江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

这是一份江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题：祁云 朱骏 审核：朱骏
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ )
A．B．C．D．
2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ )
A．B．C．D．
3．函数的定义域为（ )
A．B．C．D．
4．函数的部分图象大致为（ )
A．B．C．D．
5．下列函数中，值域是的是（ )
A．B．
C．D．
6．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（ )
A．B．0C．1D．2更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 7．已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（ )
A．B．C．为奇函数D．为偶函数
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设函数，当为R上的增函数时，实数a的值可能是（ )
A．1B．2C．3D．4
10．下列说法中，正确的是（ )
A．集合和表示同一个集合
B．函数的单调增区间为
C．若，，则
D．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时
11．若，，则下列说法正确的有（ )
A．大于4B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值是
12．黎曼函数是由德国数学家黎曼发现提出的特殊函数，它在高等数学中被广泛应用．定义在上的黎曼函数，关于黎曼函数，下列说法正确的是（ )
A．B．若，方程没有实数根
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则的解析式是_______．
14．函数的最大值为_______．
15．命题“，关于x的不等式成立”为假命题，则实数a的取值范围是_______．
16．设，，若，则的最大值为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（1）化简求值：；
（2）已知，求的值．
18．已知集合，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数m的取值范围．
19．某小微企业生成A，B两种产品，根据市场调查可知，A产品的利润与投资额x成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资额单位都是万元）．

图1图2
（1）分别写出和的函数关系式；
（2）该企业已筹集到28万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这28万元投资，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．
20．已知函数，是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数在和上的单调性并证明；
（3）若对于任意，恒成立，求实数n的取值范围．
21．已知函数．
（1）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围；
（2）当时，解关于x的不等式；
（3）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围．
22．已知函数．
（1）当时，直接写出函数的单调区间（不需证明）；
（2）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（3）当时，若函数在上既有最大值又有最小值，求证：恒成立．
2023—2024学年第一学期高一年级期中测试
数学答案
1．
【答案】C
【解析】因为，，选C．
2．
【答案】A
【解析】因为的定义域为，则．
即的定义域为，选A．
3．
【答案】B
【解析】由有意义，则，所以，且，解得，选B．
4．
【答案】B．
【解析】 ，，所以是奇函数，排除C，又时，，排除A，D，选B．
5．
【答案】D
【解析】时，选项A错误；
对选项C，函数的定义域为，所以函数值域不连续，C错误．
对选项B，因为，B错误；
对选项D：因为的取值范围是，所以函数的值域为．选D．
6．
【答案】D
【解析】，或，或，
由题意，，且，解得，检验符合题意，所以选D．
7．
【答案】B
【解析】因为函数为幂函数，则，得或．
当时，为偶函数，符合题意；当时，为非奇非偶函数，不合题意，所以，，则，的对称轴为直线．
①若函数在上为增函数，则，解得；
②若函数在上为减函数，则，解得．
综上所述，实数a的取值范围是．选B．
8．
【答案】D
【解析】令，则，，，选项A错误；
令，，则，即，则，选项B错误；
，不是奇函数，选项C错误；
令，则，即，故，为偶函数，选项D正确；选D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．
【答案】AB
【解析】依题意，当时，为增函数，则；当时，为增函数，则；又为R上的增函数，则，解得，综上，，所以A，B正确，C，D错误．选AB．
10．【答案】BC
【解析】对于选项A，集合中元素为数，集合为点，所以A错误；
对于选项B，根据解得函数的定义域为，因为函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为，所以B正确；
对于选项C，所以C正确；
对于选项D，因为当时，，当时，，
所以，又因为是定义在R上的奇函数，所以，所以D错误．选BC．
11．
【答案】ABD
【解析】对于选项A，，当且仅当，时等号成立．此时，所以，所以A正确：
对于选项B，，当且仅当时等号成立，所以B正确．
对于选项C，，当且仅当，且，即，时等号成立，所以的最小值为，所以C错误．
对于选项D，．，当且仅当，且，即，时等号成立，所以的最大值为，所以D正确．选ABD．
12．
【答案】ACD
【解析】由定义，选项A正确；对于选项B，当时，是方程的实数根，所以B错误．
对于选项C，若x为上的无理数，则也为上的无理数，此时；若，则，此时；若，则，此时；若x为上的有理数，设（其中p，q为正整数，为最简真分数），则，此时也为有理数，且为最简真分数，此时，所以C正确；
对于选项D，①若a与b中至少一个为0或1或中的无理数时，则，而恒成立，满足，
②若a与b都为内的有理数时，设，（为正整数，，为既约真分数），所以，，又，当能约分时，ab写成既约真分数分母小于，设为（即)，则，当不能约分时，，综上，可知成立，D正确．选ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
【答案】 ．
【解析】令，则，所以．所以．
14．
【答案】
【解析】，因为，
所以，当时等号成立，所以．
15．
【答案】
【解析】依题意，命题“，关于x的不等式成立”，
当时，，
当且仅当，即时取等号，因此，
解得，所以实数a的取值范围是．
16．
【答案】
【解析】由得，又，，所以，同理．
因为，所以，所以．
又．
用基本不等式知．
当且仅当，即，即，时等号成立，所以的最大值为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解（1）原式；
（2)两边平方得，，
再两边平方得．
18．解（1）当时，．
，
．
（2）当时，，则；
当时，
可得，或，解得，．
综上可得，实数m的取值范围是．
19．
解（1）依题意：可设，，
，，
，．
（2）方法一：设投资A产品x万元，则B产品的投资为万元，利润为y万元，
依题意得：，
即，
令，则，，
则，
所以当，即万元时，收益最大，万元．
所以当A产品投入24万元，B产品投入4万元，企业获得最大利润为4万元．
方法二：设投资B产品x万元，则A产品的投资为万元，利润为y万元，
依题意得：，
即，
令，则，，
则，
所以当，即万元时，收益最大，万元．
所以当A产品投入24万元，B产品投入4万元，企业获得最大利润为4万元．
20．解（1)，是奇函数，所以，
当时，，
，，是奇函数，所以；
（2）函数在上单调递增，在上单调递减，证明如下：
，且，有
，
①当时，，即，
又，所以，即，
所以函数在上单调递减．
②当时，，，即，
又，所以，即，
所以函数在上单调递增．
（3）设，．
若对于任意，恒成立，只需，即．
由（2）得．
又，时，，所以，
所以，n的取值范围是．
21．
解（1）根据题意，①当，即时，，不合题意；
②当，即时，
的解集为R，即的解集为R，
．
即，，故时，，或，故．
综上，m的取值范围是。
（2) ，即，
即，即，
①当，即时，；
②当，即时，．
，所以或；
③当，即时，
，所以．
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（3）不等式，即，即．
恒成立，，
设，，．
．
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
所以m的取值范围是．
22．
解（1）当时，，
由二次函数单调性知在单调递减，在单调递减．
的单调递减区间为．
（2）当时，，
由二次函数单调性知在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，
所以；
．
（3）当时，，
故在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，
又函数在上既有最大值又有最小值，则最大值，最小值．
当且时，有，解得，故，
当且时，由，解得，故，
，
又，，恒成立．