2024届海南省海南中学高三上学期第2次检测数学试题含解析

这是一份2024届海南省海南中学高三上学期第2次检测数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，或，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，或，因此，.
故选：C.
2．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析出在上单调递增，在上单调递减，排除B，C选项，又当时，，求导得到其单调递减函数，再次求导得到函数图象上凸,从而得到A选项正确.
【详解】当时，，
则，
故当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，所以B，C错误，
当时，，
，所以在上单调递减，
令，则，
所以单调递减，函数图象为上凸，故D错误，A正确.
故选：A.
3．高三年级有8个班级，分派4位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先将班级均分成4组，然后全排列即可求解.
【详解】分两步，第一步将高三8个班级，两两一组分4组，共有种分法，第二步将4位数学老师分配到这4组，共有种情况，所以不同的分派方法有=.
故选B
【点睛】本题主要考查排列组合交汇的问题，一般先组合后排列，考查逻辑推理能力，属于基础题.
4．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级是据震中100千米处的标准地震仪（周期，衰减常数约等于1，放大倍率2800倍）所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式：，其中表示“标准地震振幅”（使用标准地震振幅是为了修正测振仪距离实际震中的距离造成的偏差），是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅．4.5级地震给人的震感已比较明显，那么6.5级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的（ ）倍．
A．B．10C．100D．
【答案】C
【分析】由求得，然后求得6.5级地震的最大振幅与4.5级地震的最大振幅的比值.
【详解】由于，所以，
所以6.5级地震的最大振幅与4.5级地震的最大振幅的比值为：
.
故选：C
5．设，，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用对数的运算性质将化成以2为底的对数，再利用对数的单调性即可得出的大小．
【详解】，
且，故选A．
【点睛】本题主要考查对数的运算性质以及对数函数的单调性的应用．
6．已知函数的图象上恰好有两对关于原点对称的点，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．
【答案】D
【解析】由关于原点对称特点可得在上有两解，由判别式大于0，两根之和大于0，之积大于0，解不等式即可得到所求范围．
【详解】解：函数图象上恰好有两对关于原点对称的点，
在上有两解，
即在上有两解，
，即为，
解得，
故选：．
【点睛】本题考查函数的图象的对称性，注意运用转化思想，注意运用二次方程实根的分布，属于中档题．
7．在高三复习经验交流会上，共有3位女同学和6位男同学进行发言.现用抽签的方式决定发言顺序，事件表示“第位发言的是女同学”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件概率公式计算即可.
【详解】由题意，，
所以，
故选：A
8．已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】函数存在减区间,则有解可求解.
【详解】由题可知,
因为函数存在减区间,则有解,
即有解,
令,,
令,解得 ; 令,解得 ,
所以在单调递减, 单调递增,
所以,
因为有解,所以,
解得.
故选:D.
二、多选题
9．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】求导，利用基本不等式可得导数范围，然后可得垂线斜率范围，进而可得答案.
【详解】的定义域为，
，即直线的斜率，
设与垂直的直线的斜率为，则，
所以，．
故选：AB．
10．函数满足以下条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在上不是单调函数；④恰有2个零点.则函数的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】利用函数图象变换画出选项A，B，C，D对应的函数图象，逐一分析即可求解.
【详解】解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但的定义域为，所以选项B错误；
函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，但有3个零点，选项A错误；
函数的定义域是，当时，的图象对称轴为，其图象是开口向下的抛物线，故在，单调递增，在，单调递减，由图得恰有2个零点，选项C正确；
函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，且有2个零点，选项D正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：翻折变换
（1）形如，将函数的图象在轴下方的部分翻到轴上方，去掉原来轴下方的部分，保留原来轴上方的部分.
（2）形如，将函数的图象在轴右边的部分沿轴翻到轴左边替代原来轴左边部分，并保留轴右边部分.
11．设函数在R上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数a的可能取值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】AB
【分析】构建，根据题意分析可得：为奇函数，在R上单调递增，利用单调性解不等式即可得结果.
【详解】
令，即，则为奇函数，
当时，，则在区间上单调递增，
故在区间上单调递增，则在R上单调递增，
∵，即，
∴，解得，
故A、B正确，C、D错误.
故选：AB．
12．对于函数，则（ ）
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．函数与的图象有两个交点
D．函数有两个零点
【答案】AD
【分析】对函数求导，通过求导判断函数的单调性从而可知函数是否有极值；画出函数与的图象从而可判断交点个数；函数有两个零点价于函数与图像有两个交点，数形结合即可判断.
【详解】，则，
因为在恒成立.
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以在处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；
根据的单调性，画出函数图像，以及的图象，如图：
由此可知，函数与的图象只有一个交点，故C错误；
函数有两个零点等价于函数与图像有两个交点，如下图所示：
由此可知，函数与图像有两个交点，即函数有两个零点；故D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【详解】要使有意义，须，即，解得或，即函数的定义域为；故答案为.
14．函数的最大值为 ．
【答案】
【分析】求出给定函数的导数，借助导数求出函数的最大值即可.
【详解】在函数中，由得函数的定义域为，
当时，，由得：，
当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，
于是当时，，
所以当时，函数的最大值为.
故答案为：
15．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 .
【答案】
【分析】根据题意求解可得对称中心，再根据对称中心的性质求解即可.
【详解】由题意，，，令解得，又，故的对称中心为.故当时，.
故答案为：
16．设函数，.若在区间上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据，得到在区间上没有零点，求导，分，与三种情况，由函数单调性和极值最值，得到不等式，求出a的取值范围.
【详解】由于，即在区间上没有零点．
因为，
当时，，
①当时，在区间上单调递增，
时，，符合题意；
②当时，在区间上单调递减，
时，，符合题意；
③当时，令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
只需即可，所以，
综上，的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．化简求值:
（1）
（2）
【答案】（1）（2）11
【分析】（1）根据指数幂运算,即可求得答案;
（2）根据对数运算,即可求得答案.
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题主要考查了指数幂运算和对数运算,解题关键是掌握指数幂运算和对数运算基础知识,考查了计算能力,属于基础题.
18．如果函数在其定义域内存在，使得成立，则称函数为“可分拆函数”．
（1）试判断函数是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；
（2）设函数为“可分拆函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】（1）根据“可分拆函数”，验证是否成立，即方程是否有解，化简为一元二次方程后，利用判别式判断出方程无解，也即不是“可分拆函数”.（2）利用列方程，分离出常数的值，即，利用换元法求得右边表达式的取值范围，由此求得的取值范围.
【详解】（1）假设是“可分拆函数”，则定义域内存在，
使得，即，此方程的判别式，
方程无实数解，所以不是“可分拆函数”．
（2）因为函数为“可分拆函数”，
所以定义域内存在，使得，
即且，
所以，令，则，
所以，
由得，即的取值范围是．
【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解，考查函数与方程的思想，还考查了函数值域的求法.属于中档题.
19．已知指数函数的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设（，且），根据函数过点，代入求出参数的值，即可得解；
（2）首先求出的解析式，令， ，令，，则问题转化为在上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）由题意，设（，且），
∵的图象过点，
∴，解得，
故函数的解析式．
（2）∵，
∴，
令，因为，所以，
∴，，
函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点，
则，即，解得，
故实数的取值范围为．
20．某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额（万元）的数据如下：
（1）求单店日平均营业额（万元）与所在地区加盟店个数（个）的线性回归方程；
（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数的所有可能取值；
（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.
（参考数据及公式：，，线性回归方程，其中，.）
【答案】(1) (2) 5，6，7 (3)
【分析】（1）利用最小二乘法求线性回归方程；（2）解不等式得一个地区开设加盟店个数的所有可能取值；（3）利用古典概型的概率求选取的地区相同的概率.
【详解】（1）由题可得，，，设所求线性回归方程为，
则，
将，代入，得，
故所求线性回归方程为.
（2）根据题意，，解得：，又，所以的所有可能取值为5，6，7.
（3）设其他5个地区分别为，他们选择结果共有25种，具体如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
其中他们在同一个地区的有5种，所以他们选取的地区相同的概率.
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程即可；
（2）构造函数，利用导函数与单调性、最值的关系即可证明.
【详解】（1）,，
,所以切点为，由点斜式可得，，
所以切线方程为：.
（2）由题可得，
设，
，
所以当时，，
当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.
22．已知函数，.
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.
【答案】(1)在，上单调递增；在上单调递减
(2)
【分析】（1）求导后，根据正负即可求得单调性；
（2）分离变量将不等式变为，构造函数，利用导数可求得的最大值，由能成立的思想可确定的取值范围.
【详解】（1）当时，，则，
当时，；当时，；
在，上单调递增；在上单调递减.
（2）当时，由得：，
存在，使得成立，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
，，
，即，
，，
即实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数的单调性、能成立问题的求解；本题求解能成立问题的基本思路是采用分离变量的方式，将问题转化为函数最值的求解问题；由能成立可得，由能成立可得.
加盟店个数（个）
1
2
3
4
5
单店日平均营业额（万元）
10.9
10.2
9
7.8
7.1