专题16 图形的初步认识（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题16 图形的初步认识（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共80页。试卷主要包含了立体图形与平面图形，点、线、面、体，直线、射线、线段，角的概念，角度的单位及其表示方法，用量角器度量角，余角和补角等内容，欢迎下载使用。

夯实基础
1．立体图形与平面图形
（1）对于一个物体，如果我们不考虑它的颜色、材料和重量等，而只考虑它的形状（如方的、圆的）、大小（如长度、面积、体积）和位置（如平行、垂直、相交），所得到的图形就称为几何图形．如：
我们学习过的长（正）方体、圆柱（锥）体、长（正）方形、圆、三角形、四边形等都是几何图形．
（2）立体图形：各部分不都在同一平面内的图形，叫做立体图形．
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是立体图形，棱柱、棱锥也是常见的立体图形．
（3）平面图形：各部分都在同一平面内的图形，叫做平面图形．
长方形、正方形、三角形、四边形、圆等都是平面图形．
（4）立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但他们是互相联系的．
任何一个立体图形图形是由一个或几个平面图形围成的．
2．点、线、面、体
（1）体：长方体、圆柱体、球、圆锥等都是几何体．几何体也简称体．
（2）面：包围着体的是面．面分为平面和曲面两种．
如下图的圆锥体有2个面，一个是平面，另一个是曲面．
如下图的六棱柱有8个面，它们都是平面．
如下图的圆柱有3个面，2个是平面，另一个是曲面．
（3）线：面与面相交的地方形成线．线分为直线和曲线两种．如圆锥体的两个面相交形成曲线．
（4）点：线与线相交形成点．
（5）正方体展开图，共11种图形．
3．直线、射线、线段
（1）直线公理
经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
（2）直线相交
当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点．
（3）线段公理
两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．
（4）两点间的距离
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（5）中点
点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，点M叫做线段AB的中点．类似地，还有线段的三等分点、四等分点．
（6）尺规作图
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．
4．角的概念：
（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．
这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角有以下的表示方法：
①用三个大写字母及符号“∠”表示．
三个大写字母分别是顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间．
②用一个大写字母表示角，这个字母就是顶点．
注意：当有两个或两个以上的角是同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．
③用一个数字或一个希腊字母表示．在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上希腊字母或数字．
5．角度的单位及其表示方法：
（1）把圆周角等分成360等分，每一份就是1度的角，记作1°．
（2）把1度的角等分成60等分，每一份就是1分的角，记作1′．
（3）把1分的角等分成60等分，每一份就是1秒的角，记作1″．
（4）由此我们可以得出：
①1°=60′，1′=60″．②1周角=360°，1平角=180°．
（5）以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制．
（6）另外还有以弧度为单位的弧度制，军事上常用密位制．
1弧度==57°17′44″，1密位=．
6．用量角器度量角：
用量角器度量角分三步：对中、重合、读数．
7．余角和补角：
（1）一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角．
（2）一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角．
吃透考点
一、几何图形
对于各种各样的物体，如果只研究它们的形状、大小和位置，而不涉及它们的其他性质，就得到各种几何图形，几何图形包括立体图形和平面图形．
1．立体图形
有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，这样的几何图形叫做立体图形．
从不同的方向观察立体图形
从前往后看，得到的是主视图；从左往右看，得到的是左视图；从上往下看，得到的是俯视图．
2．平面图形
有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平内，这样的几何图形叫做平面图形．
3．点、线、面、体
（1）体：长方体、圆柱体、球、圆锥等都是几何体．几何体也简称体．
（2）面：包围着体的是面．面分为平面和曲面两种．
（3）线：面与面相交的地方形成线．线分为直线和曲线两种．
（4）点：线与线相交形成点．
二、直线、射线、线段
三、角
1．角的定义：
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两条边．
2．角的表示方法：
3．角的单位及角度制
角的度量单位主要有度、分、秒
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记住1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记住1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记住1″．
4．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说两个角互为余角，即其中一个角是另外一个角的余角．
（2）余角的性质：同角（等角）的余角相等．
（3）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这个两个角互为补角，即其中一个角是另外一个角的补角．
（4）补角的性质：同角（等角）的补角相等．
考点1 认识立体图形
【例1】（2023•平谷区二模）下列几何体中，是圆锥的为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】依据圆锥的特征进行判断即可，圆锥有2个面，一个曲面和一个平面．
【解答】解：．属于长方体（四棱柱），不合题意；
．属于三棱锥，不合题意；
．属于圆柱，不合题意；
．属于圆锥，符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•英德市二模）下面几何体中，是圆柱的为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据圆柱体的特征判断即可．
【解答】解：、是圆柱，故此选项符合题意；
、是圆锥，故此选项不符合题意；
、是三棱锥，故此选项不符合题意；
、是球体，故此选项不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•通州区模拟）下列几何体中是三棱柱的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据各个选项中几何体的形体特征进行判断即可．
【解答】解：．选项中的几何体是圆锥体，因此选项不符合题意；
．选项中的几何体数三棱柱，因此选项符合题意；
．选项中的几何体是三棱锥，因此选项不符合题意；
．选项中的几何体是圆柱，因此选项不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•雁塔区校级模拟）下列图形中，经过折叠不能得到三棱柱的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三棱柱展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：根据三棱柱的展开图的特征可知，选项中的展开图不能折叠成三棱柱，
故选：．
【变式练4】（2023•花溪区模拟）下列几何体中，圆锥是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据圆锥的特征即可求解．
【解答】解：根据圆锥的特征，
由圆锥特征可知，圆锥是选项，
故选：．
【变式练5】（2023•新乡二模）如果一个几何体恰好可以无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过如图所示的“墙”上的3个空洞，则该几何体为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】观察哪个几何体的三视图中有正方形，三角形及长方形即可．
【解答】解：、三视图分别为正方形，三角形及长方形，故选项符合题意；
、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故选项不符合题意；
、三视图分别为长方形，长方形及圆，故选项不符合题意；
、三视图分别为圆，圆，圆，故选项不符合题意；
故选：．
考点2 点、线、面、体
【例2】（2023•长安区校级二模）如图所示的平面图形绕直线旋转一周，可以得到的立体图形是
A．B．C．D．
【分析】从正面看得到的平面图形是从上到下为等腰三角形，长方形．
【解答】解：面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，
那么所求的图形是下面是圆柱，上面是圆锥的组合图形．
故选：．
【变式练1】（2023•泌阳县一模）圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么下列四个选项绕直线旋转一周可以得到如图立体图形的是
A．B．C．D．
【分析】如图本题是一个平面图形围绕一条边为中心对称轴旋转一周根据面动成体的原理即可解．
【解答】解：由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周可得到圆柱体，如图立体图形是两个圆柱的组合体，
则需要两个一边对齐的长方形，绕对齐边所在直线旋转一周即可得到，
故选：．
【变式练2】（2023•修文县模拟）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，可以得到的立体图形是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由面动成体可得出结论．
【解答】解：矩形对边相等，
将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周时，上下形成面积相同的两个底圆，
由面动成体可知形成了规则的柱体：圆柱．
故选：．
【变式练3】（2023•湖北二模）将长方形绕着它的一边旋转一周得到的立体图形是
A．正方体B．长方体C．棱柱D．圆柱
【分析】本题是一个矩形绕着它的一边旋转一周，根据面动成体的原理即可解．
【解答】解：以矩形的一边所在直线为旋转轴，形成的旋转体叫做圆柱体．
故选：．
【变式练4】（2022•新河县一模）流星滑过天空留下一条痕迹，这种生活现象可以反映的数学原理是
A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．以上都不对
【答案】
【分析】流星是点，光线是线，所以说明点动成线．
【解答】解：流星滑过天空留下一条痕迹，这种生活现象可以反映的数学原理是点动成线．
故选：．
【变式练5】（2021•西乡塘区校级三模）把如图的三角形绕它的最长边旋转一周，得到的几何体为图中的
A．B．C．D．
【分析】根据面动成体，可得答案．
【解答】解：三角形旋转得两个同底的圆锥，
故选：．
考点3 欧拉公式
【例3】（2022•铜仁市三模）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．
（1）根据上面的多面体模型，直接写出表格中的，的值，则 8 ， ．
（2）你发现顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
（3）一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．
【答案】（1）8，6；（2）；（3）16．
【分析】（1）依据多面体模型，即可得到棱数和顶点数；
（2）依据表格中的数据，即可得出顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式；
（3）依据欧拉公式进行计算，即可得到这个多面体的面数
【解答】解：（1）长方体的顶点数为8；正八面体的顶点数为6；
故答案为：8，6；
（2）顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是．
故答案为：；
（3）设这个多面体的面数是，则，
解得，
这个多面体的面数是16．
【变式练1】（2022•碧江区 一模）【读一读】
欧拉，是世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都作出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，并研究出了著名的欧拉公式．
（1）【数一数】观察下列多面体，并把表格补充完整：
（2）【想一想】分析表中的数据，你能发现，，之间有什么关系吗？请用一个等式表示出它们之间的数量关系： ．
【答案】（1）6，12，4；
（2）．
【分析】（1）直接根据图形，数出结果；
（2）针对各个几何体，分别计算，再总结一般规律．
【解答】解：（1）由图可知，三棱锥有4个面；三棱柱有6个顶点；八面体有12条棱．
故答案为：6，12，4．
（2）三棱锥：；
三棱柱：；
正方体：；
八面体：．
根据以上规律，我们发现．
故答案为：．
【变式练2】（2018•凉山州模拟）观察下列多面体，并把如表补充完整．
观察表中的结果，你能发现、、之间有什么关系吗？请写出关系式．
【分析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出答案，
利用前面的规律得出，，之间的关系．
【解答】解：填表如下：
根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱；
故，，之间的关系：．
【变式练3】（2018•南京一模）【经典公式】
还记得欧拉公式吗？它讲述的是多面体的顶点数、面数、棱数（E）之间存在存在的等量关系．（1）请你通过对如图1所示的多面体的归纳，补全欧拉公式： 2 ．
【实际应用】
（2）足球一般有32块黑白皮子缝合而成（如图，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形，如果我们可近似把足球看成一个多面体．你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程．
【分析】（1）直接利用欧拉公式求出答案；
（2）根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有块，而黑皮共有边数为块，依此借助欧拉公式列方程求解即可．
【解答】解：（1）．
故答案为：2；
（2）设正五边形有块，则正六边形有块，
则，，
，
根据欧拉公式得：，
则，
解得：，，
所以，正五边形有12块，正六边形有20块．
【变式练4】（2013•碑林区校级模拟）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（e）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型：
根据上面多面体模型，你发现顶点数、面数、棱数（e）之间存在的关系式是 ．
【分析】先根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数、面数、棱数（e）之间存在的关系式即可．
【解答】解：四面体的顶点数为4、面数为4，棱数为6，则；
长方体的顶点数为8、面数为6，棱数为12，则；
正八面体的顶点数为6，面数为8，棱数为12，则；
则关系式为：；
故答案为：．
【变式练5】（2011•宁波模拟）
18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格，你发现顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
（2）一个多面体的面数与顶点数相等，有12条棱，这个多面体是 面体．
【分析】（1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可．根据多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得、、之间的数量关系式．
（2）根据（1）中，顶点数，面数和棱数之间的关系式，代入求解即可．
【解答】解：（1）四面体的棱数为6；
长方体的面数为6；
正八面体的顶点数为6；
关系式为：；
（2）由题意得：，
解得．
故答案为：；7．
考点4 几何体的表面积
【例4】（2023•李沧区一模）用24块棱长分别为，，的长方体积木搭成的大长方体表面积最小是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】若要搭成的长方体表面积最小，则依据把较大的面重叠在一起这一原则可解决问题．
【解答】解：根据搭成的长方体表面积最小的要求，遵循把较大面重叠在一起的原则，进行如下搭建：
将三块长方体按，面重叠得出一个大长方体，此时三条棱长为，，．
再用两个大长方体（即6个小长方体）按，面重叠，可得棱长为，，的大长方体．
再用两个大长方体（即12个小长方体）按，面重叠，可得棱长为，，的大长方体．
再用两个大长方体（即24个小长方体）按，面重叠，可得棱长为，，的大长方体．
此时大长方体的表面积为：．
故选：．
【变式练1】（2023•兴宁区校级模拟）如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是 立方分米．
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米可求出圆柱体的半径，再根据圆柱体的体积公式即可求得结果．
【解答】解：近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米，
圆柱体的半径为：（分米），
圆柱的体积为：（立方分米），
故选：．
【变式练2】（2023•大连模拟）如图所示为一个正多面体．已知，则该多面体的表面积为
A．B．2.45C．D．
【答案】
【分析】正多面体有12个顶点，每个顶点处有5个面，这样数，每个面被数3次，求出多面体有多少面，用三角形的面积公式求出面积，相乘即可．
【解答】解：正多面体有12个顶点，每个顶点处有5个面，按照顶点数有个面，
这样每个面被数3次，所以多面体的面实际有个面，
三角形的面积为：，
多面体的表面积为，
故选：．
【变式练3】（2023•兰陵县二模）10个棱长为的正方体摆成如图的形状，这个图形的表面积是 ．
【答案】．
【分析】计算这个组合体的主视图、左视图、俯视图面积和的2倍即可．
【解答】解：这个组合体的主视图的面积为，
这个组合体的左视图的面积为，
这个组合体的俯视图的面积为，
所以这个组合体的表面积为，
故答案为：．
【变式练4】（2023•宿城区二模）在中，，，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到一个几何体，则该几何体的表面积为 ．
【答案】．
【分析】先求出直角三角形斜边的长，然后再求出斜边上的高，最后根据扇形面积公式进行求解即可．
【解答】解：过点作于点，
，，，
，
，
该几何体的表面积为：．
故答案为：．
【变式练5】（2022•梁溪区二模）若圆柱的底面半径为3，母线长为5，则这个圆柱的侧面积为
A．15B．C．D．
【分析】圆柱侧面积底面周长高．
【解答】解：根据侧面积公式可得：，
故选：．
考点5 认识平面图形
【例5】（2023•保定模拟）如图图形中，是扇形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，据此判断即可．
【解答】解：由扇形的意义可知，选项，，都不是扇形，选项是扇形．
故选：．
【变式练1】（2023•未央区校级三模）唐代李白《日出行》云：“日出东方隈，似从地底来”．描述的是看日出的景象，意思是太阳从东方升起，似从地底而来．如图，此时观测到地平线和太阳所成的视图可能是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用圆在海平面以下部分用虚线可对各选项进行判断．
【解答】解：观测到地平线和太阳所成的视图可能．
故选：．
【变式练2】（2023•东明县一模）如图，两个圆的圆心重合，大圆的半径是，小圆的面积是大圆面积的，则阴影部分的面积是 ． ．（结果保留
【答案】．
【分析】根据阴影部分的面积大圆的面积小圆的面积，把相关数值代入即可．
【解答】解：由题意得：大圆的面积为，小圆的面积为，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
【变式练3】（2018•武汉模拟）如图，在的正方形网格中，用四边都与网格线重合的矩形（不包括正方形）覆盖符号“”，则这样的矩形共有 个．
A．8B．9C．10D．11
【分析】直接利用矩形的性质分别得出答案．
【解答】解：如图所示：
，
符合题意的矩形共10个．
故选：．
【变式练4】（2018•武汉模拟）如图，在的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是
A．22B．24C．26D．28
【分析】分类找出图形中的矩形，这样可以不重不漏．依据图形先找出一般的矩形，再找出特殊的矩形，进而得出结论．
【解答】解：第一行有1个矩形，第二行有1个矩形，第三行有6个；
第一列有3个，第二列有1个，第四列有3个；
那么共有个，
图中还有11个正方形，因为正方形也是矩形的一种，
因此共有26个矩形．
故选：．
【变式练5】（2014秋•内丘县期中）在四个图中，每个图均是由四种简单图形、、、（三角形、长方形、圆、直线）中的某两个图形组成的，例如：由、组成的图形视为，那么由此可知在四个图形中，表示的是
A．B．
C．D．
【分析】结合已知图形，先判断，，，所代表的图形，再判断记作的图形即可．
【解答】解：根据题意，知代表长方形，代表三角形，代表直线，代表圆，所以记作的图形是长方形和圆的组合，故选．
考点6 几何体的展开图
【例6】（2023•肇东市校级二模）下列图形中，不是正方体表面展开图的图形的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】根据正方体展开图的11种形式对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：第一个图形：折叠后可以组成正方体；
第二个图形：折叠后可以组成正方体；
第三个图形：折叠后第一行两个面无法折起来，不能折成正方体．
第四个图形：不能围成正方体．
综上所述，不是正方体表面展开图的图形的个数是2个．
故选：．
【变式练1】（2023•泉山区校级三模）正方体的表面展开图可能是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：由正方体四个侧面和上下两个底面的特征可知，，，选项不可以拼成一个正方体，选项可以拼成一个正方体．
故选：．
【变式练2】（2023•玄武区二模）如图是一个直三棱柱，它的底面是边长为5、12、13的直角三角形．下列图形中，是该直三棱柱的表面展开图的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】三棱柱的侧面展开图是长方形，底面是三角形，据此进行判断即可．
【解答】解：选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•长岭县模拟）下列图形中，不是正方体展开图的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据正方体的展开图判断求解．
【解答】解：、、都可以折叠成正方体，
故选：．
【变式练4】（2023•确山县三模）“从明天起，做一个幸福的人，喂马，劈柴，周游世界”．如图所示，已知一个正方体展开图六个面依次书写“明”“天”“喂”“马”“劈”“柴”，则折叠后与“明”相对的是
A．天B．马C．劈D．柴
【答案】
【分析】依据隔一对应和“”形法则，可得“天”与“马”相对，“喂”与“劈”相对，“明”与“柴”相对．
【解答】解：根据正方体的展开图可知：
折叠后与“明”相对的是“柴”．
故选：．
【变式练5】（2023•柘城县模拟）如图所示哪个不是正方体的表面展开图
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：正方体表面展开图一个有11种情况，其中“”型的有6种，“”型的有3种，“”型的有1种，“”型的有1种，
不可能是“”型，因此选项中的图形符合题意，
故选：．
考点7 展开图折叠成几何体
【例7】（2023•海安市一模）下列图形中，能折叠成正方体的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据正方体的展开图，逐一进行判断即可．
【解答】解：、不能折叠成正方体，不符合题意；
、能折叠成正方体，符合题意；
、不能折叠成正方体，不符合题意；
、不能折叠成正方体，不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•平顶山模拟）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是
A．④B．③C．②D．①
【答案】
【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．
【解答】解：由题意知，剪掉小正方形①或②或③阴影部分能折叠成一个正方体，剪掉小正方形④阴影部分不能折叠成一个正方体，
故选：．
【变式练2】（2023•新乡二模）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】由平面图形的折叠及棱柱的展开图解题．
【解答】解：可以围成四棱柱，可以围成五棱柱，可以围成三棱柱，不能围成一个四棱柱．
故选：．
【变式练3】（2023•利通区校级模拟）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中
A．B．C．D．
【答案】
【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．
【解答】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在盒子里面．
故选：．
【变式练4】（2023•姜堰区二模）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成
A．三棱锥B．三棱柱C．五棱锥D．五棱柱
【答案】
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，
则该几何体为五棱锥，
故选：．
【变式练5】（2023•乌鲁木齐模拟）下列图形中，可以折叠成三棱柱的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据展开图的特点即可判断．
【解答】解：、根据图形判断是圆锥展开图，不符合题意；
、根据图形判断是正方体展开图，不符合题意；
、根据图形判断是三棱柱展开图，符合题意；
、根据图形判断是三棱锥展开图，不符合题意．
故选：．
考点8 专题：正方体相对两个面上的文字
【例8】（2023•孝义市三模）如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，与“祝”字所在面相对的面上的汉字是
A．考B．试C．成D．功
【答案】
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：在原正方体中，与“祝”字所在面相对的面上的汉字是试，
故选：．
【变式练1】（2023•新安县一模）某正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该几何体中和“博”字相对的字是
A．自B．民C．爱D．由
【答案】
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
所以该正方体中与“博”字相对的字是“由”．
故选：．
【变式练2】（2023•永城市二模）自从学校开展“双减”工作，很大地减轻了学生的作业负担，同学们有了更多的时间进行课外活动，增强体质，将“落实双减政策”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图所示，那么在这个正方体中，与“减”字所在面相对的面上的汉字是
A．落B．实C．政D．策
【答案】
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：在这个正方体中，与“减”字所在面相对的面上的汉字是落，
故选：．
【变式练3】（2023•浉河区三模）习近平总书记在党的二十大报告中提出：“新时代十年的伟大变革，在党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史、中华民族发展史上具有里程碑意义”将“二”“十”“大”“里”“程”“碑”这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“里”字所在面相对的面上的汉字是
A．十B．二C．程D．碑
【答案】
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：在原正方体中，与“里”字所在面相对的面上的汉字是：二，
故选：．
【变式练4】（2023•驻马店一模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是
A．厉B．害C．了D．我
【答案】
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“国”与“我”是相对面．
故选：．
【变式练5】（2023•晋中模拟）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在面相对的面上的汉字是
A．西B．山C．美D．丽
【答案】
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“ “字两端是对面，即可解答．
【解答】解：在原正方体中，与“我”字所在面相对的面上的汉字是西，
故选：．
考点9 截一个几何体
【例9】（2023•碑林区校级模拟）用一个平面去截一个正方体，截面形状不可能为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，截面也不可能有弧度，因此截面形状不可能为圆．
【解答】解：用一个平面去截一个正方体，无论如何去截，截面也不可能有弧度，因此截面形状不可能为圆．
故选：．
【变式练1】（2023•息烽县模拟）如图，用一个平行于长方体底面的平面截长方体，截面的形状是
A．三角形B．平行四边形C．矩形D．五边形
【答案】
【分析】根据截面与长方体的各个面相交的情况进行判断即可．
【解答】解：用一个平行于长方体底面的平面截长方体，截面的形状是长方形，
故选：．
【变式练2】（2023•白云区模拟）如图，用一个平面去截一个正方体，截去的几何体是一个三棱锥，截面的形状是
A．六边形B．圆C．正方形D．三角形
【答案】
【分析】根据截一个几何体，和三棱锥的形体特征进行判断即可．
【解答】解：用一个平面去截一个正方体，截去的几何体是一个三棱锥，截面的形状就是三棱锥的一个面，而三棱锥的一个面的形状是三角形，
因此截面的形状是三角形，
故选：．
【变式练3】（2023•双塔区校级二模）分别用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】利用正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特征解答即可．
【解答】解：用一个平面去截正方体、圆柱、三棱柱，都可以得到截面是矩形，
用一个平面去截圆锥、球体，不可以得到截面是矩形，
所以用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有3个．
故选：．
【变式练4】（2023•南召县模拟）用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据从不同角度截得几何体的形状判断出正确选项．
【解答】解：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；
当截面与轴截面平行时，得到的形状为长方形；
当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状是椭圆；
所以截面的形状不可能是等腰梯形．
故选：．
【变式练5】（2023•信阳二模）妹妹把一密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，水面的形状不可能是
A．三角形B．长方形C．圆形D．椭圆
【答案】
【分析】根据圆柱体的截面形状，判断即可．
【解答】解：因为圆柱的截面形状可能是圆形，椭圆形或长方形，
所以，一个密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，则水面的形状不可能是三角形．
故选：．
考点10 直线、射线、线段
【例10】（2023•汉阳区模拟）同一平面内15条直线最多可以将平面分成 个部分．
A．120B．121C．122D．123
【答案】
【分析】根据一条直线、两条直线、三条直线的情况可总结出规律，从而可得出答案．
【解答】解：由图可知，
（1）有一条直线时，最多分成2部分；
（2）有两条直线时，最多分成部分；
（3）有三条直线时，最多分成部分；
（4）设直线条数有条，分成的平面最多有个．有以下规律：
．
条直线最多可将平面分成个部分．
答：同一平面内15条直线最多可以将平面分成121个部分．
故选：．
【变式练1】（2023•邢台二模）如图，以为端点，画一条射线，若射线与直线相交，则这条射线还可能经过的点是
A．点B．点C．点D．点
【答案】
【分析】由射线的概念，即可判断．
【解答】解：以为端点，画一条射线，若射线与直线相交，则这条射线还可能经过的点是点．
故选：．
【变式练2】（2023•馆陶县模拟）对于如图，有两种语言描述：①射线；②延长线段．其中
A．只有①正确B．只有②正确C．①和②均正确D．①和②均错误
【答案】
【分析】由射线，线段的概念即可判断．
【解答】解：①射线，描述正确；
②应该是延长线段，原说法错误．
故选：．
【变式练3】（2023•丰润区模拟）经过直线外一点的5条不同的直线中，与直线相交的直线至少有
A．2条B．3条C．4条D．5条
【答案】
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
【解答】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线平行的，只能是一条，
即与直线相交的直线至少有4条．
故选：．
【变式练4】（2023•裕华区模拟）若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线、和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段相交，则点落在的区域是
A．①B．②C．③D．④或⑤
【答案】
【分析】由线段与线段相交可以判断点在②区域．
【解答】解：由线段与线段相交可以判断点在②区域，
故选：．
【变式练5】（2022•威县校级模拟）如图，经过直线外一点的4条直线中，与直线相交的直线至少有
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
【解答】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线平行的，只能是一条，
即与直线相交的直线至少有3条，
故选：．
考点11 直线的性质：两点确定一条直线
【例11】（2023•广东模拟）在墙壁上固定一根横放的木条，至少需要
A．1枚钉子B．2枚钉子
C．3枚钉子D．随便多少枚钉子
【答案】
【分析】根据公理“两点确定一条直线”，来解答即可．
【解答】解：至少需要2根钉子．
故选：．
【变式练1】（2023•桥西区二模）如图，点在线段上，过，，，中的两点可以画一条直线，其中过点的直线有
A．2条B．3条C．4条D．5条
【答案】
【分析】根据两点确定一条直线即可求解．
【解答】解：观察图形可知，过点线有，，一共2条．
故选：．
【变式练2】（2023•长春模拟）在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有 ①②③ （填序号）．
【答案】①②③．
【分析】根据直线的性质，逐一判断即可解答．
【解答】解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”；
②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”；
③会场摆直茶杯，体现了基本事实“两点确定一条直线”；
④弯河道改直，体现了基本事实“两点之间线段最短”；
所以，在上列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有①②③，
故答案为：①②③．
【变式练3】（2023•长春模拟）建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，你能说明其中的原理是 两点确定一条直线 ．
【分析】根据公理“两点确定一条直线”，来解答即可．
【解答】解：两点确定一条直线，
建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．
故答案为：两点确定一条直线．
【变式练4】（2023•永吉县一模）我们将一根细木条固定在墙上时，至少需要两根钉子．其数学道理是 两点确定一条直线 ．
【答案】两点确定一条直线．
【分析】由于两点确定一条直线，所以在墙上固定一根细木条至少需要两根钉子．
【解答】解：我们将一根细木条固定在墙上时，至少需要两根钉子．其数学道理是两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【变式练5】（2022•双辽市一模）如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是 两点确定一条直线 ．
【分析】由直线公理可直接得出答案．
【解答】解：建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上，沿着这条线就可以砌出直的墙，则其中的道理是：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
考点12 线段的性质：两点之间线段最短
【例12】（2023•贵州模拟）如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是
A．①B．②C．③D．④
【答案】
【分析】根据两点之间，线段最短解答即可．
【解答】解：第③条道路最近，理由是两点之间，线段最短．
故选：．
【变式练1】（2023•威县校级一模）如图，要在直线上找一点，使它到点，的距离之和最小，则该点的位置
A．在点处B．在点处C．在点处D．不能确定
【答案】
【分析】根据两点之间，线段最短知：连接，即可得到结论．
【解答】解：连接交直线于点，
则该点的位置在点处．
故选：．
【变式练2】（2023•新华区模拟）如图，从地到地的四条路线中，路程最短的是
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【分析】根据两点之间线段最短进行判断即可．
【解答】解：从地到地的四条路线中，3是一条线段，
路程最短的是3．
故选：．
【变式练3】（2023•南关区校级四模）如图，用剪刀沿直线将一片平整的圆形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的基本事实是 两点之间线段最短 ．
【答案】两点之间线段最短．
【分析】利用线段的性质进行解答即可．
【解答】解：用剪刀沿直线将一片平整的圆形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的基本事实是：两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【变式练4】（2023•小店区校级模拟）高速公路的建设带动我国经济的快速发展．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是 两点之间，线段最短 ．
【答案】两点之间，线段最短．
【分析】此题为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点之间线段最短的性质．
【解答】解：从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，使两点处于同一条线段上．
这样做包含的数学道理是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【变式练5】（2023•吉林二模）小明准备从恒阳大饭店去吉林财富广场，导航提供两条路线，最终小明选择路线其中蕴含的数学道理是 两点之间线段最短 ．
【答案】两点之间线段最短．
【分析】利用两点之间线段最短即可判断出选的理由．
【解答】解：在同一个平面内，两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
考点13 两点间的距离
【例13】（2023•香河县校级三模）如图，，，，，则线段的长度可能是
A．3.5B．4C．4.5D．5
【答案】
【分析】根据三角形三边关系列不等式，求公共解集．
【解答】解：根据三角形三边关系可得：
在中，，
，
在中，，
，
．
四个选项中，只有4.5在这个范围内．
故选：．
【变式练1】（2023•铜仁市模拟）已知、、为直线上的三点，线段，，那么、两点间的距离是
A．B．
C．或D．以上说法都不对
【答案】
【分析】分类讨论：点在线段上和点在射线上两种情况．
【解答】解：分两种情况：
①点在线段上，则；
②点在线段的延长线上，．
故选：．
【变式练2】（2023•海安市一模）若点是线段的中点，且，则的长是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据中点的定义进行计算即可．
【解答】解：点是线段的中点，且，
，
故选：．
【变式练3】（2023•江津区二模）如图，、、、依次是直线上的四个点，且线段，则线段 5 ．
【答案】5．
【分析】根据，可得，可得的值．
【解答】解：，
，
．
故答案为：5．
【变式练4】（2023•宜州区二模）已知，，都是直线上的点，且，，那么点与点之间的距离是 或 ．
【答案】或．
【分析】由于点、、都是直线上的点，所以有两种情况：①当在之间时，，代入数值即可计算出结果；②当在之间时，此时，再代入已知数据即可求出结果．
【解答】解：点、、都是直线上的点，
有两种情况：
①当在之间时，，
而，，
；
②当在之间时，
此时，
而，，
．
综上，点与点之间的距离是或．
故答案为：或．
【变式练5】（2023•柯城区校级一模）已知一条直线上有，，三点，线段的中点为，，线段的中点为，，则线段的长为 20或80． ．
【分析】本题中由于点、、的相对位置关系不明确，可分为点在的延长线上和点在上两种情况求解；
先依据中点的定义求得、的长，然后再依据、、之间的和差关系求解即可．
【解答】解：①当点在的延长线上时，如图1所示
是的中点，是的中点，
，，
．
②当点在上时，如图2所示：
点是线段的中点，点是线段的中点
，．
．
综上所述：的长为20或80．
故答案为：20或80．
考点14 比较线段的长短
【例14】（2023•路南区二模）如图，用圆规比较两条线段的大小，其中正确的是
A．B．C．D．不能确定
【答案】
【分析】由比较两条线段长短的方法：重合比较法，即可判断．
【解答】解：如图用圆规比较两条线段的大小，，
故选：．
【变式练1】（2022•张家口一模）如图，对于四条线段，，，，请借助直尺或圆规判断长度最大的为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用直尺测量可得出结论．
【解答】解：经测量，线段长度最大的是，
故选．
【变式练2】（2020•长安区模拟）已知线段，在直线上画线段，使它等于，则线段等于
A．B．C．或D．或
【答案】
【分析】由于点的位置不能确定，故要分两种情况考虑的长，注意不要漏解．
【解答】解：由于点的位置不确定，故要分两种情况讨论：
（1）当点在点右侧时，如图所示：
；
（2）当点在点左侧时，如图所示：
；
所以线段等于或，
故选：．
【变式练3】（2020•密云区二模）如图，小林利用圆规在线段上截取线段，使．若点恰好为的中点，则下列结论中错误的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据线段中点的定义即可得到结论．
【解答】解：点恰好为的中点，
，
，
，
即，
故，，选项正确，选项错误，
故选：．
【变式练4】（2019•石家庄二模）点在线段上，下列条件中不能确定点是线段中点的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然、、都可以确定点是线段中点．
【解答】解：、，则点是线段中点；
、，则可以是线段上任意一点；
、，则点是线段中点；
、，则点是线段中点．
故选：．
【变式练5】（2018•怀柔区一模）如图所示，比较线段a和线段b的长度，结果正确的是（ ）
A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．无法确定
【答案】B
【分析】根据刻度尺对两条线段进行测量的结果解答即可．
【解答】解：a＝3.5，b＝4.2，
可得：a＜b，
故选：B．
考点15 角的概念
【例15】（2023•蚌埠模拟）如图所示，，，点，，在同一直线上，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由图示可得，与互余，结合已知可求的度数，又因为与互补，即可求出的度数．
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
【变式练1】（2023•赵县二模）如图，已知，借助量角器判断，射线可能经过的点是
A．点B．点C．点D．点
【答案】
【分析】分别画出射线，，，，用量角器量每个角的度数，可知是的角，由此可知射线经过点．
【解答】解：如图，画出射线，，，，
利用量角器量出，则射线经过的点是点．
故选：．
【变式练2】（2023•高碑店市模拟）如图，的大小为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先找出这个角两边所对应的度数，然后相减即可求解．
【解答】解：边对应刻度是，边对应的刻度是，
．
故选：．
【变式练3】（2023•望城区模拟）如图，是直角，，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接根据平角的定义进行求解即可．
【解答】解：是直角，
，
，
，
故选．
【变式练4】（2023•房山区二模）如图，用量角器测量，可读出的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据角的定义和量角器的使用方法，让角的顶点与量角器的圆心重合，一边与量角器的半径重合，再观察另一边所对的角度，从而得出答案．
【解答】解：看量角器内圈的数字可读出的度数为．
故选：．
【变式练5】（2023•雁塔区校级二模）如图所示，，点，，在同一直线上，若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用，，进而求出的度数，利用平角的定义可知，即可求出的度数．
【解答】解：，，
，
点，，在同一直线上，
，
．
故选：．
考点16 钟面角
【例16】（2023•西和县一模）8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据钟面角的知识得出结论即可．
【解答】解：由题意知，8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为，
故选：．
【变式练1】（2023•梁溪区模拟）钟表上的时间为9时30分，则时针与分针的夹角度数为 ．
【分析】当钟表上的时间为9时30分，则时针指向9与10的正中间，分针指向6，时针与分针的夹角为三大格半，根据钟面被分成12大格，每大格为即可得到时针与分针的夹角度数．
【解答】解：钟表上的时间为9时30分，
时针指向9与10的正中间，分针指向6，
时针与分针的夹角度数．
故答案为：．
【变式练2】（2021•徐州模拟）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为即可解答．
【解答】解：钟面分成12个大格，每格的度数为，
钟表上10点整时，时针与分针所成的角是．
故选：．
【变式练3】（2018•宁津县一模）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是
A．B．C．D．
【分析】解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系．每一小时，分针转动，而时针转动，即分针每转动时针转动，依据这一关系列出方程，可以求出．
【解答】解：设：从开始，经过分钟，时针和分针会出现重合．
此时分针指向4，时针与分针之间的夹角是．
则：
，
即从开始，经过大约7.27分钟，时针和分针会出现重合，在时间段内重合．
故选：．
【变式练4】（2017•海港区二模）钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可．
【解答】解：时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，
钟表上2点30分，时针与分针的夹角可以看成．
故选：．
【变式练5】（2015•丹东模拟）如图是一个时钟的钟面，下午1点30分，时钟的分针与时针所夹的角等于 135 ．
【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份，根据每份的度数乘以时针与分针相距的份数，可得答案．
【解答】解：，
故答案为：135．
考点17 方向角
【例17】（2023•涟源市一模）如图，是北偏东方向的一条射线，若，则的方位角是
A．西北方向B．北偏西C．北偏西D．西偏北
【答案】
【分析】根据方向角的定义可得：，然后利用角的和差关系可求出，从而根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：，
，
，
的方位角是北偏西，
故选：．
【变式练1】（2023•裕华区三模）如图，是北偏西方向的一条射线，若，射线的方向是
A．南偏西B．南偏西C．北偏东D．北偏东
【答案】
【分析】根据方向角的定义得出，在根据平角的定义求出的大小即可．
【解答】解：由方向角的定义可知，，
，
，
即的方向为南偏西，
故选：．
【变式练2】（2023•耿马县三模）如图，在海岛测得船在其南偏东的方向上，测得灯塔在其北偏东的方向上，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可求解．
【解答】解：船在海岛的南偏东的方向上，灯塔在海岛北偏东的方向上，
．
故选：．
【变式练3】（2023•天门校级模拟）如图，一航班沿北偏东方向从地飞往地，到达地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降地，已知地在地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意可得：，，，从而利用平行线的性质可得，进而可得，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：，，，
，
，
是的一个外角，
，
故选：．
【变式练4】（2023•古冶区二模）嘉嘉在淇淇北偏东的方向，则淇淇在嘉嘉的
A．南偏西B．北偏西C．南偏西D．北偏西
【答案】
【分析】根据方向角的定义可得答案．
【解答】解：如图：由方向角的定义可知，
嘉嘉在淇淇北偏东的方向，则淇淇在嘉嘉的南偏西，
故选：．
【变式练5】（2023•新华区校级二模）如图，巡逻艇在处发现北偏东方向的处有一艘海盗船，巡逻艇与海盗船同时同速出发，在处相遇，所走路线与垂直，则在的
A．南偏东方向B．南偏东方向
C．北偏东方向D．北偏西方向
【答案】
【分析】作，则得，再根据，，得，所以，所以在的南偏东方向．
【解答】解：如图，
作，
，
，，
，
，
在的南偏东方向．
故选：．
考点18 度分秒的换算
【例18】（2023•丰南区一模）如图，从地观测地，发现地在地的北偏东方向上，则从地观测地，可知地在地的
A．北偏东方向上B．南偏西方向上
C．北偏东方向上D．南偏西方向上
【答案】
【分析】根据方位角定义找到基点结合上北下南左西右东及平行线性质即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，、两点的正北向是两条平行线，
两个内错角都是，
地在地的南偏西方向上，
故选：．
【变式练1】（2023•衡山县校级一模） 74.325 ．
【答案】74.325．
【分析】先将化成“分”，再将化成“度”即可．
【解答】解：，
，
，
，
故答案为：74.325．
【变式练2】（2021•长兴县模拟）比较大小： （选填“”“ ”“ ” ．
【答案】．
【分析】将化为，再进行比较即可得出答案．
【解答】解：，
，
，即，
故答案为：．
【变式练3】（2021•攸县模拟） 30.4 度．
【答案】30.4．
【分析】根据得到，则．
【解答】解：，
．
故答案为：30.4．
【变式练4】（2020•西湖区校级模拟）若，则用度、分、秒表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解．
【解答】解：．
故选：．
【变式练5】（2020•长兴县三模）将转化为以度为单位是 6.6 ．
【分析】利用进行换算即可．
【解答】解：，
故答案为：6.6．
考点19 角平分线的定义
【例19】（2023•宜州区二模）如图所示，已知是直线上一点，，平分，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】结合已知条件求得的度数，然后根据角平分线的定义即可求得答案．
【解答】解：，
，
平分，
，
故选：．
【变式练1】（2023•郸城县一模）如图，点为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意得，，可得出，再由平分，得．
【解答】解：点为直线上一点，平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•开州区校级模拟）如图，已知点是直线上一点，，平分，则的度数为 ．
【答案】．
【分析】首先根据邻补角的定义得到；然后由角平分线的定义求得．
【解答】解：，，
．
又平分，
；
故答案为：．
【变式练3】（2023•贾汪区一模）如图，点是直线上一点，已知平分，若，则的度数是 40 ．
【答案】40．
【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，进而可求出的度数．
【解答】解：，
．
平分，
，
．
故答案为：40．
【变式练4】（2022•靖西市模拟）如图，为内的一条射线，下列条件中不能确定平分的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义可直接判定求解．
【解答】解：为内的一条射线，
当，或时平分，
，，不符合题意，选项符合题意，
故选：．
【变式练5】（2022•西城区校级模拟）如图，在中，，平分，且，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由，，平分，可推出，，根据三角形内角和定理得出的度数．
【解答】解：，，平分，
，，
．
故选：．
考点20 角的计算
【例20】（2023•海淀区校级模拟）如图，已知，，平分，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先求出，再根据角平分线的定义求得，把对应数值代入即可求解．
【解答】解：，
又平分，，
，，
．
故选：．
【变式练1】（2023•姑苏区三模）如图所示，等于
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用图中角的和差关系计算．
【解答】解：结合图形，显然．
故选：．
【变式练2】（2023•富顺县校级一模）如图，在的内部，且，，则图中所有角的度数之和为（注：图中所有角均指小于的角）
A．B．C．D．
【答案】
【分析】列出所有角的和，用交换律和结合律，把未知的角通过相加转化成已知角即可．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练3】（2023•长清区二模）将一副三角板按如图所示的方式放置，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】依据一幅直角三角板的度数有，，，，据此解答即可．
【解答】解：根据题意可得．
故选：．
【变式练4】（2023•东丽区一模）在同一平面内，已知，，则等于
A．B．C．或D．
【答案】
【分析】分两种情况，即在的内部或外部，根据角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：当射线在的内部时，
；
当射线在的外部时，
；
所以的度数为或，
故选：．
【变式练5】（2023•高青县一模）将一张长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，点恰好落在上，若，则为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据翻折的性质可知，，，再根据平角的度数是，，继而即可求出答案．
【解答】解：根据翻折的性质可知，，，
，
，
，
．
故选：．
考点21 余角和补角
【例21】（2023•金台区模拟）若，则补角的大小是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】两个角的和为，则这两个角互为补角，根据补角的含义可得答案．
【解答】解：，
的补角为．
故选：．
【变式练1】（2023•平远县一模）一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先设出这个角，再分别表示出这个角的补角和余角，根据题干中的等量关系进行计算即可求解．
【解答】解：设这个角为，
这个角的补角为，这个角的余角为，
这个角的补角比这个角的余角的3倍少，
，
解得：，
故选：．
【变式练2】（2023•沭阳县模拟）将一副直角三角尺如图放置，若，则的大小为
A．B．C．D．
【分析】依据求解即可．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【变式练3】（2023•陇南模拟）若，则的补角的大小是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，由此即可计算．
【解答】解：．
故选：．
【变式练4】（2023•平谷区二模）如图，直角三角板的直角顶点落在直线上的点处，，则的大小为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】结合图形可得，根据已知条件计算即可求得答案．
【解答】解：由题意可得，
，
，
故选：．
【变式练5】（2023•灞桥区模拟）已知和互余，若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据余角定义：若两个角的和为，则这两个角互余；直接解答．
【解答】解：与互余，，
．
故选：．
考点22 七巧板
【例22】（2023•永城市二模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，李约瑟称它是“东方最古老的消遣品之一”，图1是边长为4的大正方形，图2是王林同学将其分割制作的七巧板摆拼而成的“奔跑者”图，则图2中阴影部分的面积为
A．4B．C．6D．
【答案】
【分析】可将图1中的其余图形都分成图中的最小三角形，发现一共有16个，再求出图2中阴影部分所占比例即可解题．
【解答】解：将图1都分割成最小的三角形，发现一共可以分成16个．
又图2中的阴影部分可以分割成6个这样的小三角形，
所以阴影部分的面积占正方形面积的．
又正方形的边长为4，则面积为16．
所以阴影部分的面积为：．
故选：．
【变式练1】（2023•宁德模拟）五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由正方形分割而成．按如图方式分割的一幅五巧板，若从中拿走一块，使得剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，则拿走的那块板的序号是
A．①B．②C．③D．⑤
【答案】
【分析】根据仍要拼得正方形求解即可得到答案．
【解答】解：如图，
依题意可得，
剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，
取下来的是⑤，
故选：．
【变式练2】（2023•盐田区二模）如图，七巧板中有5个等腰直角三角形①⑤，其中全等的是
A．①和④B．②和⑤C．③和④D．①和⑤
【答案】
【分析】根据七巧板都是从正方形中点出发进行分割，即可得到答案．
【解答】解：根据七巧板的分割方法可知，①和②是全等三角形，③和④是全等三角形；
观察各选项，符合题意的只有，
故选：．
【变式练3】（2023•三门峡一模）在数学“综合与实践”活动课上，小红同学用正方形纸片制作成图1所示的七巧板，并拼成图2的“奔跑者”形象．已知图1中正方形纸片的边长为6，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即，之间的距离是
A．4B．C．D．
【答案】
【分析】如图2中，过点作于，过点作于．由图1可求出，，，与之间的距离为，由可求出，进而可求出与之间的距离．
【解答】解：如图2中，过点作于，过点作于．
由图1可知，，都是等腰直角三角形，，，，与之间的距离为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与之间的距离，
故选：．
【变式练4】（2023•梁溪区一模）如图，七巧板是我国民间流传最广的一种传统智力玩具，也被西方称为“东方魔板”，它是由正方形分割成七块板组成．若这个正方形的面积为16，则图中两块面积之和为5的是
A．①⑦B．②④C．①③D．④⑥
【答案】
【分析】分别求出各部分的面积即可求解．
【解答】解：正方形的面积为16，
正方形的边长为．
对角线的长为，
①②的直角边长为，
③④⑤⑥在对角线上的边长为，
③的斜边为，
⑦的直角边长为2，
，
，
，
，
面积之和为5的是①③，①⑤，②③，②⑤．
故选：．
【变式练5】（2023•石家庄模拟）用正方形纸片剪出一副七巧板，并将其拼成如图的“小天鹅”，设小天鹅的水平宽度为（左右最大距离），铅垂高度为（上下最大距离），则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据七巧板的特征，依次得到各块的边长，从而得出和的值．
【解答】解：如图，设正方形的边长为，
则⑤的对角线长为，④的最长边为，⑥的斜边的一半为，
，
由③的斜边为，④的高为，②的斜边为，
，
，
故选：．
直线公理
经过两点有且只有一条直线．直线是向两方无限延伸的，直线没有端点．
射线
直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点，射线向一方无限延伸，射线只有一个端点．
线段
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．线段有两个端点，有长短之分，将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点．
两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫做两点之间的距离．
垂线段公理
直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短．
线段垂直平分线
（1）线段垂直平分线的定义：垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线．
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
平行线
（1）过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行线的性质：
①两条直线平行，同位角相等；
②两条直线平行，内错角相等；
③两条直线平行，同旁内角互补．
（3）平行线的判定：
①同位角相等，两条直线平行；
②内错角相等，两条直线平行；
③同旁内角互补，两条直线平行．
表示方法
图标
记法
注意事项
（1）用三个大写字母
∠AOB或
∠BOA
顶点字母要写在中间
（2）用一个大写字母
∠O
顶点处只能有一个角．
（3）用希腊字母
∠α
在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，并写上希腊字母
方
法
技
巧
点
拨
1．点、线、面、体
（1）体：长方体、圆柱体、球、圆锥等都是几何体．几何体也简称体．
（2）面：包围着体的是面．面分为平面和曲面两种．
（3）线：面与面相交的地方形成线．线分为直线和曲线两种．
（4）点：线与线相交形成点．
2．直线、射线、线段的方法归纳：
（1）过一点的直线有无数条；直线是是向两个方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小．
（2）要注意区别直线公理与线段的性质：直线公理是指两点确定一条直线，线段的性质是指两点之间线段最短；在线段的计算过程中，经常涉及线段的性质、线段的中点以及方程思想．
（3）延伸与延长是不同的，线段不能延伸，但可以延长，直线和射线能延伸，但是不能延长．
（4）直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换．
（5）直线中“有且只有”中的“有”的含义是存在性，“只有”的含义是唯一性，“有且只有”与“确定”的意义相同．
（6）射线：一要确定端点，二要确定延伸方向，二者缺一不可．
3．要注意区别直线公理与线段的性质：直线公理是指两点确定一条直线，线段的性质是指两点之间线段最短；在线段的计算过程中，经常涉及线段的性质、线段的中点以及方程思想．
多面体
顶点数
面数
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
八面体
图形
顶点数
4
6
8
6
棱数
6
9
12

面数

5
6
8
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
顶点数
6
10
12
棱数
9
12
面数
5
8
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
图形
顶点数
6
8
10
12
棱数
9
12
15
18
面数
5
6
7
8
多面体
顶点数
面数
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
8

12
正八面体

8
12
正十二面体
20
12
30