湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题（解析版）

这是一份湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合，用交集的运算性质计算即可.
【详解】，，
所以．
故选：B
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，，
解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C
3. 若，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 【分析】结合得，即可逐个判断.
【详解】由知单调递减，又，则，B错误；
则，A错误；
，C错误；
由二次函数知，单调递减，则，D正确.
故选：D
4. 已知幂函数的图像过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】，把点代入解析式求得，再求.
【详解】为幂函数，设，依题意，解得，
所以，则．
故选：B．
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由，得且，所以“”可以得到“”；
由，得，所以“”不能得到“”.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知是上的奇函数，且当时，，若，则（ ）
A. 1B. －2C. －1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，由题意，建立方程，可得答案.
【详解】由是上的奇函数，则，且，
由，则，解得，
.
故选：A.
7. 已知函数的图象如图所示，则的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的性质求解.
【详解】在y轴左侧作函数关于y轴对称的图象，得到偶函数的图象，向上平移一个单位得到的图象．
故选:D．
8. 已知实数，则（ ）
A. 有最小值2B. 有最大值2
C. 有最小值6D. 无最小值
【答案】B
【解析】
【分析】对分式变形，利用均值不等式求导即可得解.
【详解】，
因为，所以.
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为2.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列能够表示集合到集合的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的概念判断各选项即可.
【详解】对于A，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故A正确；
对于B，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故B正确；
对于C，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故C错误；
对于D，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故D正确.
故选：ABD.
10. 若集合A，B，U满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据韦恩图即可得之间的关系，进而结合选项即可逐一求解.
【详解】
由知：与没有共同的元素，故，故A正确，
∴，即B错误；仅当时，即C错误；，即D正确．
故选：AD．
11. 不等式对任意的恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】将原不等式转化为一元二次不等式恒成立问题，根据二次函数的性质求解.
【详解】 可整理为 ，根据二次函数的性质有：
，故A正确；
当时，满足 ，即原不等式成立，B错误；
由 ，得 ，所以 ，C正确；
，D正确；
故选：ACD．
12. 若，，当时，，则下列说法正确是（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的单调递增区间是
C. 的最小值为－4D. 方程的解集为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数的对称性和单调性求解即可.
【详解】因为，，
所以关于直线轴对称，故A正确；
当时，，所以的单调递增区间为，
又因为关于直线轴对称，所以的单调递增区间为和，
两区间中间不可用并，所以B不正确；
当时，所以的最小值为-4，故C正确；
当时，方程的解为，因为关于直线轴对称，
所以方程的解集为，所以D错误；
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 命题的否定为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词求解即可.
【详解】命题的否定为.
故答案为：.
14. 已知，则_________．
【答案】（且）
【解析】
【分析】使用换元法求解，在换元时，需注意定义域.
【详解】由，
令，（且，且），
则，（且），
∴（且）,
∴（且）.
故答案为：（且）.
15. 郭老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为；③在上为单调减函数．郭老师说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确．请你写出一个这样的函数_____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意可知符合题意的函数不止一个，符合其中两个条件，不符合另一个，比如即可.
【详解】由题意可得满足②③，不满足①,符合题意，
故答案为: .
16. 若对，使得成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由关于的一元二次不等式恒成立得，参变分离后再由基本不等式求解最值．
【详解】由，得．
由题意可得，使得成立，
即，使得成立．
，当且仅当时等号成立，故．
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合.
（1）求
（2）若，，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简集合A，然后根据补集运算求出，最后再求.
（2）由题意可知或，解不等式即可.
【小问1详解】
解：，，
则.
【小问2详解】
集合，，
.
若，则，即；
若则解得.
综上，实数的取值范围为.
18. 已知二次函数的图象关于直线对称，且经过原点与点．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上的最小值为，其中，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；
（2）由函数在区间上取到函数的最小值，得对称轴与区间的关系，建不等式求解即可.
【小问1详解】
由二次函数的图象关于直线对称，
可设，，
则解得
∴的解析式为．
【小问2详解】
由题知，的对称轴为，且．
∵在区间上的最小值为，
∴，又，解得，
即实数m的取值范围为．
19. 已知.
（1）当时，若同时成立，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简，当时，解出，求它们的交集即可；
（2）是的充分不必要条件，即所对应的集合所对应的集合，结合包含关系，即可求.
【小问1详解】
当时，，即，
，即，
若同时成立，则，
即实数的取值范围为.
【小问2详解】
由（1）知，，
，
即，
①当时，，
若是的充分不必要条件，则，解得；
②当时，，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
20. 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．
（1）证明榶水不等式；
（2）已知是三角形的三边，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由作差法证明；
（2）由糖水不等式变形证明．
【小问1详解】
，
因为，所以，
所以，即．
【小问2详解】
因为是三角形的三边，所以，
由（1）知，
同理，
所以，
所以原不等式成立．
21. 已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，．
（1）判断函数的奇偶性并用定义证明；
（2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式：．
【答案】（1）函数是奇函数，证明见解析；
（2）函数在上单调递减，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法先求出，再得到的关系，进而可证奇偶性；
（2）先取值，然后还是利用赋值法得到的正负，继而证明单调性；
（3）结合前两问所得奇偶性与单调性，利用单调性的逆用即可求解抽象函数不等式.
【小问1详解】
函数是奇函数，证明如下：
令，则，解得；
令，则，令，则，
∴为定义在上的奇函数．
【小问2详解】
函数在上单调递减，证明如下：
设，则，∴．
，则，则；
又，
∴，又当时，，∴，
∴，即，∴在上单调递减．
【小问3详解】
由得，
∵的定义域为且在上是单调递减的，
，解得，∴不等式的解集为．
22. 某生活超市经销某种蔬菜，经预测从上架开始的第且天，该蓅菜天销量（单位：）为.已知该种蔬菜进货价格是3元，销售价格是5元，该超市每天销售剩余的该种蔬菜可以全部以2元的价格处理掉.若该生活超市每天都购进该种蔬菜，从上架开始的5天内销售该种蔬菜的总利润为元.
（1）求的解析式；
（2）若从上架开始的5天内，记该种蔬菜按5元售价销售的总销量与总进货量之比为，设，求的最大值与最小值.
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到前5天的销量，分和，两种情况讨论，分别求得函数的解析式，即可求解；
（2）根据题意，得到，结合函数的单调性，进而求得函数的最值.
小问1详解】
解：由第天销量为，
可得前5天销量依次为，
当时，可得；
当时，
可得，
所以解析式为.
【小问2详解】
解：从上架开始的5天内该种蔬菜的总进货量为，
当时，，可得
则，
因为与在上都是增函数，
所以在上是增函数，所以，.