上海市七宝中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版）

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 在等比数列中，若，则公比______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用等比数列的通项公式计算即可.
【详解】，，
，
得.
故答案为：.
2. 若存在，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得出，从而可解出实数的取值范围.
【详解】由于存在，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案.
【点睛】本题利用极限求参数的取值范围，要结合等比数列极限的存在与公比的关系进行求解，考查计算能力，属于基础题.
3. 已知四面体分别是的中点，且，，，则用表示向量______．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理结合图像即可得出答案.
【详解】解：如图：更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 .
故答案为：.
4. 已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则=___
【答案】
【解析】
【详解】设数列公差为非零常数d，由题意，即，解得.
所以.
故答案为：
5. 已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆．则圆锥的高为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，再根据圆锥的表面积公式求出，再利用勾股定理即可得解.
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，
由于圆锥侧面展开图是一个半圆，
故有，
即圆锥母线长为，
又圆锥的表面积为，
解得，所以，
所以圆锥的高为.
故答案为：.
6. 能说明“设数列的前项和，对于任意的，若，则”为假命题的一个等比数列是__________．（写出数列的通项公式）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据数列单调性结合的符号可得出结果.
【详解】取，则，则，
但，故满足题意.
故答案为：.（答案不唯一）
7. 已知数列是首项为a，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件推出，结合数列为递增数列可得，利用等差数列的通项公式即可求得答案.
【详解】因为对任意的，都有成立，且，所以,
又数列的公差为1，所以数列为递增数列，
所以 ，即 ，解得,
即实数a的取值范围是，
故答案为：.
8. 在共有2023项的等比数列中，有等式成立，类比上述性质，在共有2023项的等差数列中，相应的有等式______成立．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用等差数列的定义及通项公式计算即可.
【详解】相应的有等式为：
，
证明：设等差数列的公差为，
则
.
故答案为：
9. 长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合中元素的个数为____________个.
【答案】1
【解析】
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积可得，即可得答案.
【详解】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，，
因为，
则对任意，，
均有，
所以集合，只有一个元素.
故答案为：1
10. 年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分析可得数列是周期为的数列，结合周期性分析运算.
【详解】由数列，，，，，，，，，，各项除以的余数，
可得数列为，，，，，，，，，，，，，，1，，
所以数列是周期为的数列，
一个周期中八项和为，
又因为，
所以数列的前项的和.
故答案为：.
11. 已知数列，对任意正整数，，，成等差数列，公差为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由累加法算数列的通项公式，再由递推公式求结果.
【详解】因为，对任意正整数，，，成等差数列，公差为，
所以
当时，可得，
当时，
所以当时，
故答案为：
12. 如图，已知正方体的棱长为2，P为正方形底面内的一动点，则以下结论：
（1）三棱锥的体积为定值；
（2）若点为的中点，满足平面的点的轨迹长度为2；
（3）若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段；
（4）以点为球心，为半径的球面与面的交线长为．正确的有______．（填写所有正确结论的序号）
【答案】（1）（3）（4）
【解析】
【分析】由三棱锥的性质可得（1）；先证面面平行，找到点的轨迹为，再求长度即可判断（2）；证明即可判断（3）；利用等体积法求交线长度即可判断（4）.
【详解】
对于（1），以相同顶点命名的三棱锥体积相同，故三棱锥的体积等于的体积，因为点到上底面的距离等于棱长，故（1）正确；
对于（2），取的中点分别为，连接，
由图像可知，，
又因为，
，当点在上时，
因为正方体棱长为，的中点分别为
所以，
故（2）错误；
对于（3），以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，
则
，
且，且都在平面内，
所以，
所以点轨迹是线段，故（3）正确；
对于（4），为正三角形，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
由等体积法，可得
解得，
故以点为球心，为半径的球面与面的交线长为
故（4）正确；
故答案为：（1）（3）（4）
【点睛】本题为立体几何压轴题，（1）直接求即可；（2）面面平行得到线面平行，再用勾股定理求长度；（3）为线面垂直找轨迹，（4）等体积法求交线的长度；分析量比较大，属于较难题型.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13. 已知，，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量垂直时数量积等于零，通过向量数量积的坐标表示建立方程求解即可.
【详解】因为，，又，
所以，
解得，
故选：
14. 已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的韦达定理，根据等比数列的通项公式，可得答案.
【详解】由题意可得，，且数列为等比数列，设其公比为，
则，，.
故选：B.
15. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）．
A. 直径为的球体
B. 所有棱长均为的四面体
C. 底面直径为，高为的圆柱
D. 底面直径为，高为的圆柱体
【答案】D
【解析】
【分析】对于A：由正方体的内切球的直径大小来判断；对于B：由正方体内部最大的正四面体的棱长来判断；对于C：由正方体的体对角线的大小来判断；对于D：先确定底面直径为（不管高）的圆柱体能否放入，再确定高为能否放入.
【详解】对于A：棱长为的正方体内切球的直径为，，故不能放入；
对于B：如图，正方体内部最大的正四面体，其棱长为，
又，故不能放入；
对于C：因为正方体的体对角线长为，又，故不能放入；
对于D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过的中点作，设，
可知，则
即，解得，
且，即，
故以为轴可能对称放置底面直径为的圆柱，
若底面直径为的圆柱与正方体的底面均相切，设圆柱底面圆心为，与正方体底面切点为，
可知，
则，
即，解得，
根据对称性可知圆柱的高为，
所以能够被放入正方体内.
故选：D
16. 在数轴上，动点从原点出发往正向移动，动点从的位置出发开始往负向移动，两个动点每一秒移动一次，已知第一秒移动的距离分别为1、4，且每次移动的距离分别为其前一次移动距离的倍，倍，令为第秒时A、B的中点位置，则（1）；（2）；（3）数列是一个等比数列；（4）；（5）．请问其中正确的选项是（ ）．
A. （1）（4）B. （1）（2）（4）
C. （1）（3）（5）D. （1）（3）（4）（5）
【答案】A
【解析】
【分析】先利用等比数列的求和公式求出第秒时，动点在数轴上的位置，进而可得数列的通项公式，然后逐一判断每个结论即可.
【详解】第秒时，动点在数轴上的位置为，
第秒时，动点在数轴上的位置为，
则
则，（1）正确；
，（2）错误；
，
则，，，
因为，
故数列不是一个等比数列，故（3）错误；
，（4）正确；
，
因为，所以
所以，（5）错误.
故选：A.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 记为数列的前项和，已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，记，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用可整理得到，由此可得结论；
（2）结合等差数列通项公式可求得，采用裂项相消法可求得.
【小问1详解】
当且时，，
，
整理可得：，，
数列是公差为的等差数列.
【小问2详解】
由（1）得：，
，
.
18. 已知空间三点，，．
（1）求的面积；
（2）若向量，且，求向量的坐标．
【答案】（1）；（2），或．
【解析】
【分析】（1）先用空间向量的夹角公式求出夹角，再结合三角形面积公式即可求解；
（2）利用空间向量的共线的条件即可求解
【详解】（1）设向量，的夹角为，
由已知，，
，，
，
∵，∴，
∴．
（2）∵，∴，，
∵，即，即，
∴，
即，或．
19. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中8万吨垃圾以填埋方式处理，12万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的预算，预计从今年起，每年生活垃圾的总量递增，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加5万吨．
（1）请写出今年起第n年用填埋方式处理的垃圾量的表达式；
（2）求从今年起n年内用填埋方式处理的垃圾量的总和；
（3）预计今年起9年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾．
【答案】19.
20.
21. 第到第年不需要用填埋方式处理.
【解析】
【分析】（1）由题意直接写出的表达式；（2）利用分组求和方法求；（3）求出使得时的值即可.
【小问1详解】
由题意可知
【小问2详解】
由（1）可知
化简可得
【小问3详解】
当时，
当时，
当时，
当时，
所以第到第年不需要.
20. 在直角梯形中，，，，如图1把沿翻折，使得平面平面（如图2）．
（1）；
（2）若点为线段的中点，求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为?若存在，求出点的具体位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）可先证明，利用平面平面，可得平面，利用线面垂直的性质可得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出面的法向量，利用向量法可求点到平面的距离；
（3）假设在线段上存在点，使得与平面所成的角为，设出，求出，利用向量的夹角公式列方程求解即可.
【小问1详解】
由已知可得，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
；
【小问2详解】
以为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，
由已知得，
，
设平面的法向量为，
则，取，得
点到平面的距离.
【小问3详解】
假设在线段上存在点，使得与平面所成的角为，
设，
则，
，
，
整理得，该方程无实数解，
故在线段上不存在点，使得与平面所成的角为
21. 已知空间向量列，如果对于任意的正整数，均有，则称此空间向量列为“等差向量列”，称为“公差向量”；空间向量列，如果且对于任意的正整数，均有，，则称此空间向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”．
（1）若是“等比向量列”，为单位向量，求（用表示）；
（2）若是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，．求．
（3）若是“等差向量列”，，记，且，等式对于和2均成立，且，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）26.
【解析】
【分析】（1）由为单位向量，结合等比数列前项和公式，求解即可；
（2）由“等差向量列”定义和：等比向量列“定义得，，再利用数量积得坐标表示求出，再用错位相减法即可求解；
（3）根据题意构造函数，根据函数的性质建立不等关系，进行求解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由“等差向量列”定义和：等比向量列“定义知
，
，
，
设，
，
两式相减得
，
所以.
【小问3详解】
，所以，所以为等差数列，
所以，
由题意知，
构造函数，
则
，
所以函数至少又三个零点，，，，
由函数的图象与性质，可知为偶数，且满足，解得，
所以，解得，
的最大值为26.