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2024合肥六校联盟高三上学期期中联考数学试题含解析
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这是一份2024合肥六校联盟高三上学期期中联考数学试题含解析，文件包含安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高三上学期期中联考数学试题含解析docx、安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高三上学期期中联考数学试题无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
命题学校：合肥十中 命题教师：浦健 审题教师：濮维灿
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上.
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先将全集用列举法表示出来，然后根据集合的补集、交集运算即可求解.
【详解】由题意，
又，所以，
又，所以.
故选：C.
2. “”是“”的（ ）条件
A. 必要不充分B. 充分不必要
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法，结合充分不必要条件，可得答案.
【详解】由不等式，等价于，解得或，
当时，不等式一定成立，反之不一定.
故选：B.
3. 设则（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的解析式直接求解即可.
【详解】因为.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指对幂函数的单调性判断
【详解】，排除B,C
又
故选：A
5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象可知为奇函数，即可根据奇偶性排除ABC，即可求解.
【详解】由图象可知：为奇函数，且定义域为，
对于A, ,故为偶函数，不符合要求，舍去，
对于C，,故为偶函数，不符合要求，舍去，
对于B，，故不是奇函数，不符合要求，舍去，
故选：D
6. 将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线.假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再等min甲桶中的水只有升，则的值为（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意建立方程组，根据指数和对数的运算，可得答案.
【详解】由题意可得：，
，，；
，，，，解得.
故选：D.
7. 定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，不等式可转化为，根据判断的单调性即可求解不等式.
【详解】令，则，
所以在R上单调递增.
，即，
所以.
故选：A
8. 点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当函数在点处的切线与平行时，最小，根据导数的几何意义求出切点即可.
【详解】当函数在点处的切线与平行时，最小.
，令得或（舍），所以切点为，
所以的最小值为切点到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确答案涂在答题卡上.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若则
C. “”是“”的必要条件
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项求解判断；
【详解】选项A：当时，不等式不成立，A错；
选项B ：两边分别同乘
则有，故有，选项B正确；
选项C: 当时， “”不成立，
然后，可以解得“”，故 “”是“”的必要条件，选项C正确；
选项D：则
则有，选项D正确；
故选；BCD.
10. 函数在下列哪个区间内有零点（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理直接判断即可.
【详解】令，，
则，
所以当时，，故函数在上单调递减；
当时，，故函数在上单调递增；
又
，
所以，所以内存在零点，故A正确；
，
所以，所以内不存在零点，故B错误；
，
所以，所以内不存在零点，故C错误；
，
所以，所以内存在零点，故D正确.
故选：AD
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为16B. 的最小值为9
C. 的最大值为2D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知结合基本不等式判断A和B；结合不等式性质判断C；结合二次函数的性质判断D.
【详解】因为，所以，解得，即，
当且仅当即时，的最小值取到16，故A正确；
因为，所以，所以，
当且仅当即时取到最小值为9，故B正确；
由得，
所以，
因为，所以，故C错误；
，
令，所以上式可化为，
所以当时，上式取到最小值，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ABD
12. 已知函数的定义域为为的导函数且，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先证明为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断.
【详解】对于D，为偶函数，则，
两边求导可得，则为奇函数，
则，令，则，，D对；
对于C，令，可得，则，C错；
对于B，，可得，
可得，
两式相加可得，
令，即可得，B对；
又，
则，
，可得，
所以是以为周期的函数，
所以根据以上性质不能推出，A不一定成立.
故选：BD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 已知幂函数在上单调递减，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】先由幂函数的定义，得到，求出，再由题意，根据幂函数的单调性，即可得出结果.
【详解】因为为幂函数，
所以或，
又在上单调递减，
由幂函数性质，可得：，解得：，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由幂函数单调性求参数，熟记幂函数的定义，以及幂函数的单调性即可，属于常考题型.
14. 计算__________.
【答案】50
【解析】
【分析】由指数运算和对数的运算性质求解即可.
【详解】.
故答案为：50
15. 设函数，若，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据函数求导法则，建立方程，可得答案.
【详解】由题意可知，且，则，
整理可得，解得.
故答案为：.
16. 已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】画出的图象，结合图象及的零点个数，得到的两个不等零点，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】画出的图象如下：
因为最多两个零点，
即当，或时，有两个不等零点，
要想有六个零点，结合函数图象，要和分别有3个零点，
则且，
即的两个不等零点，
则要满足，解得，
故实数的取值范围为
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 设函数的定义域为集合，函数，的值域为集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合，当时，利用函数的单调性求出集合，再利用并集的定义可求得集合；
（2）分析可知，，利用函数的单调性求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：对于函数，有，得，
解得，得，
当时，因为函数在上递减，则，即，
所以，所以.
【小问2详解】
解：因为“”是“”的必要不充分条件，则，
函数在上递减，所以，且，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
18. 已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）求的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，带入，由对应系数相等即可求出的解析式；
（2）对求导，讨论与的大小，即可求出的单调性，比较极值点和的大小即可得出答案.
【小问1详解】
设
则
所以，
故；
【小问2详解】
，
令，解得：或，
令，解得：，
列表如下：
所以的值域为
19. 设函数且为奇函数，且.
（1）求，的值；
（2），使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函数可知，解出，由解出；
（2）据题意可将问题转化成，利用基本不等式即可求.
【小问1详解】
是上的奇函数，
，即，
，经检验符合题意.
又，即，
解得（舍去），.
故，.
【小问2详解】
，使得，即，
在上单调递增，
，使得，
即，使得，
所以，
又因，当且仅当时取“=”，
所以.
20. 如图所示，一座小岛距离海岸线上的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：）表示他从小岛到城镇所用的时间，（单位：）表示小船停靠点距点的距离.
（1）将表示为的函数，并注明定义域；
（2）此人将船停海岸线上何处时，所用时间最少？
【答案】（1）
（2）此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少.
【解析】
【分析】（1）根据题目信息将表示为的函数即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间即可.
【小问1详解】
由题意可得：
【小问2详解】
，由解得
上递增，列表如下：
所以此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少.
21. 已知
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）设是函数的极值点，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)求导，求斜率利用点斜式求方程即可：（2）令导函数为0，转化为则，记此方程的实数根为，且利用零点存在定理及单调性得转化为，构造函数求最值即可证明
【小问1详解】
当时，，
，切点为，
所以在处的切线方程为，即
【小问2详解】
证明：的定义域为，
，令，
则，记此方程的实数根为，且
记，由，
则知.
当时，；当时，，
所以在上递减，在上递增，
则是函数唯一的极值点，
，其中，
所以，记
，所以在单调递减，，
故
22 设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）求导，讨论a的正负判断单调性（2）法一：构造新函数，含参讨论求最值求解：法二：分离参数法，求最值求解
【小问1详解】
.
①当时在上单调递增；
②当时时，；
时，，所以在上单调递减，
在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
（2）方法一：在上恒成立，
记，，
①当时，即时，在上单调递增，
，
所以不符合题意；
②当时，即恒成立，所以符合题意；
③当时，即时，由①知，
故只要，
所以.
综上所述，
方法二：
在上恒成立，
①当时，；
②当时，，记，
时，时，，
所以在上递减，在上递增，
所以
③当时，，由②知，在上递减，，
且时，，所以
综上所述，
-1
1
2
+
0
-
0
+
-1
单调递增
极大值
单调递减
极小值-1
单调递增
2
0
+
单调递减
最小值
单调递增
（考试时间：120分钟 满分：150分）
命题学校：合肥十中 命题教师：浦健 审题教师：濮维灿
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上.
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先将全集用列举法表示出来，然后根据集合的补集、交集运算即可求解.
【详解】由题意，
又，所以，
又，所以.
故选：C.
2. “”是“”的（ ）条件
A. 必要不充分B. 充分不必要
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法，结合充分不必要条件，可得答案.
【详解】由不等式，等价于，解得或，
当时，不等式一定成立，反之不一定.
故选：B.
3. 设则（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的解析式直接求解即可.
【详解】因为.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指对幂函数的单调性判断
【详解】，排除B,C
又
故选：A
5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象可知为奇函数，即可根据奇偶性排除ABC，即可求解.
【详解】由图象可知：为奇函数，且定义域为，
对于A, ,故为偶函数，不符合要求，舍去，
对于C，,故为偶函数，不符合要求，舍去，
对于B，，故不是奇函数，不符合要求，舍去，
故选：D
6. 将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线.假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再等min甲桶中的水只有升，则的值为（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意建立方程组，根据指数和对数的运算，可得答案.
【详解】由题意可得：，
，，；
，，，，解得.
故选：D.
7. 定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，不等式可转化为，根据判断的单调性即可求解不等式.
【详解】令，则，
所以在R上单调递增.
，即，
所以.
故选：A
8. 点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当函数在点处的切线与平行时，最小，根据导数的几何意义求出切点即可.
【详解】当函数在点处的切线与平行时，最小.
，令得或（舍），所以切点为，
所以的最小值为切点到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确答案涂在答题卡上.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若则
C. “”是“”的必要条件
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项求解判断；
【详解】选项A：当时，不等式不成立，A错；
选项B ：两边分别同乘
则有，故有，选项B正确；
选项C: 当时， “”不成立，
然后，可以解得“”，故 “”是“”的必要条件，选项C正确；
选项D：则
则有，选项D正确；
故选；BCD.
10. 函数在下列哪个区间内有零点（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理直接判断即可.
【详解】令，，
则，
所以当时，，故函数在上单调递减；
当时，，故函数在上单调递增；
又
，
所以，所以内存在零点，故A正确；
，
所以，所以内不存在零点，故B错误；
，
所以，所以内不存在零点，故C错误；
，
所以，所以内存在零点，故D正确.
故选：AD
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为16B. 的最小值为9
C. 的最大值为2D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知结合基本不等式判断A和B；结合不等式性质判断C；结合二次函数的性质判断D.
【详解】因为，所以，解得，即，
当且仅当即时，的最小值取到16，故A正确；
因为，所以，所以，
当且仅当即时取到最小值为9，故B正确；
由得，
所以，
因为，所以，故C错误；
，
令，所以上式可化为，
所以当时，上式取到最小值，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ABD
12. 已知函数的定义域为为的导函数且，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先证明为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断.
【详解】对于D，为偶函数，则，
两边求导可得，则为奇函数，
则，令，则，，D对；
对于C，令，可得，则，C错；
对于B，，可得，
可得，
两式相加可得，
令，即可得，B对；
又，
则，
，可得，
所以是以为周期的函数，
所以根据以上性质不能推出，A不一定成立.
故选：BD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 已知幂函数在上单调递减，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】先由幂函数的定义，得到，求出，再由题意，根据幂函数的单调性，即可得出结果.
【详解】因为为幂函数，
所以或，
又在上单调递减，
由幂函数性质，可得：，解得：，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由幂函数单调性求参数，熟记幂函数的定义，以及幂函数的单调性即可，属于常考题型.
14. 计算__________.
【答案】50
【解析】
【分析】由指数运算和对数的运算性质求解即可.
【详解】.
故答案为：50
15. 设函数，若，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据函数求导法则，建立方程，可得答案.
【详解】由题意可知，且，则，
整理可得，解得.
故答案为：.
16. 已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】画出的图象，结合图象及的零点个数，得到的两个不等零点，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】画出的图象如下：
因为最多两个零点，
即当，或时，有两个不等零点，
要想有六个零点，结合函数图象，要和分别有3个零点，
则且，
即的两个不等零点，
则要满足，解得，
故实数的取值范围为
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 设函数的定义域为集合，函数，的值域为集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合，当时，利用函数的单调性求出集合，再利用并集的定义可求得集合；
（2）分析可知，，利用函数的单调性求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：对于函数，有，得，
解得，得，
当时，因为函数在上递减，则，即，
所以，所以.
【小问2详解】
解：因为“”是“”的必要不充分条件，则，
函数在上递减，所以，且，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
18. 已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）求的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，带入，由对应系数相等即可求出的解析式；
（2）对求导，讨论与的大小，即可求出的单调性，比较极值点和的大小即可得出答案.
【小问1详解】
设
则
所以，
故；
【小问2详解】
，
令，解得：或，
令，解得：，
列表如下：
所以的值域为
19. 设函数且为奇函数，且.
（1）求，的值；
（2），使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函数可知，解出，由解出；
（2）据题意可将问题转化成，利用基本不等式即可求.
【小问1详解】
是上的奇函数，
，即，
，经检验符合题意.
又，即，
解得（舍去），.
故，.
【小问2详解】
，使得，即，
在上单调递增，
，使得，
即，使得，
所以，
又因，当且仅当时取“=”，
所以.
20. 如图所示，一座小岛距离海岸线上的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：）表示他从小岛到城镇所用的时间，（单位：）表示小船停靠点距点的距离.
（1）将表示为的函数，并注明定义域；
（2）此人将船停海岸线上何处时，所用时间最少？
【答案】（1）
（2）此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少.
【解析】
【分析】（1）根据题目信息将表示为的函数即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间即可.
【小问1详解】
由题意可得：
【小问2详解】
，由解得
上递增，列表如下：
所以此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少.
21. 已知
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）设是函数的极值点，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)求导，求斜率利用点斜式求方程即可：（2）令导函数为0，转化为则，记此方程的实数根为，且利用零点存在定理及单调性得转化为，构造函数求最值即可证明
【小问1详解】
当时，，
，切点为，
所以在处的切线方程为，即
【小问2详解】
证明：的定义域为，
，令，
则，记此方程的实数根为，且
记，由，
则知.
当时，；当时，，
所以在上递减，在上递增，
则是函数唯一的极值点，
，其中，
所以，记
，所以在单调递减，，
故
22 设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）求导，讨论a的正负判断单调性（2）法一：构造新函数，含参讨论求最值求解：法二：分离参数法，求最值求解
【小问1详解】
.
①当时在上单调递增；
②当时时，；
时，，所以在上单调递减，
在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
（2）方法一：在上恒成立，
记，，
①当时，即时，在上单调递增，
，
所以不符合题意；
②当时，即恒成立，所以符合题意；
③当时，即时，由①知，
故只要，
所以.
综上所述，
方法二：
在上恒成立，
①当时，；
②当时，，记，
时，时，，
所以在上递减，在上递增，
所以
③当时，，由②知，在上递减，，
且时，，所以
综上所述，
-1
1
2
+
0
-
0
+
-1
单调递增
极大值
单调递减
极小值-1
单调递增
2
0
+
单调递减
最小值
单调递增
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