专题11 平面直角坐标系（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题11 平面直角坐标系（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共24页。试卷主要包含了有序数对，平面直角坐标系，点的坐标符号，用坐标表示地理位置，用坐标表示平移等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
1．有序数对
（1）概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）注意：（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同．
2．平面直角坐标系
（1）对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
（2）坐标轴上的点：x轴，y轴上的点不属于任何象限．
3．点的坐标符号
4．用坐标表示地理位置
用坐标表示地理位置的过程和方法
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴和y轴的正方向．参照点不同，地理位置的坐标也不同．
（2）根据具体问题确定单位长度．
（3）在坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称．
5．用坐标表示平移
在平面直角坐标系中，
（1）将点（x，y）向右平移a个单位长度，对应点的横坐标加上a，而纵坐标不变，即坐标变为（x+a，y）
（2）将点（x，y）向左平移a个单位长度，对应点的横坐标减去a，而纵坐标不变，即坐标变为（x–a，y）．
（3）将点（x，y）向下平移a个单位长度，对应点的纵坐标减去a，而横坐标不变，即坐标变为（x，y–a）．
（4）将点（x，y）向上平移a个单位长度，对应点的纵坐标加上_a，而横坐标不变，即坐标变为（x，y+a）．
吃透考点
1．点的坐标特征
2．图形上点的坐标变化与图形平移间的关系
（1）横坐标变化，纵坐标不变：
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位
（2）横坐标不变，纵坐标变化：
原图形上的点（x，y）向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向下平移b个单位
（3）横坐标、纵坐标都变化：
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向下平移b个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向上平移b个单位
原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向下平移b个单位
3．用坐标表示地理位置
（1）确定坐标原点
用坐标表示地理位置时，要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置．不同的原点产生的地理位置的坐标也不同．原点不同，地理位置的坐标也不同．用适当的位置表示原点，可以降低计算的难度．
（2）如何确定x轴与y轴的方向
坐标轴的方向通常是选择以水平线为x轴，以向右为正方向（正东），以竖直线为y轴，以向上为正方向（正北），这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向保持一致．
4．用坐标表示平移
（1）一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到．
（2）对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移．
（3）在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度．
如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移a个单位长度．
考点1 点的坐标
【例1】如果是任意实数，则点一定不在第 象限．
A．一B．二C．三D．四
【答案】
【分析】根据题意可得，然后根据点在第四象限内，横坐标为正，纵坐标为负，即可求解．
【解答】解：根据题意得：，
点在第四象限内，横坐标为正，纵坐标为负，
点一定不在第四象限．
故选：．
【变式练1】已知点在第四象限，且到轴的距离是3，到轴的距离是8，则点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据象限确定坐标的符号，根据距离确定坐标的绝对值，得到点的坐标．
【解答】解：点在第四象限，
横坐标是正的，纵坐标是负的，
到轴的距离是3，到轴的距离是8，
点的坐标为．
故选：．
【变式练2】点在第四象限，则点到轴的距离是
A．3B．4C．D．
【答案】
【分析】点到轴的距离即是其纵坐标的绝对值．
【解答】解：点的纵坐标为，
则其到轴的距离为．
故选：．
【变式练3】在平面直角坐标系中，点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点在第二象限，
故选：．
【变式练4】如图，橡皮盖住的点的坐标可能是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据点在第二象限点的坐标特点可直接解答．
【解答】解：手的位置是在第二象限，
手盖住的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，
结合选项这个点是．
故选：．
【变式练5】在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据轴上的点的纵坐标为0，得出的值进而得出的坐标．
【解答】解：点在轴上，则，
解得，
，
故选：．
考点2 规律型：点的坐标
【例2】在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2023的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】每6个点一个循环，它们的纵坐标规律为：，0，，0，﹣，0，点P的横坐标规律为：，1，，2，，3，…，，即可求解．
【解答】解：每6个点一个循环，它的纵坐标规律为：，0，，0，﹣，0，
∵2023÷6＝，
∴点P2023的纵坐标为，
点P的横坐标规律为：，1，，2，，3，，，
∴点P2023的横坐标为，
∴点P2023的坐标（，），
故选：D．
【变式练1】如图，已知，，，，，则点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】通过观察可得点的变化每4个一循环，用2025除以4，通过余数判断出点的位置，再解答即可．
【解答】解：由图得，点的坐标有4种情况，依次在四个象限，
，
点在第四象限，纵坐标为，横坐标为，
的坐标是．
故选：．
【变式练2】如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点出发以2个单位长度秒的速度沿循环爬行，问第2025秒瓢虫在点
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先根据点的坐标求出一圈的长度，再计算爬行一圈所需要是时间，再求整个周期剩下的时间．
【解答】解：，
，
瓢虫7秒爬行一圈，
，
，
，
第2025秒瓢虫在点，
故选：．
【变式练3】如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点的坐标是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据前几次运动的规律可知第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，根据规律求解即可．
【解答】解：由题意可知，第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
第4次从原点运动到点，
第5次接着运动到点，
第6次接着运动到点，
第次接着运动到点，
第次接着运动到点，
第次从原点运动到点，
第次接着运动到点，
，
第2023次接着运动到点，
故选：．
【变式练4】如图，在直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上向右向下向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点，第次移动到点，则点的坐标是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意可得移动四次完成一次循环，从而得到点的坐标．
【解答】解：，，，，，，，
，
点的坐标为，
，
故选：．
【变式练5】如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴、y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2023次相遇地点的坐标是（ ）
A．（﹣1，1）B．（1，﹣1）C．（2，0）D．（﹣1，﹣1）
【答案】A
【分析】根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的位置规律．
【解答】解：由图已知，矩形周长为12，
∵甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒，
则两个物体每次相遇时间间隔为秒，
则两个物体相遇点依次为（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（2，0），（﹣1，1）……
∴两个物体相遇点以（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（2，0）三次为一个循环，
∵2023＝3×674+1，
∴第2023次两个物体相遇位置为（﹣1，1），
故选：A．
考点3 坐标确定位置
【例3】小明家位于公园的正东方向处，从小明家出发向北走就到小华家．若选取小华家所在位置为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，则公园的坐标是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题中描绘的点的位置画出平面直角坐标系即可．
【解答】根据题意画出平面直角坐标系如图：
由图可知公园的坐标为，
故选：．
【变式练1】“歼”是我国自主研制的第五代战斗机，属于单座双发隐形战斗机，具备高隐身性、高态势感知、高机动性的特点．如图，小静将一张“歼”一飞冲天的图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据点的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系，得出点的坐标即可．
【解答】解：点的坐标为，点的坐标为，
坐标原点在点左侧两个单位处，建立如图所示的平面直角坐标系，
点的坐标为，故正确．
故选：．
【变式练2】如图是某教室学生座位平面示意图，老师把王明的座位“第5列第2排”记为．若小东的座位为，则以下四个座位中，与小东相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用点的坐标特点得出与小东相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位．
【解答】解：如图所示：与小东相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是．
故选：．
【变式练3】“健步走”越来越受到人们的喜爱，一个健步走小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园（路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方），如图，假设在奥林匹克公园设计图上规定玲珑塔的坐标为，森林公园的坐标为，则终点水立方的坐标为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据玲珑塔的坐标确定坐标原点位置，然后画出坐标系，进而可得答案．
【解答】解：根据玲珑塔的坐标为，森林公园的坐标为，可画出坐标系：
水立方的坐标为，
故选：．
【变式练4】如图是某学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，分别以正东、正北方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，且艺术楼的坐标为，教学楼的坐标，则实验楼的坐标为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先根据艺术楼和教学楼的坐标，确定坐标原点，建立平面直角坐标系，再根据坐标系确定实验楼的坐标．
【解答】解：如图所示：
由平面直角坐标系可知：实验楼坐标为，
故选：．
【变式练5】如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．
【解答】解：如图所示：可得“炮”是原点，
则“兵”位于点：．
故选：．
考点4 坐标与图形性质
【例4】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，P的坐标分别为（3，0），（0，2），（1，4）．若AB∥PQ，且AB＝PQ，则点Q的坐标是（ ）
A．（﹣2，6）或（4，2）B．（﹣2，6）或（5，1）
C．（4，2）D．（5，1）
【答案】A
【分析】过点P作AB的平行线，根据点A到点B或者点B到点A的平移规律即可得到答案．
【解答】解：如图，过点P作AB的平行线，
∵AB＝PQ，
∴点Q可以看作由点P沿着直线AB的方向经过平移得到的，
∵点A，B的坐标分别为（3，0），（0，2），
∴点A可以看成点B向右平移3个单位，向下平移2个单位得到的，
或者点B可以看成点A向左平移3个单位，向上平移2个单位得到的，
∴点P（1，4）向左平移3个单位，向上平移2个单位得到，
或点P（1，4）向右平移3个单位，向下平移2个单位得到Q2（4，2），
即点P的坐标是（﹣2，6）或（4，2）．
故选：A．
【变式练1】已知点的坐标为，直线轴，且，则点的坐标为
A．B．或
C．D．或
【答案】
【分析】由轴，、两点横坐标相等，又，点可能在点上方或者下方，根据距离确定点坐标即可．
【解答】解：轴，
、两点的横坐标相同，都为3，
又，
点纵坐标为：，或，
点的坐标为：或；
故选：．
【变式练2】已知点的坐标为，过点的直线轴，点在直线上，且，则点的坐标为
A．或B．或
C．或D．或
【答案】
【分析】根据点的坐标为，过点的直线轴，点在直线上，且，可知点的纵坐标为3，横坐标为：或，然后即可得到点的坐标．
【解答】解：点的坐标为，过点的直线轴，点在直线上，且，
点的纵坐标为3，横坐标为：或，
即点的坐标为或，
故选：．
【变式练3】已知三角形是直角三角形，点用数对表示是，点用数对表示是，那么点不可能是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据，两点的坐标可知，且轴，再对照四个选项中点的位置即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点用数对表示是，点用数对表示是，
所以，且轴，
当点用数对表示是时，，，三点共线，无法构成三角形，
所以点不可能是．
当点用数对表示是或时，点在点的正上或正下方，
此时三角形是直角三角形．
当点用数对表示是时，点在点的正下方，
此时三角形是直角三角形．
故选：．
【变式练4】已知在平面直角坐标系中，有线段，其中点，点，则线段中点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由中点坐标公式即可求解．
【解答】解：，，
线段中点的坐标为．
故选：．
【变式练5】平面直角坐标系中，点，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据经过点的直线轴，可知点的纵坐标与点的纵坐标相等，可设点的坐标，根据点到直线垂线段最短，当时，点的横坐标与点的横坐标相等，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，
轴，点是直线上的一个动点，点，
设点，
当时，的长度最短，点，
，
点的坐标为．
故选：．
考点5 两点间的距离公式
【例5】已知点的坐标为，点在轴上，当、两点间的距离最短时，点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据垂线段最短确定答案即可．
【解答】解：点的坐标为，点在轴上，
当垂直轴时，、两点间的距离最短时，
此时点的坐标为，
故选：．
【变式练1】在平面直角坐标系中，点，，当线段长度最短时，的值为
A．0B．1C．2D．3
【答案】
【分析】根据垂线段最短即可解决问题．平面直角坐标系中，，，其中为任意实数，则线段长度的最小值为
【解答】解：，
点在直线上，
要使最小，
根据“垂线段最短”，可知：
过作直线的垂线，垂足为，
当线段长度最短时，的值为2．
故选：．
【变式练2】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是
A．1B．C．D．
【答案】
【分析】求出1与2的平方和的算术平方根即可．
【解答】解：点到原点的距离是．
故选：．
【变式练3】在平面直角坐标系中，点，，当线段最短时，的值为
A．2B．3C．4D．0
【答案】
【分析】根据垂线段最短可得答案．
【解答】解：由题意知，点在直线上运动，
垂直直线时，最短，
，
故选：．
【变式练4】，是平面直角坐标系中的两点，线段长度的最小值为 3 ．
【答案】3．
【分析】由得在轴上，故若线段的长度最小，垂线段最短，那么当轴时，线段长度最小，即．
【解答】解：如图．
，
在轴上．
线段的长度为点到轴上点的距离．
若使得线段长度的最小，由垂线段最短，
当在时，即轴，线段长度最小．
．
故答案为：3．
【变式练5】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 13 ．
【答案】13．
【分析】利用勾股定理直接计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，点到原点的距离为，
故答案为：13．
点的位置
横坐标符号
纵坐标符号
在第一象限
+
+
在第二象限
–
+
在第三象限
–
–
在第四象限
+
–
在x轴正半轴上
+
0
在x轴负半轴上
–
0
在y轴正半轴上
0
+
在y轴负半轴上
0
–
原点
0
0
点的坐标特征
坐标轴上的点（x，y）
在x轴上
（x，0）
在y轴上
（0，y）
在原点
（0，0）
点在各象限的坐标特点
第一象限
（+，+）
第二象限
（–，+）
第三象限
（–，–）
第四象限
（+，–）
象限角平分线上的点
第一、三象限
（m，m）
第二、四象限
（m，–m）
点P（a，b）到
坐标轴的距离
到x轴的距离=点P的纵坐标的绝对值，即|b|
到y轴的距离=点P的横坐标的绝对值，即|a|
具有特殊位置关系的两个点的坐标特征
点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于x轴的直线上
横坐标不相等，纵坐标相等，即x1≠x2，y1=y2
点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于y轴的直线上
横坐标相等，纵坐标不相等，即x1=x2，y1≠y2
点平移后的坐标特征
点（x，y）
向右平移a个单位长度
（x+a，y）
点（x，y）
向左平移a个单位长度
（x–a，y）
点（x，y）
向上平移b个单位长度
（x，y+b）
点（x，y）
向下平移b个单位长度
（x，y–b）
方
法
技
巧
点
拨
1．坐标轴上的点不属于任何象限．
2．点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a，b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A（a，b）叫做点A的坐标，记作A（a，b）．
3．各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（–，+）；第三象限（–，–）；第四象限（+，–）．
4．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．