山东省菏泽市官桥镇官桥中学2023-2024学年九年级上学期期中数学复习试题（解析版）

这是一份山东省菏泽市官桥镇官桥中学2023-2024学年九年级上学期期中数学复习试题（解析版），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（ ）

A. ①②B. ①④C. ③④D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理，正方形的判定定理即可求解．
【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等的菱形是正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理，正方形的判定定理是解题的关键．
2. 用配方法解方程时，原方程应变形为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将一元二次方程进行配方的步骤为第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；据此进行运算后判断，即可求解．
【详解】解：，
，
；
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的步骤是解题的关键．
3. 已知抛物线y=x2－8x+c的顶点在x轴上，则c的值是（ ）更多免费优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 A. 16B. -4C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．
【详解】∵二次函数y=-8x+c的顶点的横坐标为x=-=-=4，
∵顶点在x轴上，
∴顶点的坐标是(4，0)，
把(4，0)代入y=-8x+c中，得：16-32+c=0，
解得：c=16，
故选：A．
【点睛】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单．
4. 的直径为，弦为，是弦上一点，若的长是整数，则满足条件的点有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆的对称性，垂径定理，求出弦心距，得到的取值范围，根据圆的对称性即可得出结果．
【详解】解：∵的直径为，弦为，
∴弦心距为，
∵是弦上一点，
∴，
∵的长是整数，
∴或或；
根据圆的对称性可知，当或，各有个位置，
∴满足条件的点有5个；
故选：D．
5. 关于x方程的一个解是2，则的值是（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】将方程的解代入方程可得，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵关于的方程有一个根为2，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、求解代数式的值，理解方程的解满足方程是解答的关键．
6. 近期，六盘水市的红心猕猴桃一经上市，就大受欢迎．据调查：该水果在上市第一周时每千克销售价格为16元，到上市第三周时销售价格连续下降到每千克9元．设每周的平均减少率均为x，则可列出方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据该水果在上市第一周时每千克销售价格为16元，到上市第三周时销售价格连续下降到每千克9元，列方程即可．
【详解】解：设每周的平均减少率均为x，根据题意得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 在菱形中，点分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ）
A. 20B. 24C. 28D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理可得，再根据菱形的周长公式列式计算即可得到答案．
【详解】解：点分别是的中点，
是的中位线，
，
菱形的周长，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的性质，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半及菱形的四条边都相等，是解题的关键．
8. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．
9. 如图，在正方形中，E为上一点，连接，于点F，连接，设，若，则一定等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点B作于G，证明，得，，又由，从而可证得，得到，则，即，即可求解．
【详解】解：过点B作于G，
∵正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等要三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形的性质．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10. 如图，点是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点，交直线于点．若点是线段上的一个动点，，则点在线段上运动时，点不变，点随之运动，求当点从点运动到点时，点运动的路径长为（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明线段就是点运动的路径（或轨迹），如图②所示．利用相似三角形可以证明；其次，如图①所示，利用相似三角形，求出线段的长度，即点运动的路径长．
【详解】解：由题意可知，，点在直线上，轴于点，
则为等腰直角三角形，．
如图①所示，设动点在点（起点）时，点的位置为，动点在点（终点）时，点的位置为，连接．

，，
，
又，
，，
，
，且相似比为，
．
如图②所示，当点运动至上的任一点时，设其对应的点为，连接，
，．

，，
，
又，，
，
，
．
又，
，
，
点在线段上，即线段就是点运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点运动的路径（或轨迹）是线段，其长度为．
故选：D．
【点睛】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．
二、填空题
11. 关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得：
，解得：，
∴原方程为，
解方程得：，
∴方程的另一个根为-3；
故答案为-3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．
12. 如图，在矩形中，，，M，N两点分别从A，B两点以和速度在矩形边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D停止，当运动时间为________秒时，为等腰三角形．

【答案】或或
【解析】
【分析】根据等腰三角形的定义，分四种情况：①当点M在上，点N在上时；②点M在上，点N在上时；③点M、N都在C、D上时；④当点M在上，N在上时，分别画出图形，利用勾股定理和等腰三角形的性质、结合矩形的性质和解方程求解即可．
【详解】解：根据为等腰三角形，分以下四种情况：
①如图1，当点M在上，点N在上时，，，，
由得，解得；

②如图2，点M在上，点N在上时，，，
，，

在中，
由得，整理得：，
解得，(舍去)；
③如图③，点M、N都在C、D上时，

若点M在点N的右边时，则，，，
∴，此时，
由得，整理得，
∵，∴该方程无解；
若点M在点N的左边时，则，，，
∴，此时，
由得，
解得，不符合题意，舍去；
④如图④，当点M在上，N在上时，，，，
过N作于T，则四边形是矩形，

由得，则，
解得，
综上，满足条件的t值为或或．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程和解一元二次方程等知识，理解等腰三角形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键．
13. 四张背面相同的扑克牌，分别为红桃 1，2，3，4，背面朝上，先从中抽取一张把抽到的点数记为a ，再在剩余的扑克中抽取一张点数记为b ，则以(a，b) 为坐标的点在直线 y=-x+5上的概率为______________．
【答案】
【解析】
【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与点（a，b）在直线y=-x+5上的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中点（a，b）在直线y=-x+5上的有4种结果，
所以点（a，b）在直线y=x+1上的概率为=，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．还考查了一次函数图像上的点．
14. ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：____________，使得▱ABCD为正方形．
【答案】∠BAD＝90°(答案不唯一)
【解析】
【详解】试题分析：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD=90°时，▱ABCD为正方形．故答案为∠BAD=90°．
考点：正方形的判定；平行四边形的性质．
15. 如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△FDE，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG，以下结论：①AC⊥BE；②△BCG∽△GAD；③点F是线段CD的黄金分割点；④CG＋DG＝EG，正确的是：_________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】由△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，得到△FDE≌△ADC，再由矩形的性质得出∠DAC+DEF=90°从而判断①；由AC⊥BE可得∠BGC=90°，从而判断②；由Rt△FCB∽Rt△FDE及BC=AD=DF，DE=DC，得出可判断③；在线段EF上作EG′=CG，如图所示，连接DG′，通过△DCG≌△DEG′，得出△GDG′是等腰直角三角形，可以判断④．
【详解】解：∵△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，
∴△FDE≌△ADC，
∴AD=DF，DC=DE，∠DEF=∠DCA，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
即∠DAG+DEF=90°，
∴∠AGE=90°，
即AC⊥BE，
故①正确；
∵AC⊥BE，
∴∠BGC=90°，
即△BGC是直角三角形，而△AGD显然不是直角三角形，
故②错误；
在Rt△FCB和Rt△FDE中，
∵∠BFC=∠EFC，
∴Rt△FCB∽Rt△FDE，
∴，
∵BC=AD=DF，DE=DC，
∴，
即DF2=FC•DC，
∴点F是线段CD的黄金分割点，
故③正确；
在线段EF上取EG′=CG并连接DG′，如图，
∵DC=DE，∠DEF=∠DCA，
∴∠DEG′=∠DCG，
在△DCG和△DEG′中，
，
∴△DCG≌△DEG′（SAS），
∴DG=DG′，∠CDG=∠EDG′，
∵∠CDG=∠GDA=90°，
∠EDG′+∠GAD=90°，
∴∠GDG′=90°，
∴△GDG′是等腰直角三角形，
∴GG′=DG，
∵EG′=CG，
∴EG=EG′+GG′=CG+DG，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是根据已知比例式确定两个三角形相似．
三、解答题
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据直接开平方法可进行求解；
（2）根据公式法可进行求解方程．
【小问1详解】
∵
∴
∴，
∴，
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
17. 在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同，洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画出如下树状图：

共有9种等可能结果，和为偶数的有5种，
所以（两次抽取的卡片上数字之和为偶数）．
【点睛】本题考查了列树状图或者列表求概率问题，解决此题的关键是读懂题意，能合理找到分几步进行完成这件事情．
18. 已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，∠BAN=90°，
求证：四边形ADCN是矩形．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】通过证明△AMD≌△CMN得到对应边AD=CN；结合已知条件“CN∥AB”判定四边形ADCN是平行四边形；再根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．
【详解】证明：∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
∵，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN．
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形．
又∵∠BAN=90度，
∴四边形ADCN是矩形
【点睛】本题考查了矩形的判定．题设中出现一个直角或垂直时，常采用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．
19. 百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【答案】每件童装应降价20元．
【解析】
【分析】设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出元，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量每件的利润元，列出方程求解即可．
【详解】解：设每件童装应降价元，则
，
即：，
解得：，，
要扩大销售量，减少库存，
舍去．
答：每件童装应降价20元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出平均每天就可多售出的件数，再根据题意列出现在一天可售出的件数及每件盈利的总钱数，找出题中的等量关系列出方程求解即可．
20. 某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．
（1）填表（不需化简）
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）
【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20（2）300元
【解析】
【分析】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式；
（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程．
【详解】（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，
∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．
故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；
（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，
整理，得
x2﹣420x+32000=0，
解得x1=320，x2=100．
当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）．
当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）．
所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．
答：每间客房的定价应为300元．
21. 如图，在中，D是边的中点，E、F分别在及其延长线上，，连接、．
（1）图中的四边形是平行四边形吗？为什么？
（2）若，其它条件不变，那么四边形是菱形吗？为什么？
【答案】（1），理由见解析
（2）是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）证明，得到，根据，即可得出结论；
（2），三线合一得到，即，根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定．解题的关键是证明．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
四边形是菱形，理由如下：
∵，D是边的中点，
∴，
∵E、F分别在及其延长线上，
∴，
由（1）知四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
22. 李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，：很好；：较好；：一般；：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）若类男生有名，请计算出类女生的人数，并将条形统计图补充完整．
（2）为了共同进步，李老师想从被调查的类和类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是两位男同学的概率．
【答案】（1）C类女生有3人，补图见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据类的人数和所占人的百分数求出总人数，再用总人数乘以对应的比例即可求得类的人数，然后求得类中女生人数，再根据已知中类男生的人数即可补全统计图；
（2）列树状图可得所有等可能的情况，再找出符合的情况数，然后利用概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：调查的总人数（人）．
类学生人数：（名），
类女生人数：（名），
类男生人数有1名，
补图如下：
【小问2详解】
解：由题意画树形图如下：

从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是两位男同学的结果共有1种．
所以（所选两位同学恰好是两位男同学）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23. 如图，在矩形中，，．动点P从点A出发沿向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连接，设运动时间为秒．

（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）伴随着P，Q两点的运动，线段的垂直平分线为l；
①当l经过点A时，射线交于点E，求的长；
②当l经过点B时，求t的值．
【答案】（1）()
（2）①②或
【解析】
【分析】（1）过作交于，可证，可得，，，由即可求解；
（2）过作交于，①(ⅰ)当时，，，可求，可证，从而可得，即可求解； (ⅱ) 当时，可得，，可判断此情况不存在；②(ⅰ)当时，可求，即可求解；(ⅱ) 当时，过作交于，，可证，从而可得，可求，，，由，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过作交于，

，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
()；
故()．
【小问2详解】
解：如图，过作交于，

①(ⅰ)当时，
，，
线段的垂直平分线为l，且l经过点A时，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
(ⅱ) 当时，
，，
同理可得不成立，
故此情况不存在；
综上所述：的长为．
②(ⅰ)当时，如图，

线段的垂直平分线为l，且l经过点时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
(ⅱ) 当时，
如图，过作交于，

，
线段的垂直平分线为l，且l经过点时，
，
由①同理可证，
，
，
，
解得：，，
，
，
，
解得：；
综上所述：t的值为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相关的性质是解题的关键．
24. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．

【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证；
（2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证；
（3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，

四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键．入住的房间数量
房间价格
总维护费用
提价前
60
200
60×20
提价后