专题19 全等三角形（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题19 全等三角形（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共43页。试卷主要包含了全等形，全等三角形等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
一、全等形
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
1．全等形的形状相同，大小相等．
2．两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．
3．判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．
二、全等三角形
1．全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的对应元素：
①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角．
3．全等三角形的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
4．全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
吃透考点
一、全等图形、全等三角形
1．全等图形的概念
能完全重合的图形叫做全等图形．
特征：①形状相同；②大小相等；③对应边相等、对应角相等．
2．全等三角形的概念
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
二、全等三角形的性质与判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等．
3．判定：
（1）有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）；
（2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS）；
（3）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA）；
（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（AAS）；
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（HL）．
4．角平分线
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等．
考点1 全等图形
【例1】（2012•杏花岭区模拟）用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形 （不 包含菱形、 矩形、 正方形） ；②矩形；③正方形；④等腰三角形， 其中一定可以拼成的图形的是
A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④
【解答】解： 两个全等的直角三角形， 一定可以拼成平行四边形 （直 角边重合， 两直角不邻） ，等腰三角形 （直 角边重合， 两直角相邻） ，以及矩形 （斜 边重合） ；
若为等腰直角三角形， 则可拼成正方形；
所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成 ．
故选：．
【变式练1】（2012•温州模拟）在如图所示的方格中，连接、，则 90 度．
【解答】解：
在和中，，
，
，即可得．
故答案为：90．
【变式练2】（2021•仪征市二模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 ．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：，
则．
故答案为：．
【变式练3】（2021•锡山区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 ．
【解答】解：如图所示：在和中，
，
，
，
则．
故答案为：．
【变式练4】（2018•永定区模拟）如图，在的正方形网格中标出了和，则 ．
【解答】解：如图所示，作，连接，
则，
设每个小正方形的边长为，
则，，，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
故答案为：．
【变式练5】（2017•兴宾区四模）下列说法：
①全等三角形的形状相同、大小相等
②全等三角形的对应边相等、对应角相等
③面积相等的两个三角形全等
④全等三角形的周长相等
其中正确的说法为
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【解答】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，说法正确；
②全等三角形的对应边相等、对应角相等，说法正确；
③面积相等的两个三角形全等，说法错误；
④全等三角形的周长相等，说法正确；
故选：．
考点2 全等三角形的性质
【例2】（2023•襄州区模拟）已知，若，，则的度数为
A．B．C．D．无法确定
【答案】
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【变式练1】（2023•高州市校级二模）如图，，，则的对应角为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：，
，
的对应角是，
故选：．
【变式练2】（2023•锦江区校级模拟）如图，，，，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
【变式练3】（2023•淄川区二模）如图，，点在上，，，，四点在同一条直线上．若，，则下列结论正确的是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解答】解：，
，，，，，，
，，
，
，
，
，
，故，错误，不符合题意；
，
得不出，故正确，符合题意；
得不出，故错误，不符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•广东模拟）如图，，的对应顶点是，的对应顶点是，若，，，则的长为
A．3B．7C．8D．以上都不对
【答案】
【解答】解：，的对应顶点是，的对应顶点是，知和是对应边，，
．
故选：．
【变式练5】（2023•泗洪县二模）如图，已知，平分，若，，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：，，
，，
，
在四边形中，，
，
平分，
，
，
故选：．
考点3 全等三角形的判定
【例3】（2023•宿豫区三模）如图，已知，添加一个条件，不能使的是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：、若，且，，由“”可证，故选项不符合题意；
、若，且，，由“”可证，故选项不符合题意；
、若，且，，由“”可证，故选项不符合题意；
、若，且，，无法证明，故选项符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•利州区模拟）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：、添加，根据，能判定，故选项不符合题意；
、添加，根据，能判定，故选项不符合题意；
、添加，根据，能判定，故选项不符合题意；
、添加时，不能判定，故选项符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•武侯区校级模拟）如图，，，下列四个条件中再添加一个，不能判定的是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：、添加条件不能判定，故说法符合题意；
、添加条件判定用的判定方法是，故说法不符合题意；
、添加条件判定用的判定方法是，故说法不符合题意；
、添加条件判定用的判定方法是，故说法不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•明水县模拟）如图，，点、分别在、上，补充一个条件后，仍不能判定的是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•新昌县模拟）如图所示，，，要使，需添加条件
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：，，
要使，需添加的条件为，
又，
即，
可添加的条件为或．
综合各选项，选项符合．
故选：．
【变式练5】（2023•曲靖一模）如图，在和中，已知，则添加以下条件，仍不能判定的是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：、根据可判定，故本选项不符合题意；
、根据不能判定，故本选项符合题意；
、根据可判定，故本选项不符合题意；
、根据可判定，故本选项不符合题意；
故选：．
考点4 直角三角形全等的判定
【例4】（2023•武侯区校级三模）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：，，
，
．，，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出和全等，故本选项符合题意；
．，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意；
．，，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出和全等，故本选项不符合题意；
．，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•永定区一模）如图，于点，于点，．要根据证明，则还需要添加的条件是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：于点，于点，
，
，
当添加时，根据“”判断．
故选：．
【变式练2】（2022•昆明一模）如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：条件是，
理由是：，，
，
在和中，
，
，
故选：．
【变式练3】（2018•南浔区一模）如图，，，，则的理由是
A．B．C．D．
【解答】解：在与中，
，
．
故选：．
【变式练4】（2018•黄州区校级模拟）如图，在中，于，于，与相交于点，若，则 45 度．
【解答】解：于，于
，，
又（对顶角相等）
，
在和中，
，
，
，
即．
故答案为：45．
【变式练5】（2010•萝岗区一模）如图，在四边形中，，，于点，且四边形的面积为9，则 3 ．
【解答】解：过作垂直的延长线交于点，，，
，；
又，，且，
，即；
，，，
四边形为正方形；
由以上得四边形的面积等于正方形的面积，即等于9，
，即．
考点5 全等三角形的判定与性质
【例5】（2023•方城县模拟）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积，其中正确的结论有
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】
【解答】解：在与中，
，
，故①正确；
，
在与中，
，
，
，，
，故②正确；
四边形的面积，故③错误；
故选：．
【变式练1】（2023•安吉县一模）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【解答】解：，
，即，
在和中，
，
，
．
故①正确；
，
，
、，
，
，
故②正确；
分别过作、垂足分别为、，
，
，
，
，
，
平分，无法证明平分．
故③错误；
平分，，
，
故④正确．
故选：．
【变式练2】（2023•香洲区二模）如图，在和中，，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件可能是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：，，
当时，由可得，故不符合题意；
当时，则，由可得，故不符合题意；
当时，则，由可得，故不符合题意；
当时，不能得出，故符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•西陵区模拟）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：作于点，
平分，于点，
，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，且，，
，
，
故选：．
【变式练4】（2023•沅江市校级模拟）如图，是的角平分线，于，、分别是边、上的点，．若和的面积分别为30和16，则的面积是
A．22B．23C．24D．25
【答案】
【解答】解：过作于，
是的角平分线，于，
，，
在与中，
，
，
在与中，
，
，
，，
和的面积分别为30和16，
，
，
，
故选：．
【变式练5】（2023•天长市校级二模）已知中，，，是 的角平分线，，则的最大值为
A．10B．12.5C．25D．15
【答案】
【解答】解：如图：延长，交点于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，；
，
，即；
，
，
最大时，面积最大，
当时，面积最大，
即最大面积．
故选：．
考点6 全等三角形的应用
【例6】（2023•晋城模拟）数学综合与实践小组的同学想测量一个池塘两端．之间的距离，他门设计了如图所示的方案，在平地上选取能够直接到达点和点的一点；连接并延长，使；连接并延长，使，连接并测量其长度，的长度就是．之间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：在和中，
，
，
．
故选：．
【变式练1】（2023•柳州二模）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
，
故选：．
【变式练2】（2023•西区校级一模）如图，要测量河中礁石离岸边点的距离，可以采用如下方法：顺着河岸方向任取一线段，作，，可得△，所以，因此测量的的长就是的长，判定图中两三角形全等的理由是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：在△和中，
，
△．
故选：．
【变式练3】（2023•济阳区一模）一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间（如图），已知，，，为三块砖的厚度，为两块砖的厚度，李明很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为 ．
【答案】．
【解答】解：过点作于点，
设砌墙砖块的厚度为，则，则，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
在中，
，
，
解得；或（舍去），
故答案为：．
【变式练4】（2023•信阳二模）如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为，则当点的运动速度为 1或1.5 时，与有可能全等．
【解答】解：设点的运动速度是，
，
与全等，有两种情况：
①，，
则，
解得：，
则，
解得：；
②，，
则，，
解得：，，
故答案为：1或1.5．
【变式练5】（2023•芙蓉区校级三模）如图，点、、、在直线上、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【解答】（1）证明：，
，
在与中
；
（2），
，
，
，
，，
．
考点7 角平分线的性质
【例7】（2023•舟山模拟）如图，，，分别平分，，，于点，，的面积为36，则的周长为
A．48B．36C．24D．12
【答案】
【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
平分，，，
，
平分，，，
，
的面积的面积的面积的面积
，
，
即的周长为24．
故选：．
【变式练1】（2023•临沂一模）如图，点是内部的一点，点到三边，，的距离，，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：点到三边，，的距离，
、是、的角平分线，
，，
，
，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•成县三模）在中，，，平分线交于点，若，则长为
A．B．6C．D．8
【答案】
【解答】解：，，
，
平分，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：．
【变式练3】（2023•金平区一模）如图中，平分，，，，则的面积为
A．2B．3C．4D．6
【答案】
【解答】解：过点作于点，如图所示：
平分，，，
，
，
的面积，
故选：．
【变式练4】（2023•泰山区校级二模）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：延长，作，，，
设，
平分，
，，
平分，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故选：．
【变式练5】（2023•灞桥区校级模拟）如图，在中，，平分，过点作，若，，则的长为
A．5B．4C．3D．2
【答案】
【解答】解：，平分，于，
，
，，
，
，
故选：．
考点8 线段垂直平分线的性质
【例8】（2023•海东市二模）如图，在中，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为16，，则的长为
A．4B．5C．6D．7
【答案】
【解答】解：的周长为16，
，
垂直平分，，
，，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
【变式练1】（2023•邵阳县二模）如图所示，在中，的垂直平分线分别交、于、两点，且，，则的周长是
A．10B．11C．12D．13
【答案】
【解答】解：是的垂直平分线，
，
，，
的周长
，
故选：．
【变式练2】（2023•花溪区校级一模）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，，为半径画弧，两弧交于一点，连接线段交于点，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：在中，，，，
则，
由作图可知：是线段的垂直平分线，
，
，
，
由勾股定理得：，
故选：．
【变式练3】（2023•顺德区三模）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于，两点，则的周长等于
A．12B．14C．16D．17
【答案】
【解答】解：在中，，，，
则，
是的垂直平分线，
，
的周长，
故选：．
【变式练4】（2023•红花岗区一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的周长是
A．5B．10C．15D．20
【答案】
【解答】解：的垂直平分线交于点，
，
的垂直平分线交于点．
，
的周长．
故选：．
【变式练5】（2023•南宁一模）如图，的垂直平分线交于点，，，则的周长为
A．6B．10C．16D．18
【答案】
【解答】解：是的垂直平分线，
，
，，
的周长，
故选：．
方
法
技
巧
点
拨
1．全等形：
（1）判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较．
（2）全等形的形状相同，大小相等．
两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．
（3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．
2．寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：
（1）图形特征法：
最长边对最长边，最短边对最短边；
最大角对最大角，最小角对最小角．
（2）位置关系法：
①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．
②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．
（3）字母顺序法：
根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．
3．根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出全等三角形的对应边和对应角是解题关键．
4．全等三角形的性质
（1）全等三角形性质的应用：可用来证明两条线段相等，两个角相等．
（2）平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形，利用全等的性质得到对应边相等、对应角相等解决问题．
5．判定两个三角形全等常用的思路方法如下：
6．找等角的常用方法证三角形全等时，常见的隐含等角有
（1）公共角；
（2）对顶角相等；
（3）等角加（或减）等角仍得等角；
（4）角平分线得两等角；
（5）同角（或等角）的余角或补角相等；
（6）平行线得同位角、内错角相等；
（7）垂直定义得两角相等；
（8）一些自然规律：“太阳光线可以看作是平行线”“光的入射角等于反射角”等也是常见的隐含条件．