2023-2024学年度初三秋季B版第9讲：全等到相似的转化(讲义+课后测+课后巩固+答案）

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第9讲：全等到相似的转化【重要考点目录】模块1：手拉手模型模块2：对角互补模型模块3：十字架模型【重要考点讲解】模块1：手拉手模型【知识精讲】【典例精讲】例题1．（2022•烟台改编）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．请直接写出的值．【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．（1）求的值；（2）延长交于点，交于点．证明：．例题2．（2020•深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图，还能得到吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图，试问当与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转（如图，连接，．小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．模块2：对角互补模型【知识精讲】【典例精讲】例题3．（2023•南宁一模）【课本再现】（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点．在实验与探究中，小州发现通过证明，可得．请帮助小州完成证明过程；【类比探究】（2）如图2，若四边形是矩形，为对角线上任意一点，过作，交于点，当时，求证：；【拓展提升】（3）如图3，若四边形是平行四边形，为对角线上任意一点，点在上，且，求证：．例题4．（2023•襄阳）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，为常数）．【特例证明】（1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，．①填空：　　；②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．【类比探究】（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．【拓展运用】（3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．模块3：十字架模型【知识精讲】【典例精讲】例题5．（2022•乐山）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．【问题探究】如图1，在正方形中，点、、、分别在线段、、、上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点、、、分别在线段、、、上，且．则　　．【拓展应用】如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．求的值．例题6．（2021•达州）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为 　　；（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为 　　；【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，．①求的值；②连接，若，直接写出的长度．第9讲：全等到相似的转化课后巩固1．（2023•湖北）【问题呈现】和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．【问题探究】（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：　　．（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】（3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．2．（2023•三美西附3月份联考）在等边中，点是边上一点，点是直线上一动点，连接，将射线绕点顺时针旋转，与直线相交于点．（1）若点为边中点．①如图1，当点在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系 　　；②如图2，当点落在边上，点落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；（2）如图3，点为边上靠近点的三等分点．当时，直接写出的值．3．（2016•烟台）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又，点，分别在边，上，若，则的值为　　；【联系拓展】（3）如图3，四边形中，，，，，点，分别在边，上，求的值．基本图形重要结论条件：，，;结论：①； ②，平分；③四点共圆．条件：，;结论：①；②；③四点共圆．基本图形重要结论条件：，;（ⅰ）辅助线作法：如图1，作于，结论：①四点共圆；②；③平分．（ⅱ）辅助线作法：如图2，连接，作交于结论：①四点共圆；②；③平分．条件：;（ⅰ）辅助线作法：如图1，作于，结论：①四点共圆；②．（ⅱ）辅助线作法：如图2，连接，作交于结论：①四点共圆；②；条件：，;（ⅰ）辅助线作法：如图1，作于，结论：①四点共圆；②；③平分．（ⅱ）辅助线作法：如图2，连接，在上作点使 结论：①四点共圆；②；③平分．条件：;（ⅰ）辅助线作法：如图1，作于，结论：①四点共圆；②．（ⅱ）辅助线作法：如图2，连接，在上作点使结论：①四点共圆；②；基本图形重要结论条件：在正方形中，分别是边上的点，且;辅助线作法：作于，于;结论：①； ②．条件：在矩形中，分别是边上的点，且;辅助线作法：作于，于;结论：①； ②．如图，在正方形中，．求证：．证明：设与交于点，四边形是正方形，，．，，．．，．．