2024届贵州省贵阳市六校（贵州省实验中学等）高三上学期联合考试（一）数学试题含解析

这是一份2024届贵州省贵阳市六校（贵州省实验中学等）高三上学期联合考试（一）数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解出集合，根据交集含义即可得到答案.
【详解】由，，
所以，
故选：B.
2．是虚数单位，复数满足，其中. ：“复数在复平面内对应的点在第一象限”，则下列条件是的充分不必要条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意求得复数，根据充分、必要条件分析求解.
【详解】因为，则，
若复数在复平面内对应的点在第一象限，则，解得，
即：，
因为选项中只有为的真子集，
所以选项中只有是的充分不必要条件.
故选：D.
3．贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（ ）种表演顺序.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定贵州两名球员的顺序，再确定其余6人的表演顺序即可.
【详解】由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为，在确定其余6人顺序为，由分步乘法原理可得一共有种顺序.
故选：C.
4．公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设等差数列的公差为，根据已知列出方程组，求解得出的值，代入公式即可得出答案.
【详解】设等差数列的公差为，
由条件得
即
则
故.
故选：A.
5．如图，已知函数的图象关于原点对称，则的解析式可能是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性及单调性即可求解.
【详解】对于A，的定义域,，
所以是偶函数，
对于B，的定义域,，
所以是奇函数，
当时，，，所以在上单调递增，
对于C，的定义域,，所以是偶函数，
对于D，的定义域,，所以是奇函数，
当时，，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.
由的图象关于原点对称，可知是奇函数，因此可以排除A和C；
又对于B选项，当时，单调递增，故排除B，
故选：D.
6．如图所示，在直三棱柱中，底面是直角三角形，且，，分别为线段和线段上的动点，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，∥平面
B．当，为，的中点时，到平面的距离为
C．当为的中点时，恒有
D．当为的中点，且时，则
【答案】A
【分析】对于A：根据题意可得∥，取，为，的中点分析判断；对于B：根据题意可证平面，进而可得平面，即可得结果；对于C：结合选项B可证平面，进而可得结果；对于D：结合选项C可证平面，进而可得结果.
【详解】对于选项A：当时，∥，且∥，可得∥，
但当，为，的中点时，可知平面，
可得不平行于平面，故A不正确；
对于选项B：当，为，的中点时，∥，
因为平面，平面，则，
且，，平面，
可得平面，所以平面，
且平面，可得，
又因为，为的中点，则，
且，平面，可得平面，
所以到平面的距离为，故B正确；
对于选项C：因为平面，平面，则，
又因为，为的中点，则，
且，平面，可得平面，
且平面，所以，故C正确；
对于选项D：由C选项可知平面，且平面，则，
且，，平面，可得平面，
由平面，可得，故D正确；
故选：A.
7．2023年8月31日贵南高铁实现全线贯通运营，我国西南和华南地区新增一条交通大动脉，黔桂两地间交通出行更加便捷、西南与华南地区联系将更加紧密.贵南高铁线路全长482公里，设计时速350公里，南宁东到贵阳东旅行时间由原来的5个多小时缩短至最快2小时53分.贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃.在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出事件，求出既喜欢肠旺面又喜欢丝娃娃的概率，从而利用条件概率公式求出答案.
【详解】设喜欢吃肠旺面设为事件，喜欢吃丝娃娃设为事件，
喜欢肠旺面或丝娃娃为事件，既喜欢肠旺面又喜欢丝娃娃为，
由题意知，，
从而，
因此由条件概率的公式得.
故选：B.
8．椭圆：的左、右焦点分别为，，现已知与抛物线的焦点重合，椭圆与过点的幂函数的图象交于点，且幂函数在点处的切线过点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由抛物线得到，，结合幂函数所过点坐标，得到解析式，设点的坐标，求导得到过的切线，代入点，得到，得到，从而求出和离心率.
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，则，.
又因为幂函数过点，故，解得，故.
设点的坐标为，，
则过的切线为，且幂函数在点处的切线过点，
故，解得，故，
而在椭圆上，则，而，
可得，，则椭圆的离心率为.
故选：C.
二、多选题
9．已知定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．时，
C．D．函数有且只有3个零点
【答案】ABD
【分析】结合奇函数的性质，可判断A、B；应用分段函数的知识可判断C、D.
【详解】由是定义在上的奇函数，故，所以A选项正确；
由，，则.又，所以，故B选项正确；
，，
又，，故C选项错误；
由以上得到当，，，所以D选项正确.
故选：ABD.
10．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则与夹角为锐角
C．若，则
D．当时，向量在向量方向上的投影向量为
【答案】ACD
【分析】根据向量平行的坐标表示计算可判断A，根据数量积大于0并检验向量同向情况即可判断B，根据向量垂直时数量积为0计算即可判断C，根据投影向量的坐标计算判断D.
【详解】若，则，解得或，故A正确；
当与夹角为锐角时，，即，解得，由A知，当时，且与同向，所以，故B错；
，，解得：，故C正确；
当时，，，向量在向量方向上的投影向量为，故D对
故选：ACD.
11．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是
B．当时，函数的对称轴方程是，
C．若在上有且仅有2个最大值点，则
D．若在上有且仅有4个零点，则
【答案】BC
【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，从而得到的最大值；B选项，整体法求解函数的对称轴方程；C选项，先求出，从而得到不等式，求出的取值范围；D选项，在C选项的基础上，得到不等式，求出答案.
【详解】A选项，，
所以函数的最大值为2，故A错；
B选项，当时，，令，
解得，故函数的对称轴方程是，故B正确；
C选项，时，，
若在上有且仅有2个最大值点，
则，解得：，故C正确；
D选项，若在上有且仅有4个零点，结合C选项，
则，解得：，故D错，
故选：BC.
12．定义阶导数的导数叫做阶导数（，），即，分别记作.设函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值可能为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】BD
【分析】利用阶导数的定义，求出阶导数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，，
所以，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，，则，，
，
令，得，
当时，；时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，即，
故选:BD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用阶导数的定义求出阶导数，再利用分离参数法解决恒成立问题，结合导数法求函数的最值即可.
三、填空题
13．如图，是某一数据的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其75%分位数（上四分位数）的估计值为 （保留2位小数）
【答案】15.83
【分析】利用频率等于组距乘以频率/组距及百分位数的定义即可求解.
【详解】由题意可知，，，
所以75%分位数为：，解得：.
故答案为：
14．已知函数，当时，，则 .
【答案】2
【分析】由题意条件得到的图象关于直线对称，从而得到，再代入求值即可.
【详解】由可知，函数的图象关于直线对称，
而函数的图象关于直线对称，所以，
所以，
所以.
故答案为：2
四、双空题
15．数列中，比2024小的项共有 项；这些项的和是 （用具体数字作答）.
【答案】 55 18434
【分析】先观察数列得到数列特征，得到比2024小的项是，且有10项，从而得到比2024小的项一共有多少项，利用错位相减法求和.
【详解】观察数列可以发现，有1项，有2项，有3项，有4项，
比2024小的项是，且有10项，
所以比2024小的项共有项；
设比2024小的项的和为，即，
，
两式相减得，，
所以.
故答案为：55，18434
五、填空题
16．在平面直角坐标系中，点到直线距离的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用点到直线距离公式得到，换元后利用基本不等式求出答案.
【详解】，令，
则，当且仅当时，等号成立.
所以.
故答案为：
六、解答题
17．已知数列满足，，满足，.
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列中满足的所有项的和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)2046
【分析】（1）根据题意结合等差数列的定义可以得证，运用等差数列的通项公式解得的通项公式；
（2）先求出数列的通项公式，根据解出的值，根据等比数列的前n项和公式得出结果.
【详解】（1）解：由，解得，
因为，
所以由等差数列的概念得，数列是为首项，1为公差的等差数列.
数列的通项公式为，
所以.
（2）因为，，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以，
因为，即得到，
又，
所以，解得，且，
所以满足题意的为数列的前10项，记的前项和为，
则，
所以数列中满足的所有项的和为.
18．①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，并进行解答.
在中，内角，，对应的边为，，且___________.（如果选择多个，则按第一个解答计分.）
(1)求角；
(2)若，，点，分别在边，上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）选择①，利用三角形的内角和公式及诱导公式，结合两角和的正切公式及三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解；
选择②，利用正弦定理角化边及余弦定理的推论，结合三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解；
选择③，利用正弦定理边化角及辅助角公式，结合三角函数的特殊值对应的特殊角注意角的范围即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，利用余弦定理及基本不等式即可求解.
【详解】（1）选择①：由已知得，
所以.
在中，，所以.
选择②：由已知及正弦定理得，
所以，所以.
因为，所以.
选择③：由已知及正弦定理可得，
又，所以，
所以，即，于是有.
又因为，所以，解得.
（2）由（1）知，，因为，，
所以的面积为，
所以的面积为.
设，，所以，即，
由余弦定理知，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
19．第19届亚运会的开幕式于2023年9月23日在我国杭州举行.2023年8月，某商场为了吸引顾客，举行了“答题领优惠，杭州看亚运”促销活动.具体规则是：两人一组进行答题比拼，比拼分两关进行.第一关：一道题，两人抽签决定谁答题（都有的机会被抽到），答对得10分并获得100元优惠券，否则另一人得10分并获得100元优惠券；第二关：由第一关获得积分和优惠券的人从6道题目中抽取2道题目回答，每回答正确一道题目就获得10分和100元优惠券，每答错一道题目另一人获得10分和100元优惠券，两轮比赛结束后，积分更高者获胜，胜者将获得一张亚运会开幕式门票和200元优惠券.现有甲、乙两人组成一组参加该游戏，已知第一关的问题甲能答对的概率为，乙能答对的概率；第二关的6道题目中甲能答对4题，乙能答对3题.
(1)求甲获胜的概率；
(2)设表示甲获得的优惠券总金额，求的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式即可求解；
（2）根据已知条件求出随机变量的取值，然后利用概率的乘法公式和概率的加法公式求出对应的概率，进而求出随机变量的分布列，利用随机变量的均值公式即可求解.
【详解】（1）令事件为“甲第一关胜出进入第二关”，事件为“乙第一关胜出进入第二关”，
则，
（或），
令：：第二关甲两题都答对 ：第二关乙两题都答对
：第二关甲答题一对一错 ：第二关乙答题一对一错
：第二关甲两题都答错 ：第二关乙两题都答错
：经过两关比赛，甲获胜，
所以
.
（2）的所有可能取值为0，100，400，500，
，
，
，
，
所以的分布列是：
.
20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，平面平面，若平面与平面相交于直线，为的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先证明平面，由线面平行的性质得到，再由面面垂直的性质得到平面，从而得证；
（2）设为的中点，连接，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，取的中点，连接，则，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）∵底面是正方形，∴，
又平面，平面，∴平面，
又平面，平面平面，∴，
又平面平面，且平面平面，，平面，
∴平面，∴平面.
（2）设为的中点，连接，因为，所以，
又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
取的中点，连接，则，所以，
如图以为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以各点的坐标分别为，，，，，
设，∵，
∴，即，解得，所以，
∴，，，
设平面的一个法量为，
则，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
21．已知椭圆：的离心率为，上焦点到上顶点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，与定直线：交于点，设，，证明：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可.
（2）按直线的斜率存在与否探讨，利用韦达定理，结合平面向量的坐标运算计算推理即得.
【详解】（1）令椭圆：半焦距为c，则，解得
所以椭圆的标准方程是.
（2）由（1）知，，
当直线的斜率不存在时，直线：，不妨令，而，
则，，此时；
当直线的斜率存在时，设直线：，
由消去y得：，
易知，设，，，
则，，，
，
由，得，则，
同理由，得，
则，
所以为定值0.
.
【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；
（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
22．已知函数.
(1)求证：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导后判断单调性，求得最小值即可证明；
（2）把等价转化为，借助第一问的结论可得，当且仅当时等号成立，令，，求导后确定，使，从而可得，从而可求解.
【详解】（1），，
令，即，解得，
令，得，令，得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
所以，得证.
（2）若，
则，
由（1）知，
则，等号成立，当且仅当.
令，，
则，所以是上的增函数.
又，，
所以，使，
此时，若使，
也需要，即，
.
所以实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
0
100
400
500