广东省广州市黄埔区黄埔军校纪念中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份广东省广州市黄埔区黄埔军校纪念中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟；满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下面图形中，轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，理解基本定义是解题关键．
2. 设三角形三边之长分别为6，a，2，则a的值可能为（ ）
A. 6B. 4C. 8D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先根据三角形的三边关系列出不等式，求出a的取值范围，进而确定a的可能取值．
【详解】解：根据题意得：6-2＜a＜6+2，即4＜a＜8
所以只有选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3. 下面计算正确的是（ ）
A. B. C. D. 更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、同底数幂的乘法以及积的乘方的运算法则逐一判断即可．
【详解】A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用关于y轴对称点的特点（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出答案．
【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的特点，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
5. 正n边形每个内角的大小都为108°，则n=（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：∵正n边形每个内角的大小都为108°，∴每个外角为：72°，则n=360°÷72°=5．故选A．
考点：多边形内角与外角．
6. 如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意已知 ，是公共边，选项A可利用全等三角形判定定理“角边角”可得，选项B可利用全等三角形的判定定理“角角边”可得；选项C可利用全等三角形判定定理“边角边”可得，唯有选项D不能判定.
【详解】选项A，∵∴ 即
∵ ，是公共边，，∴（角边角），故选项A不符合题意；
选项B，∵，，是公共边，∴（角角边），
故选项B不符合题意；
选项C，∵，，是公共边，∴（边角边）
故选项C不符合题意；
添加DB=CB后不能判定两个三角形全等，故选项D符合题意；
故选D
【点睛】本题旨在考查全等三角形判定定理，熟练掌握此知识点是解题的关键.
7. 点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等，可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短，即可得出结论．
【详解】∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴点P到OB的距离为5，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理以及垂线段最短，熟练掌握相关内容是解题的关键．
8. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解．
【详解】解：设两内角的度数为x、4x，
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x＝180°，x＝20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x＝180°，x＝30°，4x＝120°；
综上分析可知，等腰三角形的顶角度数为20°或120°，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形内角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质．
9. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出与是等腰三角形，再证明为等边三角形即可．
【详解】解：连接．
∵的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
10. 如图，和均与成轴对称，对称轴分别是直线，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得，，，再结合三角形的内角和和外交定理可求得，由此可得．
【详解】解：∵和均与成轴对称，
∴，，，
∵，
∴，
由三角形的外角性质得，，
，
，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理和外角定理，轴对称的性质．理解轴对称的性质是解题关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式分解即可；
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式分解因式，找到公因式是求解的关键．
12. 如果等腰三角形两边长是和，那么它的底边长是________．
【答案】##3厘米
【解析】
【分析】分两种情况讨论：若以为腰，若以为腰，即可求解．
【详解】解：若以为腰，该三角形的三边长为、、，
∵，
∴不能构成三角形，不合题意，舍去；
若以为腰，该三角形的三边长为、、，
∴，
综上所述，该三角形底边长是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．
13. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于_______．

【答案】##105度
【解析】
【分析】先求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
【详解】
由题意得：,
由三角形的外角性质得，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键.
14. 计算的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据积的乘方的逆运算法则求解即可．
【详解】
．
故答案为：.
【点睛】此题考查了积的乘方的逆运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方的逆运算法则．
15. 一棵大树在一次强台风中于地离面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为____________．
【答案】15米
【解析】
【分析】由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面5米处折断倒下，即BC=5米，所以得到AB=10米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．
【详解】解：∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，
∴AB=2CB，
而BC=5米，
∴AB=10米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=15米．
故答案为：15米
16. 如图，已知中，，是边上的中点，，交于，于点，，连接．作交于点，连接，则下列结论正确的有________（填编号）
①；②；③；④．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】根据等腰三角形性质：“三线合一”可得：，平分，再利用“等角的余角相等”即可判断结论①正确；利用证明，可得，进而可得，即可判断结论④正确；利用证明，可得，即可判断结论③正确；由于，，，即可判断结论④正确．
详解】解：∵，
∴，
∵D是边上的中点，
∴，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．故①正确；
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴；故④正确．
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；故②正确．
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；故③正确．
综上所述，正确的有①②③④．
故答案：①②③④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质等知识，是一道综合题目，解答的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算同底数幂的乘法，积的乘方，然后合并同类项即可．
【详解】
．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
18. 如图，利用尺规，在的边上方作，使得．（不写作法，要求保留作图痕迹）

【答案】见解析
【解析】
【分析】利用尺规作一个角等于已知角的方法求解即可．
【详解】如图所示，即为所求，
【点睛】本题考查尺规作一个角等于已知角，解题的关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题．
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则求解即可．
【详解】
．
【点睛】此题考查了多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握多项式除以单项式的运算法则．
20. 已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE.求证:△ACD≌△CBE.
【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：根据中点定义求出AC=CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD=∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE．
试题解析：证明：∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B..
∵点CAB中点，∴AC=CB.
又∵CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS）
考点：1.平行的性质；2全等三角形的判定.
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】首先根据整式的乘法混合运算法则化简，然后代入求解即可．
【详解】
∵
∴原式．
【点睛】此题考查了整式的乘法混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的乘法混合运算运算法则．
22. 已知，，．

（1）画出关于轴对称的，并直接写出点的对称点的坐标；
（2）在轴上求作一点，使得最短，此时点的坐标是________；
（3）点在轴上，且满足为等腰三角形，则这样的点有________个．
【答案】（1）画图见解析，
（2）画图见解析，
（3）3
【解析】
【分析】（1）先根据，，找其关于y轴轴对称的点、、的坐标，再两两连线即可；
（2）连接交y轴于点P即为所求；
（3）以C为圆心，为半径画弧，交于x轴于点和，再作的垂直平分线交x轴于，即可作答．
【小问1详解】
解：∵，，，
又∵关于y轴对称的两点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴，，，
顺次连接，作图如下：

则即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，点P即为所求；

根据题意可得，点的坐标是；
【小问3详解】
解：以C为圆心，为半径画弧，交于x轴于点和，再作的垂直平分线交x轴于，作图如下：

连接，，，，，，
根据作图可知：，，
即可知：，，，是等腰三角形，
即当Q点落在，，时，即可使得是等腰三角形，
由图可知：以A为圆心，为半径的圆与x轴没有交点，即不存在的情况，
即满足要求的Q点有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了画关于y轴轴对称的图形，求解对应点的坐标以及等腰三角形的定义等知识，掌握关于y轴对称的两点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解答本题的关键．
23. 两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5．
（1）若ab=2，求a+b的值；
（2）若a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，求a+b和m的值．
【答案】（1）±3；（2）2，．
【解析】
【分析】（1）先根据完全平方公式求出（a+b）2，再求出即可；
（2）两等式相加、相减，变形后求出a+b=2，再变形后代入a2+b2-2（a+b）=2m，即可求出m．
【详解】解：（1）∵a2+b2=5，ab=2，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=5+2×2=9，
∴a+b=±3；
（2）∵a2-2a=m，b2-2b=m，
∴a2-2a=b2-2b，a2-2a+b2-2b=2m，
∴a2-b2-2（a-b）=0，
∴（a-b）（a+b-2）=0，
∵a≠b，
∴a+b-2=0，
∴a+b=2，
∵a2-2a+b2-2b=2m，
∴a2+b2-2（a+b）=2m，
∵a2+b2=5，
∴5-2×2=2m，
解得：m=，
即a+b=2，m=．
【点睛】本题考查了分解因式和完全平方公式等知识点，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．

（1）求证：△ABD≌△ACD．
（2）求∠ADE的度数．
（3）试猜想线段DE，AD，DC之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）详见解析；（2）60°；（3）DE＝AD+CD，理由详见解析.
【解析】
【分析】(1)根据题干信息可以利用进行判定;
(2)易求的大小，易求所在直线垂直平分，根据等腰三角形底边三线合一性质可得平分，根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可解题；
(3)连接，易证，可得，根据即可求得 ．
【详解】解：(1)证明：在和中，
，

(2)解： ，
，

，
，
，
，
；
(3)解：，
理由如下：在线段DE上截取，连接，

，
是等边三角形，
．
，
，
在和中，
,

，
，
．
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，需要根据题中条件进行转化.
25. 在等边中，为射线上一点，是外角的平分线，，于．
（1）如图1，求证；
（2）如图1，若点线段上（不与，点重合），求证：；
（3）如图2，若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1）答案见解析．
（2）答案见解析． （3）不成立．理由见解析．
【解析】
【分析】（1）∵为等边三角形，，∴，∵为角平分线，∴即可得出结论．
（2）过点作交延长线于，证得，得出，进一步利用，得出结论．
（3）证明方法同（1）得出（2）不成立．
【小问1详解】
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图，
过点作交AB于G，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是外角平分线，
∴,
∴
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
不成立，此时，理由如下：如图，
∵
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定，利用边角关系及等量代换求得结论．