2024湖北省华中师范大学第一附中高三上学期11月期中数学试卷含解析

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命题人：余文抒 徐聪 王文莹 审题人：王文莹
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则的模为（ ）
A. 1B. 2C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简求出,再根据共轭复数定义求出,最后根据模长公式求解即可.
【详解】,
,
.
故选:D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数单调性求解集合A，从而求解，利用对数函数单调性结合整数概念求解集合B，最后利用交集运算即可求解.
【详解】因为集合，所以，
又，
所以.
故选：C
3. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合正弦函数的性质由，可得，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】在中，，
由，可得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的平移伸缩可以得出函数关系.
【详解】过点得,,
由图1和图2可知：函数的周期减半，就是,
图1→图2说明图象向右平移单位，
得到的图象．
故选:D.
5. 在边长为2的正六边形中，（ ）
A. 6B. -6C. 3D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出的坐标，求出即可得出答案．
【详解】正六边形中，每个内角都是，，有，
以为原点，为轴， 为轴，，建立平面直角坐标系，如图所示：
因为，，，则有，
所以，，，
，，
由平面向量数量积的运算可得.
故选：B．
6. 在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（ ）
A. 音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.
B. 听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.
C. 240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.
D. 240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.
【答案】D
【解析】
【分析】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断.
【详解】对于A， 30~100的低频对应图像的听觉下限阈值高于20，1000~10000的高频对应的听觉下限阈值低于20，所以对比高频更容易被听到，故A错误；
对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；
对于C，240对应的听觉下限阈值为20，，
令，此时，故C错误；
对于D，1000的听觉下限阈值为0，
令，此时，所以240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确.
故选：D.
7. 若实数满足，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由切线放缩可求，根据对数函数性质和正弦值域可判断，由不等式的关系可判断.
【详解】因为，当时，设，则，易知当时，，当时，单调递增，所以；
所以；
由已知可得，因为，所以；，所以；
因为，所以；
故；
故选：A
8. 已知函数在区间上恰有两个极值点，且，则的值可以是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】先根据辅助角公式计算化简函数，再结合选项得出矛盾判断A,B,D选项，再计算说明C选项正确即可.
【详解】,
当时, ,A选项错误;
当时, ,B选项错误;
当时, ,
,恰有三个极值点，D选项错误;
当时,,,恰有两个极值点，C选项正确;
故选:C.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（ ）
A. 在区间上是减函数B. 在区间上是增函数
C. 在时取极小值D. 在时取极小值
【答案】BC
【解析】
【详解】根据图象得到的符号，即可得到的符号，进而得到的单调性和极值.
【分析】结合图像可知，当时，当时，，
当时，，
，因，
故当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
故在处取得极小值，在处取得极大值，
故选：BC
10 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.
【详解】，当且仅当，即时取等号，由于，所以，A正确，
由于，，当且仅当且时，即时取等号，由于，所以，B正确，
由以及可得，
当且仅当，即时取等号，由于，所以，故C正确，
，当且仅当，即时取等号，由于，所以D错误，
故选：ABC
11. 若函数在区间有2024个零点，则整数可以是（ ）
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】BCD
【解析】
【分析】令，则，将函数零点转化为两个函数与的交点，结合函数性质以及函数图象分析判断.
【详解】令，则，
对于函数，
由，可知，
因，
且，
的周期为，且关于直线对称，
又因为，
当，则，且，
可知，则在上单调递减，
可知在上单调递增，
若时，因为的定义域为，
则，可知，无零点，不合题意，
若时，，
结合图象可知：与在内各有一个交点，在内没有交点，
所以在内有2个零点，在内没有零点（区间端点均不是零点），
因为与的周期均为，则周期为，
结合周期可知：若数在区间有2024个零点，则整数可以是2023或2024，
若时，，
结合图象可知：与在内没有交点，在内各有一个交点，
所以在内没有零点，在内有2个零点（区间端点均不是零点），
结合周期可知：若数在区间有2024个零点，则整数可以是2024或2025；
综上所述：整数可以是2023或2024或2025.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：将函数转为两个函数：与的零点，结合函数性质分析判断，并注意讨论a的符号.
12. 已知定义在上的函数图象上任意一点均满足，且对任意，都有恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是奇函数
C. 是增函数D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用函数的单调性可求判断A，根据奇函数的定义判断B，根据导数符号判断函数的单调性判断C，根据奇函数和单调性把不等式化为在上恒成立，构造函数求解最值即可判断D.
【详解】，有，
记，则，所以在上单调递增，
所以，所以，故选项A错误；
因为且定义域关于原点对称，
所以是奇函数，故选项B正确；
记，，则，，
对，因为，则，
即函数在单调递减，
又时，，则，即，根据幂函数性质知，
所以，
所以函数在上单调递增，
所以，所以函数在上单调递增，
又是奇函数，由奇函数性质知是增函数，故选项C正确；
因为对任意，都有恒成立，
所以在上恒成立，
所以即在上恒成立，
记，，则，当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以，，记，，则，
当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故选项D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分
13. 若直线与曲线相切，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解.
【详解】因为，则，
设切点坐标为，则，解得.
故答案为：1.
14. 杭州第届亚洲运动会，于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，则该扇面的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出内环圆弧所对的圆心角，并求出外环圆弧所在圆的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇面的面积.
【详解】设内环圆弧所对的圆心角为，因为内环弧长是所在圆周长的，且内环所在圆的半径为，
所以，，可得，
因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，所以，外环圆弧所在圆的半径为，
因此，该扇面的面积为.
故答案为：.
15. 一只钟表的时针与分针长度分别为3和4，设0点为0时刻，则的面积关于时间（单位：时）的函数解析式为__________，一昼夜内（即时），取得最大值的次数为__________.
【答案】 ①. （，且） ②. 44
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再利用三角形面积公式列式即得；探求面积函数周期即可计算得解.
【详解】旋转的角速度为，旋转的角速度为，
或，，
，而当时，不能构成三角形，
所以（，且）；
显然函数的周期为且每个周期仅出现一次最大值，而，
所以取得最大值的次数为.
故答案为：（，且）；44
16. 如图，在四边形中，，则面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】通过证明是等边三角形并得出边长，即可求出三角形面积的最大值.
【详解】由题意，
在四边形中，，
∴,
∴四边形四点共圆，
在中，，,
∴是等腰三角形，，
在中，
∴，
,
当且仅当时，等号成立，
∵当时，垂直平分,
∴,是等边三角形，，
∴,
∴,
∴,
∵,
∴
∴面积的最大值为,
故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知
（1）求的单调递增区间与对称中心；
（2）当时，的取值范围为，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数表达式化简，然后根据正弦的单调递增区间与对称中心的定义计算即可得解.
（2）画出函数图象分析可知当且仅当时，其中，，满足题意，从而计算即可得解.
【小问1详解】
由题意
，
令,解得，
令，解得，
所以的单调递增区间与对称中心分别为，.
【小问2详解】
的函数图象如图所示，
由题意当时，的取值范围为，
故当且仅当，其中，，
令，得，即，
解得，
所以，
令，得，即或，
解得或，
所以，
综上所述：满足题意的实数的取值范围为.
18. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）求A的值；
（2）若的平分线与交于点，求面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换化简得，再结合正弦函数的性质分析求解；
（2）根据题意得，结合，得到，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得，
则，
，
即，
可得，
因为，则，则，
整理得，
又因为，则，
可得，所以.
【小问2详解】
因为平分且，所以，
由，可得，
整理得，则，当且仅当时，等号成立，
故面积的最小值为．
19. 已知函数且，
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有最大值，求实数的值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先对求导，然后分和讨论导函数的符号，从而即可得解.
（2）结合（1）中分析可知，当且仅当，通过构造函数，说明即可得解.
【小问1详解】
由题意，分以下两种情形来讨论函数的单调区间，
情形一：当时，，
所以的单调递减区间为，没有单调递增区间.
情形二：当时，令，
解得，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述：当时，的单调递减区间为，没有单调递增区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
由题意若函数有最大值，
则由（1）可知当且仅当时，有最大值，
因此，
不妨令，求导得，
令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故只能，解得符合题意；
综上所述，满足题意的实数的值为.
20. 某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设.
（1）求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）；
（2）求修建道路的总费用的最小值.
【答案】（1）
（2）80万元
【解析】
【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式；
（2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值.
【小问1详解】
在中，因为，可得，
在中，可知，
由正弦定理，可得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知：
，
因为，则，
令，则，
且在上单调递增，可知在上单调递增，
所以在上单调递减，
当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元.
21. 已知函数
（1）求的零点个数；
（2）若恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）2个 （2）
【解析】
【分析】（1）令可得，利用导数判断出函数在上的单调性，利用函数与方程的思想画出函数与在内的图象，根据交点个数即可求得的零点个数；
（2）易知，在上恒成立，则可得，求出在上的最小值即可得，便可知整数的最大值为.
【小问1详解】
根据由题意可知，令，
又，整理可得；
令，则，
显然当时，恒成立，
所以可得在上单调递减，且在上恒成立，
易知函数在上单调递减，在上单调递增；
且，
画出函数和函数在同一坐标系下的图象如下图所示：
由图可知函数与在区间上有两个交点，
即可得函数有两个零点；
【小问2详解】
若恒成立，可得，
令，则在上恒成立，
即可得在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，即；
令，则在上恒成立，
即在上单调递减，即，
所以在上恒成立，
可得；
易知函数在上单调递增，因此，
即只需即可得，
易知，所以；
注意到，由（1）可知，由有两个零点可知，必存在，使得，
所以当时，，故不恒成立；
综上，整数的最大值为.
22. 已知函数有三个极值点，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）若2是的一个极大值点，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）利用函数极值点个数可得在上至少有三个实数根，即可知在有两个不等于2的不相等的实数根；利用导数求出的单调性并在同一坐标系下画出函数与函数的图象即可求得实数的取值范围；
（2）根据（1）中的结论可得，将要证明的不等式化为，利用分析法可得需证明，由的单调性可知，化简可得，构造函数即可得出证明.
【小问1详解】
根据题意可知，函数的定义域为，
则，
由函数有三个极值点可知在上至少有三个实数根；
显然，则需方程，也即有两个不等于2不相等的实数根；
由可得，，
令，则，
显然当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
所以，
画出函数与函数在同一坐标系下的图象如下图所示：
由图可得且时，在上有两个不等于2的相异的实数根，
经检验可知当时，导函数在左右符号不同，即均是的变号零点，满足题意；
因此实数的取值范围时
【小问2详解】
根据题意结合（1）中的图象，由可知，
若2是的一个极大值点，易知函数在上单调递减，可知；
因此是方程的两个不相等的实数根，即
所以，
同理可得，
所以
由可知,
所以
又，要证，
即证，也即，所以；
只需证，即可得；
由（1）可得，所以可得，
且根据（1）中结论可知函数在上单调递减；
所以要证证，即证，又，即，
即证，即，
可得，即，可得，
令，则，
令，则，所以在上单调递减，
即，所以，即在上单调递减；
因此，即可得证.
【点睛】方法点睛：在处理函数极值点问题时，是将极值点转化成导函数的变号零点，利用函数与方程的思想转化为图像交点个数的问题；双变量问题一般是通过已有的等量关系或者构造函数转化为单变量问题，利用单调性求解即可.