初中数学北师大版九年级下册3 垂径定理教学ppt课件

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1. 理解垂径定理的推导。2.利用垂径定理解决实际问题。
你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．
它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和弧？并尝试证明？
证明:设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上的点CD以外的任意一点.
过A作AA'垂直CD，交于⊙O点A'，垂足为M，连接OA，OA'.
∴△OAA'是等腰三角形.
即CD是AA'的垂直平分线.
从上面的证明过程中我们可以知道：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．用几何语言表述为：如图，在⊙O中，
垂径定理的几个基本图形：
练一练：判断下列图形，能否使用垂径定理？
定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦
如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M（1）图是轴对称图形吗?如果是其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
易证OM⊥AB，∠AOC=∠BOC
垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
符号语言：在⊙O中，∵CD是直径，AM=BM，且AB不是直径，∴CD⊥AB，
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
例：如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中 ,点O是 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E为 上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
∴这段弯路的半径约为545m.
试一试：1 400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4 m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2 m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1 m）.
OD = OC – DC = R – 7.2 .在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得OA2 = AD2 + OD2 ，即 R2 = 18.72 +（R – 7.2）2解得 R ≈ 27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
1.已知⊙0的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到弦AB的距离为( ) A. 8cm B. 5cm C. 9cm D. 12cm
2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结 论不一定成立的是（ ）CM = DM B. C. ∠ACD =∠ADC D. OM = MD
3.如图AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点,若BC=6, AB=10, OD⊥BC于点D,则OD的长为______
4. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言就是:如图，CD为⊙О的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长.
5.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
解：AC=BD.理由如下:如图所示,过点О作OE⊥AB于点E.∵在大圆中,AE=EB,在小圆中,CE=ED,∴AE-CE=EB-ED,即AC=BD.
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
1.作业：教材“习题3.3”中第2、4题.2.完成练习册中本课时的练习.