线过，
∴，
∴，
∴直线和直线，
∵直线和直线均与抛物线有且只有一个交点，
∴，
∴，
∴，
，
∴是方程的两根，
∴；
②证明：∵，且都经过，
∴设直线的解析式为，直线的解析式为，
∵，则
∴直线解析式为，
联立方程组，
整理得，，
设点G横坐标为，点H横坐标为，
∴，
∵点M为中点，
∴点M横坐标为，则点M纵坐标为，
∴，
同理可求，即，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴直线经过定点．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系．x
…
0
1
3
…
…
2
5
5
…
曼哈顿距离的思考
问题背景
很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．定义城市内街道上两点，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．
素材1
如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，可得矩形上及内部的任意格点（坐标为整数的点）为，都有．
素材2
在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示（如图）．该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站，其中格点位置四通八达．
任务1
探求消防站位置
若火警高危点，消防站的坐标为，且与点的曼距，请求出消防站的位置；
任务2
选择最适合位置
若火警高危点，，按设计要求最小，则下列5个点中最适合设为消防站的是___________；（写出所有正确的序号）
A． B． C． D． E．
任务3
拟定最短曼距方案
如图，一条笔直的公路起点为，点为公路上一点．若消防站在原点处，请探究消防站到公路（即射线）上一点的曼距的最小值．